1、實用標準文案直線與圓錐曲線位置關系一、基礎知識：（一）直線與橢圓位置關系1、 直線與橢圓位置關系：相交（兩個公共點），相切（一個公共點），相離（無公共點）2、直線與橢圓位置關系的判定步驟：通過方程根的個數進行判定，x2 y2、下面以直線y kx m和橢圓：二 21 a b 0為例a by kx m（1 ）聯立直線與橢圓方程：2 22 22 2b x a y a b（2）確定主變量x （或y ）并通過直線方程消去另一變量y （或x），代入橢圓方程得到2 2 2 2 2 2關于主變量的一元二次方程：b x a kx m a b ，整理可得：a2k2 b2 x2 2a2kxm a2m2 a2b2 0

2、（3 ）通過計算判別式的符號判斷方程根的個數，從而判定直線與橢圓的位置關系 0 方程有兩個不同實根直線與橢圓相交 0 方程有兩個相同實根直線與橢圓相切 0 方程沒有實根直線與橢圓相離3、若直線上的某點位于橢圓內部，則該直線一定與橢圓相交（二）直線與雙曲線位置關系1、直線與雙曲線位置關系，相交，相切，相離2、直線與雙曲線位置關系的判定：與橢圓相同，可通過方程根的個數進行判定2 2以直線y kx m和橢圓：271 a b 0為例：a by kx m（1 ）聯立直線與雙曲線方程：2 22 22 2，消元代入后可得：b x a y a bb2 a2k2 x2 2a2kxm a2m2 a2b2 0(2)

3、與橢圓不同，在橢圓中，因為 a2k2 b20，所以消元后的方程一定是二次方程，但雙曲線中，消元后的方程二次項系數為b2 a2k2，有可能為零。所以要分情況進行討論22 2b當b a k 0 k且m0時，方程變為一次方程，有一個根。此時直線與雙曲a線相交，只有一個公共點bb當b a k 0k 時，常數項為a m a b 0，所以0恒成立，此aa時直線與雙曲線相交當b22 2a k0 k b 或 ka-時，直線與雙曲線的公共點個數需要用a判斷0方程有兩個不同實根直線與雙曲線相交0方程有兩個相同實根直線與雙曲線相切0方程沒有實根直線與雙曲線相離注：對于直線與雙曲線的位置關系，不能簡單的憑公共點的個數

4、來判定位置。尤其是直線與雙曲線有一個公共點時，如果是通過一次方程解出，則為相交；如果是通過二次方程解出相 同的根，則為相切(3) 直線與雙曲線交點的位置判定：因為雙曲線上的點橫坐標的范圍為,a U a,，所以通過橫坐標的符號即可判斷交點位于哪一支上：當x a時，點位于雙曲線的右支;當 x a時，點位于雙曲線的左支。對于方程:b2a2k22 a2kxm aa2b20,設兩個根為x1,x2當b2 a2k2K時，則ab2a2k20，所以xi,x異號，即文檔交點分別位于雙曲線的左,當b2 a2k20 k -或a0時,x1x22 2 2 2a ma b22 20，所以b2a2k2Xi,X2同號，即交點位

5、于同一支上（4）直線與雙曲線位置關系的幾何解釋：通過（2 ）可發現直線與雙曲線的位置關系與直線的斜率相關，其分界點一剛好與雙曲線的漸近線斜率相同。所以可通過數形結合得到位a置關系的判定b k -且m 0時，此時直線與漸近線平行，可視為漸近線進行平移，則在平移過程a中與雙曲線的一支相交的同時，也在遠離雙曲線的另一支，所以只有一個交點 一 k b時，直線的斜率介于兩條漸近線斜率之中，通過圖像可得無論如何平移直a a線，直線均與雙曲線有兩個交點，且兩個交點分別位于雙曲線的左，右支上。2 2 2 一 一 b a k 0 k 或k 時，此時直線比漸近線“更陡”，通過平移觀察可得:aa直線不一定與雙曲線有

