哈爾濱市第六中學2019屆高三上學期期末考試數(shù)學試卷（理工類）考試說明：本試卷分第卷（選擇題）和第卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡相應位置上.2.做答第卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，寫在本試卷上無效.3.做答第卷時，請按題號順序在各題目規(guī)定的答題區(qū)域內(nèi)做答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效.4.保持答題卡面清潔，不得折疊、不要弄破、弄皺，不準用涂改液、修正帶、刮紙刀.第卷（選擇題）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合為實數(shù)，且，為實數(shù)，且，則中的元素的個數(shù)為（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】：集合M與集合N表示的集合都是點集，所以可以把兩個方程聯(lián)立，通過求方程的判別式來判定交點的個數(shù)【詳解】：聯(lián)立方程組 所以 判別式 ，所以 的解集只有一個故選B【點睛】：本題考查了兩個集合的交點個數(shù)問題，主要注意兩個集合都為點集，所以交集的個數(shù)也就是兩個方程的解的個數(shù)，因此可以通過方程思想來解，屬于簡單題2.“”是“復數(shù)為純虛數(shù)”的（ ）A. 充分但不必要條件 B. 必要但不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由純虛數(shù)的概念可得：，即m2或m2，又“m2”是“m2或m2”的充分不必要條件，即可得解【詳解】“復數(shù)zm24+mi為純虛數(shù)”的充要條件為：，即m2或m2，又“m2”是“m2或m2”的充分不必要條件，即“m2”是“復數(shù)zm24+mi為純虛數(shù)”的充分不必要條件，故選：A【點睛】本題考查了復數(shù)的概念及充分、必要條件，屬于簡單題3.我國古代名著九章算術(shù)中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤,中間三尺重幾何”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，問中間三尺共重多少斤？”（ ）A. 6斤 B. 7斤 C. 8斤 D. 9斤【答案】D【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】原問題等價于等差數(shù)列中，已知，求的值.由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，則，即中間三尺共重斤.本題選擇D選項.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的實際應用，等差數(shù)列的性質(zhì)及其應用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則此雙曲線的實軸長為（ ）A. 2 B. 4 C. 18 D. 36【答案】C【解析】分析：由雙曲線的方程，求解其中一條漸近線方程，利用題設垂直，求得，即可得到雙曲線的實軸長詳解：由雙曲線的方程，可得一條漸近線的方程為，所以，解得，所以雙曲線的實軸長為，故選C點睛：本題主要考查了雙曲線的標準方程及其幾何性質(zhì)的應用，其中熟記雙曲線的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了學生的推理與運算能力5.袋中有大小完全相同的2個白球和3個黃球，逐個不放回的摸出兩球，設“第一次摸得白球”為事件，“摸得的兩球同色”為事件，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】= ,選C.6.已知平面向量的夾角為且，在中，為中點，則( )A. B. C. 6 D. 12【答案】A【解析】【分析】運用平行四邊形法則和向量模長的計算可得結(jié)果【詳解】根據(jù)題意得，（）322，2（22）2428424842248+1612，2，故選：A【點睛】本題考查平行四邊形法則，向量模長的運算，屬于基礎題7.如圖，半徑為的圓內(nèi)有四個半徑相等的小圓，其圓心分別為，這四個小圓都與圓內(nèi)切，且相鄰兩小圓外切，則在圓內(nèi)任取一點，該點恰好取自陰影部分的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如圖，易知四點在以為圓心，為半徑的圓上，連接.設這四個小圓的半徑為，則，.因為圓O內(nèi)的這四個小圓都與圓內(nèi)切，且相鄰兩小圓外切，所以，所以，即，解得，故所求事件的概率為.故選D.8.已知將函數(shù)向右平移個單位長度后,所得圖象關(guān)于軸對稱，且,則當取最小值時，函數(shù)的解析式為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，可得k，kZ，求得的值，可得函數(shù)f（x）的解析式【詳解】將函數(shù)向右平移個單位長度后，可得ycos（x）的圖象，根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對稱，可得k，kZ再根據(jù)，可得cos，k，12k+3，則當3取最小值時，函數(shù)f（x）的解析式為f（x）cos（3x），故選：C【點睛】本題主要考查函數(shù)yAsin（x+）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題9.