1、有限體積法,參考書 :李人憲 有限體積法基礎 國防工業出版社,有限差分法,FDM: Finite Difference Method 計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。 該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。 有限差分法采用Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。 該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法,有限差分法,差分格式分類 從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。 從差分的空間形

2、式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。 考慮時間因子的影響，差分格式可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。 目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用于結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定,FVM: Finite Volume Method 有限體積法又稱為控制體積法,從物理量守恒這一基本要求出發提出的。 其基本思路是： 將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積； 將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。 其中的未知數是網格點上的因變量的數值。 為了求出控制體積的積分，

3、必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布剖面,有限體積法,發展情況,1980年，S.V.Patanker在其專著Numericacl Heat Transfer and Fluid Flow中對有限體積法作了全面的闡述。 此后，該方法得到了廣泛應用，是目前CFD應用最廣的一種方法。 FLUENT、PHOENIX等軟件都基于有限體積法,Patanker與Spalding于1967年發表了求解拋物型流動的P-S方法。 在P-S方法中，把x-y平面上的計算區域（邊界層）轉換到x-w平面上（w為無量綱流函數），從而不論在邊界層的起始段還是在其后的發展段，所設置的計算節點均可落在邊界層范圍

4、內。 1969年Spalding在英國帝國理工學院（Imperial College）創建了CHAM（Concentration, Heat and Mass, Limited），旨在把他們研究組的成果推廣應用到工業界,1972年SIMPLE算法問世 于是所謂分離式的求解方法應運而生，即先求解有關一個速度分量，而把其他作為常數，隨后再逐一求解其它變量。 于是就產生了這樣的問題：就是所謂速度與壓力的耦合問題。SIMPLE算法成功地解決了這一問題。 SIMPLE算法的一個基本思想是，在流場迭代求解的任何一個層次上，速度場都必須滿足質量守恒方程，這是保證流場迭代計算收斂的一個十分重要的原則,1977

5、年由Spalding及其學生開發的ENMIX程序公開發行。 1979年由Spalding教授及其合作者開發的流動傳熱計算的大型通用軟件PHOENICS第一版問世。 PHOENICS是英語Parabolic, Hyperbolic or Elliptic Numerical Integration Code Series的縮寫（意為對拋物型、雙曲型、橢圓型方程進行數值積分的系列程序）。 *1980年Patankar教授的名著“Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”出版。 這本書內容精煉，說理透徹，注重物理概念的闡述，深受全世界數值傳熱的研究者與使用者的歡迎

6、。出版后不久，被相繼譯成俄文、日文、波蘭文及中文等，成為數值傳熱學領域中的一本經典著作,優點: (1)出發點是積分形式的控制方程,同時積分方程表示了特征變量在控制容積內守恒; (2)積分方程中每一項都有明確的物理意義,從而使方程離散時,對各離散項可以給出一定的物理解釋; (3) 區域離散的節點網格與進行積分的控制容積分立,有限體積法,方法特點,有限體積法主要優勢： 處理復雜網格,坐標變換函數必須足夠光滑 否則損失精度,實際問題： 外形復雜， 光滑的結構網格生成困難,基本概念,基本概念,控制體積的形成 單元中心方式： 單元位于控制體積的中心，即將單一的網格單元作為控制體積，網格單元互不重疊。 單

7、元頂點方式： 以網格節點為中心，它的形成有多種方式。其常用的構成方式是由以該節點為頂點的格子的形心以及各共頂點的網格線中心點的一系列連接線段所構成一個多邊形控制體積。也可以由環繞該節點的一組格子組成控制體,基本概念,單元頂點方式,單元中心方式,對于計算同樣多的變量，單元中心方式變量布置簡單直觀，易于處理邊界條件和保持離散的守恒性，而且需要的網格數要比單元頂點方式少得多，可節省計算時間,網格,結構網格 具有一定的分布特征，可以用相應的行列關系來順序描述的網格,有矩形網格、曲線網格及塊結構網格,結構網格 矩形網格最為常用，網格生成方便，但對復雜邊界處理過于粗糙； 曲線網格：1）只提供了離散點的變換