6、公共點（與的符號對應），可能相離，相切，相交，如果相交則交點位于雙曲線同一支上。（三）直線與拋物線位置關系：相交，相切，相離21、位置關系的判定：以直線 y kx m和拋物線：y 2px p 0為例y kx m2聯立方程： 2kx m2px，整理后可得：y2 2px2 2 2k x 2km 2p x m 0（1 ）當k 0時，此時方程為關于 x的一次方程，所以有一個實根。此時直線為水平線，與拋物線相交（2）當k 0時，則方程為關于 x的二次方程，可通過判別式進行判定 0 方程有兩個不同實根直線與拋物線相交 0 方程有兩個相同實根直線與拋物線相切 0 方程沒有實根直線與拋物線相離2、 焦點弦問題

7、：設拋物線方程：y2 2px，過焦點的直線（斜率存在且 k 0），對應傾斜角為與拋物線交于A Xi，yi ,BX2，y22y 2px聯立方程:k22px，整理可得:k2x2k2p2pk2p4(1)xiX22P4y2(四)ABSVAOBXiX2k2pk2p22k2p 2pk22p2p1tan2dO lAB2pOF2cossin2P sin2圓錐曲線問題的解決思路與常用公式:sinABsin2P.2sin2P2si n1、直線與圓錐曲線問題的特點:（1）題目貫穿一至兩個核心變量（其余變量均為配角，早晚利用條件消掉）（2）條件與直線和曲線的交點相關，所以可設A x1, y1 , B x2,y2 ，至

8、于A, B坐標是否需要解出，則看題目中的條件，以及坐標的形式是否復雜（3 ）通過聯立方程消元，可得到關于X （或y）的二次方程，如果所求的問題與兩根的和或乘積有關，則可利用韋達定理進行整體代入，從而不需求出X1,X2,y1,y2 （所謂“設而不求”）（4 ）有些題目會涉及到幾何條件向解析語言的轉換，注重數形幾何，注重整體代入。則可簡化運算的過程這幾點歸納起來就是 “以一個（或兩個）核心變量為中心，以交點A x1,y1 ,B x2,y2為兩個基本點，堅持韋達定理四個基本公式（為x2,XiX2,yi y2,y2，堅持數形結合，堅持整體代入。直至解決解析幾何問題“2、韋達定理：是用二次方程的系數運算

9、來表示兩個根的和與乘積，在解析幾何中得到廣泛使用的原因主要有兩個： 一是聯立方程消元后的二次方程通常含有參數，進而導致直接利用求根公式計算出來的實根形式非常復雜，難以參與后面的運算； 二是解析幾何的一些問題或是步驟經常與兩個根的和與差產生聯系。進而在思路上就想利用韋達定理，繞開繁雜的求根結果，通過整體代入的方式得到答案。所以說，解析幾何中韋達定理的應用本質上是整體代 入的思想，并不是每一道解析題必備的良方。如果二次方程的根易于表示（優先求點，以應對更復雜的運算），或者所求的問題與兩根和，乘積無關，則韋達定理毫無用武之地。3、直線方程的形式：直線的方程可設為兩種形式：（1 ）斜截式：y kx m

10、，此直線不能表示豎直線。聯立方程如果消去y則此形式比較好用，且斜率在直線方程中能夠體現，在用斜截式解決問題時要注意檢驗斜率不存在的直線是 否符合條件（2）x my b，此直線不能表示水平線，但可以表示斜率不存在的直線。經常在聯立方2程后消去x時使用，多用于拋物線y 2px （消元后的二次方程形式簡單）。此直線不能直1接體現斜率，當m 0時，斜率k ml上兩點 A yi ,B X2,y2 ,所以(1)AB證明:AB-i k2XiX2 或 AB因為A Xi,yi ,B X2, y2在直線l上,2 2XiX2yiy2，代入yiy2yiy2所以k音kx2yiy2kxi mkx2 mm可得:m4、弦長公

11、式：（已知直線上的兩點距離） 設直線l:y kx m，22 I22AB Jx1x2kx1mkx2m Jx1x2kx1x2Jik2 J 論 x2 $k2 x-i x2I-同理可證得| AB i- |yi y（2）弦長公式的適用范圍為直線上的任意兩點，但如果 A, B為直線與曲線的交點（即 AB 為曲線上的弦），貝V xi X2 （或 y- y2 ） 可進行變形： x-i x2 JXix2 2 JXX4XjX2，從而可用方程的韋達定理進行整體代入。5、點差法：這是處理圓錐曲線問題的一種特殊方法，適用于所有圓錐曲線。不妨以橢圓方2 2x y 程二 21 a b 0為例,a2 b2設直線ykxm與橢圓