在正方體中，分別為棱的中點，用過點的平面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側(cè)視圖為( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】取的中點連，則為過點，的平面與正方體的面的交線延長，交的延長線與點，連，交于，則為過點，的平面與正方體的面的交線同理，延長，交的延長線于，連，交于點，則為過點，的平面與正方體的面的交線所以過點，的平面截正方體所得的截面為圖中的六邊形故可得位于截面以下部分的幾何體的側(cè)（左）視圖為選項C所示選C 10.若函數(shù)的圖象在處的切線與圓相切，則的最大值是（ ）A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】先利用導數(shù)求出函數(shù)yf（x）的圖象在x0處的切線方程，利用該直線與圓相切，得出a2+b21，然后再利用基本不等式可求出a+b的最大值【詳解】函數(shù)f（x）求導得，所以，函數(shù)的圖象在x0處的切線方程為，即bx+ay+10，該直線與圓x2+y21相切，則有，化簡得a2+b21，由基本不等式可得（a+b）2a2+b2+2ab2（a2+b2）2，所以，當且僅當ab時等號成立，所以，a+b的最大值為故選：B【點睛】本題考查圓的切線方程，解決本題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化直線與圓相切的問題，考查計算能力與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題11.已知數(shù)列為正項的遞增等比數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，則使不等式2018成立的最大正整數(shù)n的值為（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B【解析】【分析】設正項的遞增等比數(shù)列an的公比為q1，由a1+a582，a2a481a1a5，聯(lián)立解得a1，a5解得q可得an利用等比數(shù)列的求和公式可得數(shù)列的前n項和為Tn代入不等式，即可得出結(jié)果【詳解】設正項的遞增等比數(shù)列an的公比為q1，a1+a582，a2a481a1a5，聯(lián)立解得a11，a581q481，解得q3an3n1數(shù)列的前n項和為Tn2223（1）則不等式化為：20181，即3n201836729，372187使不等式成立的最大正整數(shù)的值為6故選：B【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，求和公式、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題12.已知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，且對于任意，方程有且只有一個實數(shù)解，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點的和為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，且對于任意，方程有且只有一個實數(shù)解，則是連續(xù)函數(shù),可得 ,畫出 與 的圖象,圖象交點橫坐標就是函數(shù)的零點,由圖知, 在區(qū)間（）上的所有零點的和為 ,故選B.【方法點睛】本題主要考查函數(shù)零點與圖象交點之間的關(guān)系及分段函數(shù)的解析式及圖象，屬于難題.函數(shù)零點個數(shù)的三種判斷方法:(1)直接求零點：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點;(2)零點存在性定理：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點;(3)利用圖象交點的個數(shù)：畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點第卷（非選擇題）二、填空題13.的展開式中，的系數(shù)為_.【答案】160【解析】展開式的通項為：，令，所以系數(shù)為：故答案為：16014.若實數(shù)x,y滿足不等式組，則的最大值為_.【答案】log210【解析】【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，進行求最值即可【詳解】由ux2y+6得yx3，作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖（陰影部分）平移直線yx3，由圖象可知當直線過點A時，直線的截距最小，此時z最大，由 ，得 A（4，0），代入目標函數(shù)ux2y+6，得z10，目標函數(shù)ux2y+6的最大值是10，則zlog2（x2y+6）的最大值為：log210故答案為：log210【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應用，利用目標函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法，屬于基礎題15.由1，2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，要求奇數(shù)不相鄰，且4不在第四位，則這樣的六位數(shù)共有_個.【答案】120【解析】試題分析：先排3個偶數(shù)，從左到右有4個空，如排1,2,3個空，由于4不在第四位，共有種，若排1，2,4個空，共有，若排1,3,4則4不會在第四位，共有種，若排2,3,4個空，則4不會在第四位，共有，因此共有24+24+36+36=120種，故答案為120種.