8、，而不給出解析函數形式的變換關系,使用不光滑的網格時，對變換關系的差分近似會造成了很大的數值誤差，甚至會導致不切實際的值。2)如果網格嚴重偏離正交性，就會極大損壞原有的迭代方法的收斂速率。3)因變量的選擇也須謹慎考慮。在曲線網格中，可取原始笛卡爾坐標系變量或曲線坐標系中沿網格方向的協變量兩種作為因變量,網格,非結構網格 非結構網格中單元格分布不再規則一致，其位置很難再憑借行列索引關系確定。非結構網格可以采用任意形狀的單元格，單元邊的數目也無限制，彌補了結構化網格不能夠解決任意形狀和任意連通區域的網格剖分的缺欠,網格,非結構網格最重要的一個特征是控制方程離散得到的代數方程的系數矩陣不再是結構網格

9、下有規律的對角結構；若用對角形式存儲，其帶寬只能通過適當的布置單元編號順序來減少。非結構網格原則上可應用于任何類型的數值方法，但非結構網格的FVM 算法更成熟，應用更廣,網格,非結構網格最早用于FEM； 但流體流動是高度非線性問題，而且FEM 計算量較大，這些問題使得基于FEM 的非結構網格技術未能在對流問題為主的地面水流（如淺水流動，水波運動等）計算上得到重視； 八十年代以來，基于FVM 的非結構網格技術在空氣動力學得到了廣泛的發展和應用； 九十年代開始一些專家學者根據淺水流動特征，將這些算法引入到計算淺水動力學中，并在模擬涌潮，潰壩等水力計算難題上取得了成功，粘性流動的非結構網格FVM 模

10、擬也開始出現； 并在20 世紀90 年代中后期掀起了研究高潮； 作為全球計算流體力學軟件供應商和技術服務商的Fluent 公司已經將最新的非結構網格研究成果集成，實現了研究成果的商業化,非結構網格在有限體積法中的應用,利于邊界調節的實現 便于控制網格密度 易作修改和適應性調整 網格生成有眾多富有成效的方法和自適應技術 比曲線網格更易得到高質量的單元格,非結構網格優點,單元格排列不規則，須建立相應的數據結構存儲單元格信息； 控制方程離散得到的代數方程的系數矩陣是高度稀疏的非對角型矩陣，需要尋求合適的存儲方式及解法； 隱格式較難實現，粘性項處理困難； 數值解后處理工作量大； 二階非結構FVM 較易

11、實現，若要擴展到高階格式，則需花費較大的代價,非結構網格需要解決的問題,方程離散,一維對流擴散方程,在P所在的控制體積上積分,假設單元P的值代表整個控制體的值,在對流項積分時，需要假定通量或者因變量從tn 過渡到 tn +t 時間段內的變化關系,離散方程,0，離散格式為顯式，0=1，加權隱式，=1/2，Clank-Nicholson格式， =1，全隱格式,0時,0=1時,顯式,隱式,狀態變量分布近似,單元界面e處內外側狀態,狀態變量分布近似,狀態變量分布近似,單元界面e處內外側狀態,在用有限體積法計算時，和有限差分法一樣，方程的解是用單元節點上離散點值構成的，而不關心單元間的狀態變量是怎么變化

12、的，也就是不關心解的分布。 有限單元法中一旦選定了分布曲線，就確定了狀態變量的分布函數是不同的。 盡管我們在離散方程的時候要假定單元分布曲線，但是這只是為了推導公式時計算積分近似而采用的一些輔助關系式。一旦離散化方程推導出來了，就可以不用再管這些分布曲線近似。 在積分離散時，根據數值模擬的需要，對控制方程中的每一項都可以采用不同的分布曲線來近似單元界面上的狀態變量，而不必要追求近似假設的一致性,方程離散1,一維穩態擴散問題,按節點整理后,得到,最后解方程組得到節點的值,例題,解,1點控制容積積分,方程離散1 二維擴散,一維穩態對流擴散問題,方程離散2,穩態對流擴散方程,連續性方程,對控制體積分