12、交于A為， ,B x?, y?兩點,則該兩點滿足橢圓方程，有:yb2y；b2考慮兩個方程左右分別作差,并利用平方差公式進行分解,則可得到兩個量之間的聯系:丄2axi2212 2X1X2-ry1y20b1x2 x1 x2-7 y1by2 y1 y2o由等式可知：其中直線x1x22y2_02AB的斜率k% y2X1x2AB中點的坐標為X1X2 y1y22AB的斜率與AB中點代B坐標的平方差問這些要素均在式中有所體現。所以通過“點差法”可得到關于直線 的聯系，從而能夠處理涉及到弦與中點問題時。同時由可得在涉及 題中也可使用點差法。、典型例題2 2XV一例1 ：不論k為何值，直線y kx 1與橢圓1有

13、公共點，則實數 m的取值范圍7 m是（ ）A. 0,1B. 1,C. 1,7 U 7,D. 0,7思路一：可通過聯立方程，消去變量（如消去y ），得到關于x的二次方程，因為直線與橢圓有公共點，所以0在x R恒成立，從而將問題轉化為恒成立問題，解出m即可y kx 122解： 22mx 7 kx 17m，整理可得：mx 7y 7mm 7k2 x2 14kx 7 7m 0214k4m 7 k27 7m 0即1m 7k20 m7k2 1m7k211maxQm7m1,7 U7,思路二：從所給含參直線y kx 1入手可知直線過定點0,1，所以若過定點的直線均與2 2橢圓有公共點，則該點位于橢圓的內部或橢圓

14、上，所以代入0,1后 丄 1，即7 m11 m 1，因為是橢圓，所以 m 7,故m的取值范圍是1,7 U 7,m答案：C小煉有話說：（1）比較兩種思路，第一種思路比較傳統，通過根的個數來確定直線與橢圓位置關系，進而將問題轉化為不等式恒成立問題求解；第二種思路是抓住點與橢圓位置關系的特點，即若點在封閉曲線內，則過該點的直線必與橢圓相交，從而以定點為突破口巧妙解決問題。在思路二中，從含參直線能發現定點是關鍵（2）本題還要注意細節，橢圓方程中x2,y2的系數不同，所以 m 72 2,若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有x y例2:已知雙曲線1的右焦點為124個交點，則此直線斜率的取值范圍是（A.b.

15、 J3, J3C.思路:2x由一122y41可得漸近線方程為:若過右焦點的直線與右支只有一個交占八、的斜率的絕對值小于或等于漸近線斜率的絕對值，即答案：C 小煉有話說：本題是利用“基礎知識”的結論直接得到的答案，代數的推理如下:2 2由121可知F 4,0，設直線l:y kx 4，聯立方程可得:2 x3y21222212，整理后可得:x3k x4yk x413k2 x224k2x48k2120當13k20 k3時，8x280 x 7 ,即位于雙曲線右支,符合題意32當13k20時，2 224k241 3k248k21248 k21 0直線與雙曲線必有兩個交點，設為,仏,X2，y2因為直線與雙曲

16、線的右支有且只有一個交點X-|X20，即48k2121 3k23k2103 k 33綜上所述：k 33例3 :已知拋物線C的方程為x2過點A 0,和點B t,3的直線與拋物線C沒有公共點,則實數t的取值范圍是（A.,1 U 1,B.C.D.2U .2,思路:由A,B兩點可確定直線 AB的方程（含t），再通過與拋物線方程聯立，利用可得到關于t的不等式，從而解得t的范圍解：若t 0 ,則直線AB :x 0與拋物線有公共點，不符題意AB: y 4x 1，與橢圓聯立方程:12y4x 1t2tx2 4xQ直線與拋物線無公共點16 8t2答案：D例4 :過雙曲線x22 1的右焦點F作直線I交雙曲線于 A,

