高等數學（2014級版）：6_4_3 二階常系數線性非齊次微分方程_第1頁
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1、,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,6.4.3 二階常系數線性線性微分方程,第六章,二階常系數線性非齊次微分方程 :,根據解的結構定理 , 其通解為,求特解的方法,根據 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數 ., 待定系數法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,a., 為實數 ,設特解為,其中 為待定多項式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,則取,從而得到特解,形式為,為 m 次多項式 .,Q (x) 為 m 次待定系數多項式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(2) 若 是特征方程的單根 ,為m 次多項式,故特解形式為,(3) 若

2、 是特征方程的重根 ,是 m 次多項式,故特解形式為,小結,對方程,此結論可推廣到高階常系數線性微分方程 .,即,即,當 是特征方程的 k 重根 時,可設,特解,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1.,的一個特解.,解: 本題,而特征方程為,不是特征方程的根 .,設所求特解為,代入方程 :,比較系數, 得,于是所求特解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2.,的通解.,解: 本題,特征方程為,其根為,對應齊次方程的通解為,設非齊次方程特解為,比較系數, 得,因此特解為,代入方程得,所求通解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,b.,其中 為實數 ,設特解為,其中,當 是特征值時 否則,分別為 l, m 次多項式 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,為待定多項式 ,解,對應齊方通解,作輔助方程,代入上式,所求非齊方程特解為,原方程通解為,（取虛部）,例3.,內容小結, 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,則設特解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,為待定多項式 ,設特解為,其中,當 是特征值時 否則,作業,P2

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