13、,定義,解,對中間節點2,3,4,邊界節點1,整理得到,邊界節點5,整理得到,工況1,改進辦法:需要增加網格數,工況2,工況3,差分格式問題,中心差分格式,在擴散方程中,未引起數值解和分析解之間較大的差別,但在包含對流項的對流擴散方程中,某些計算條件下需要加密網格結果才合理,邊界的計算形式,差分格式問題,控制容積界面處變量的近似計算格式是否對數值計算結果有影響？ 采用其他差分格式是否能提高計算精度？ 差分格式近似計算式在流場計算中的物理意義是什么？ 差分格式應該滿足三個特性：守恒性、有界性和輸運性,守恒性,如果對一個離散方程在定義域的任一有限空間內作求和的運算（相當于連續問題中對微分方程作積分

14、），所得的表達式滿足該區域上物理量守恒的關系時，則稱該離散格式具有守恒特征。 有限體積法正是從物理量守恒這一基本要求出發提出的。有限體積法的離散化方程滿足了單個控制體積的平衡，當然在整個計算區域內，諸如質量、動量等物理量的積分守恒也就都能精確得到滿足。無論在數值計算中采用巨大數目的細網格和少數的粗網格，數值解也照樣顯示準確的積分平衡。有限體積法的離散思想自動滿足守恒定律，如質量守恒，動量守恒，能量守恒等等。所以有限體積法是守恒定律的一種最自然的表現形式,有界性,離散方程為代數方程組，求解時需要用迭代方法，獲得收斂解,擴散問題 對流擴散問題,需要滿足,則有界,輸運性,Peclet數,Pe數用來度

15、量某點處變量的對流和擴散強度比。 Pe =0，對流為0，完全靠擴散，擴散是無方向的。 Pe增大，對流作用增加，對流是有方向的,輸運性,網格Peclet數大，上游節點變量值對下游影響大，下游對上游影響小； Pe =0，上下游影響一樣。 中心差分格式使節點P處場變量對所有相鄰節點一樣，沒有反映出擴散和對流的差別，不能體現輸運方程的方向性，在高Peclet數數時，中心差分格式不具有輸運特征,中心差分格式離散方程特點,1）守恒性：滿足； （2）有界性：Pe小于2時滿足，不然不滿足； （3）輸運性：沒有； （4）計算精度：二階精度， Pe小于2時精度較高， Pe大于2或流動為強對流時，收斂性和精度均較差

16、,雙曲型方程特征值體現了微分方程的解（或者說擾動、信息）的傳播方向，表達了波動、能量等的傳播方向，應該充分考慮這一物理特性，與之相適應。 恒取上游節點處的值建立差分格式,一階上風差分格式,對無源擴散問題,只對對流項的差分格式進行改變,離散方程為,解,2，3，4點,邊界,整理,工況1,工況2,顯示上風差分格式考慮了流動的方向性，在有較強對流輸運狀況時具有計算優勢,上風差風格式性質,1）守恒性：滿足； （2）有界性：滿足，計算結果不會出現振蕩或不收斂； （3）輸運性：考慮了流動方向，滿足； （4）計算精度：一階精度；同時擴散項采用中心差分格式，隨著Pe數增大，對流輸運增強，擴散輸運減弱，所以，當Pe足夠大，仍然保持不變的擴散輸運強度，必然帶來誤差，稱為假擴散,混合差分格式,Spalding提出：當網格Pe數小于2時采用中心差分格式計算控制容積界面值，具有二階精度；當Pe數大于2時采用上風差分格式計算控制容積界面對流輸運量，同時忽略擴散輸運量，計算精度一階，但能反映流動的輸運特征,工況2,上風格式有擴散,混合格式無擴散,QUICK格式,上風格式和中心差分格式的優缺點； 1979年Lenoard提出用于計算控制容積界面的二次插值計算格式。“對流項的二次上