17、B兩點，若實數2使得AB的直線恰有3條，則思路:由雙曲線方程可知F .3,0，當I斜率不存在時，可知AB為通徑，計算可得:AB4，當I斜率存在時，設直線I : y k x . 3，與橢圓方程聯立，利用弦長公式可得AB2 24 1 k4 1 k為關于k的表達式，即2 k22 k2。可解得：k2-4或42242424k2。若0或0，即2時，可得k 0,僅有一解，不符444題意。若24 0且-一4 0，則每個方程只能無解或兩解。所以可知當4時,44方程有兩解，再結合斜率不存在的情況，共有3解。符合題意，所以42解：由雙曲線 x2 L 1 可得 a 1,b、2,c.3F .3,0 ，2當AB斜率不存在

18、時，I的方程為x .32b2AB為通徑，即AB4a若直線I斜率存在，不妨設為 k則設I : y k x 靈，AXi,%,BX2,y22x22y2L 2聯立直線與橢圓方程：yk x消去y可得：2x k x %132，整理可得2 k2 x2 /3k2x3k2202尿2 24 2k23k22216k16AB Ji k2 x, x2Ji k2廠4 1 k22 k2|2 k2224224可得：k2或k244當2一4 0時，即2，則方程的解為k 0，只有一解，不符題意424同理，當0,即2，則方程的解為k 0,只有一解，不符題意4當2一4 0且2 4 0時，則每個方程的解為 0個或兩個，總和無法達到 3個

19、，不符44題意所以若AB的直線恰有3條，只能2滿足條件的直線AB的方程為:4，方程解得：kx 3， y乎x -答案： 42x例5:已知橢圓432y1，則當在此橢圓上存在不同兩點關于直線y 4xm對稱，則的取值范圍是（A.1313,1313B.2.13132, 1313C.,131313D.2.13132 1313思路:3 %x2 x1 x2A X%,BX22則有3x24y；3x24y；4 y1y2*，中點坐標為設橢圓上兩點中點問題想到點差法,123x212x；42xo，則有2yoXiyiX2，由 y2y2 y；0,變形可得:y；0由對稱關系和對稱軸方程可得，直線AB的斜率k -4M上，所以方程

20、轉化為:x-i x26xo8yoyo 3xo ，由對稱性可知 AB中點Xo,y。在對稱軸上，所以有yo 4x。 m，所以解得：yo3m依題意可得:占八、x,y必在橢圓內，2 2所以有3X0 4y。12,代入可得：2212 ,2用2 .133 m43m解得：m 1313答案：D例6 :過點M2,0的直線2(X2m與橢圓y21交于R,F2兩點，線段RP2的中點為P ,設直線m的斜率為& 0，直線OP的斜率為k2，則kh的值為（)11A. 2B.2C.D.22思路一：已知m與橢圓交于P|, P2兩個基本點，從而設R x.,y1 ,P2 x2, y2 ，可知x1x2P x1 互， 辿，即k2 出一，從

21、結構上可聯想到韋達定理， 設m:y k1 x 2，2 22X聯立橢圓方程：2y2 i2k：X28ki2X 8ki220 ，可得：XiX28ki22ki2 iyiy2kiXiX24k14ki2k2-，則k2，即i2k1k1k2思路二:線段PiP2為橢圓的弦，且問題圍繞著弦中點P展開，在圓錐曲線中處理弦中點問2Xi題可用“點差法”，設P Xi，yi ,F2 X2，y2 ，則有22X222yi2y2i，兩式作差，可得:i1 22 Xi2X22yi2y201 XiX22XiX2yiy2yiy20，發現等式中出現與中點和PF2斜率相關的要素，其中XiX22yiy22，所以k2yi y2XiX2，且ki

22、jXiX21 yiy2，所以等式化為iy2yiy2XiX2XiX2kik20 ,所以 kik2答案：D 小煉有話說：兩類問題適用于點差法，都是圍繞著點差后式子出現平方差的特點。（1 ）涉及弦中點的問題，此時點差之后利用平方差進行因式分解可得到中點坐標與直線斜 率的聯系（2 ）涉及到運用兩點對應坐標平方差的條件，也可使用點差法2例7:已知點A i,2在拋物線C : y4x上，過點A作兩條直線分別交拋物線于點D,E，直線AD,AE的斜率分別為kAD,kAE，若直線DE過點P i, 2，則kAD kAE （）A. 4B. 3C. 2D. i思路：設D Xi,yi ,E X2,y2，進而所求kAD k

23、AE%y22 %y2XiX2XiX24所以可從直線DE入手，設直線DE : y 2k x i，與拋物線方程聯立，利用韋達定理即可化簡kAD kAE2解：設 D Xi,yi ,E X2,y2y22x21yi2y22yM2 yiy24 iXiiX21%x2XiX2設 P i, 2，則 DE:y2k xi聯立方程：y2 4x消去X可得：y 2 kXiky2 4y4k 80yiy24,yiy2 k4k8kX-IX2yiy242k44k2k2xz xz2yiy2k2 4k 4kk2i入2i6k2k24k 44 4k 2 k2k2k2答案：C例8 :已知拋物線C : y24x的焦點為F ,過點F的直線l交

24、拋物線于M , N兩點，且代入可得:2B. 2 2MF 2 NF，則直線I的斜率為（）思路一-：從點的坐標出發，因為M,F,N三點共線，從而MF2 NF可轉化為ULLTLULTMF2NF ，考慮將向量坐標化，Fi,0 ，設 M,N X2，y2，有uurULLTMFi xi, yi ,NF i x2, y2，所以yi2y2，設直線I : Xmy i，聯立拋物A. 2D.線方程消元后可得：y 4my 4 0 ,利用韋達定理可得： 4m，再結合yy4y 2y，消去yi, y即可得m2，直線i：x4Tyi，即可得到斜率為2二思路二：從所給線段關系MF 2 NF恰好為焦半徑出發，聯系拋物線的定義，可考慮

25、M,N向準線引垂線，垂足分別為P,Q，便可得到直角梯形 PMNQ，由拋物線定義可知:MP MF , NQ NF，將所求斜率轉化為直線的傾斜角，即為PMF。不妨設M在第一象限。考慮將角放入直角三角形， 從而可過N作NT MP于T，則tanNMT|TM|因為 |MF 2 NF 而 TM| I PM PT PM QN MF |NF NF ，且 MN| |MF| NF| 3 NF，利用勾股定理可得：|T叫MN|2 |MT2血| NF|， 從而tan NMT TN 2/2，即 k 2y2， 當M在第四象限時，同理，可得 k 2/2|TM|綜上所述：k 2一2答案：B2X2例9:如圖，在平面直角坐標系xO

26、y中，橢圓y 1的左、右焦點分別為Fi,F2，設A, B2AF1與直線BF2平行，y2眼，則直線AF1的斜3是橢圓上位于 x軸上方的兩點，且直線AF2 與 BF1 交于點 P， AF1|BF2率是（）B. 、2D. 1思路：先設出直線 AF1 : xmy 1,BF2 : xmy 1，只需一個等量條件即可求出m，進而求出斜率。考慮與橢圓聯立方程,分別解出A,B的縱坐標，然后利用弦長公式即可用示 AF-i, BF2: AF|.2 m2 1 m ._1m22、2m21 mm212，可將已m22知等式轉化為關于m的方程，從而解出m 1，所以斜率為解：由橢圓方程可得：F11,0，1,0設 AF1 : x

27、 my 1,BF2: xmyA xnyi ,B X2,y2，依圖可知：y1 0,y2 0聯立AF1與橢圓方程可得:2y21 my 1my 12y21,整理可得:22 y 2my 102m 2 2 m212 m22m22y1AF1 2 m2 1m22L 1m2 y1討 f同理可得:BF2AF1bf2.1m2 y1m m212 ”23直線AF1的斜率k答案：D1m . m21m222 m21m、m21m22，解得:小煉有話說：（1）在運用弦長公式計算AF1 , BF2使用縱坐標計算線段長度更為簡便，因此在直線的選擇上,便于消去X得到關于y的方程m22時，抓住焦點的縱坐標為本題采用x my的特點,b的形式以1(2 )直線方程x my b，當m 0時，可知斜率k與m的關系為：k m2 2例10 :過橢圓-1的右焦點F作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于A, B,C,D四43點，則-11-的值為()ABCD11A.-B. 8