考點：排列組合的綜合應用.16.如圖，直三棱柱中,， ，外接球的球心為，點是側(cè)棱上的一個動點.有下列判斷： 直線與直線是異面直線；一定不垂直； 三棱錐的體積為定值； 的最小值為.其中正確的序號序號是_.【答案】【解析】【分析】由題意畫出圖形，由異面直線的概念判斷；利用線面垂直的判定與性質(zhì)判斷；找出球心，由棱錐底面積與高為定值判斷；設BEx，列出AE+EC1關(guān)于x的函數(shù)式，結(jié)合其幾何意義求出最小值判斷【詳解】如圖，直線AC經(jīng)過平面BCC1B1內(nèi)的點C，而直線C1E在平面BCC1B1內(nèi)不過C，直線AC與直線C1E是異面直線，故正確；當E與B重合時，AB1A1B，而C1B1A1B，A1B平面AB1C1，則A1E垂直AC1，故錯誤；由題意知，直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心為O是AC1 與A1C 的交點，則AA1O的面積為定值，由BB1平面AA1C1C，E到平面AA1O的距離為定值，三棱錐EAA1O的體積為定值，故正確；設BEx，則B1E2x，AE+EC1由其幾何意義，即平面內(nèi)動點（x，1）與兩定點（0，0），（2，0）距離和的最小值知，其最小值為2，故正確故答案為：【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用，考查空間想象能力和思維能力，屬于中檔題三、解答題，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟17.在中,角的對邊分別為,邊上的中線,且滿足.(1)求的大小；(2)若，求的周長的取值范圍【答案】(1) ;(2) 周長的取值范圍是.【解析】試題分析:在,中分別利用余弦定理,寫出的表達式,化簡后可求得的值,代入已知條件可化簡得到的余弦值,進而求得角的大小.(2)利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的形式,即,根據(jù)可求得周長的取值范圍.試題解析:（1）在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 因為，所以，+得：， 即， 代入已知條件，得，即， ，又，所以.（2）在中由正弦定理得，又，所以， ， 為銳角三角形， ，周長的取值范圍為18.如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱上的動點，且.（1）求證：；（2）當三棱錐的體積取得最大值時，求二面角的正切值【答案】（1）見證明；（2） 【解析】【分析】設AEBFx以D為原點建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標（1）通過計算，證明A1FC1E（2）判斷當SBEF取得最大值時，三棱錐B1BEF的體積取得最大值求出平面B1EF的法向量，底面ABCD的法向量，設二面角B1EFB的平面角為，利用空間向量的數(shù)量積求出，然后求解二面角B1EFB的正切值【詳解】設AEBFx以D為原點建立空間直角坐標系，得下列坐標：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，x，0），F(xiàn)（2x，2，0）（1）因為，所以所以A1FC1E（2）因為，所以當SBEF取得最大值時，三棱錐B1BEF的體積取得最大值因為，所以當x1時，即E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點時，三棱錐B1BEF的體積取得最大值，此時E，F(xiàn)坐標分別為E（2，1，0），F(xiàn)（1，2，0）設平面B1EF的法向量為，則得取a2，b2，c1，得顯然底面ABCD的法向量為設二面角B1EFB的平面角為，由題意知為銳角因為，所以，于是所以，即二面角B1EFB的正切值為【點睛】本題考查空間向量在立體幾何中的應用，直線與直線的垂直，二面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力19.2011年，國際數(shù)學協(xié)會正式宣布，將每年的3月14日設為“國際數(shù)學節(jié)”，其來源是中國古代數(shù)學家祖沖之的圓周率，為慶祝該節(jié)日，某校舉辦的“數(shù)學嘉年華”活動中,設計了如下的有獎闖關(guān)游戲：參賽選手按第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的順序依次闖關(guān)，若闖關(guān)成功，則分別獲得5個、10個、20個學豆的獎勵游戲還規(guī)定：當選手闖過一關(guān)后，可以選擇帶走相應的學豆，結(jié)束游戲；也可以選擇繼續(xù)闖下一關(guān)，若有任何一關(guān)沒有闖關(guān)成功，則全部學豆歸零，游戲結(jié)束設選手甲能闖過第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的概率分別為，選手選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為，且各關(guān)之間闖關(guān)成功與否互不影響（1）求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學豆為零的概率；（2）設該選手所得學豆總數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）設“第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學豆為零”為事件,“第一關(guān)闖關(guān)成功“第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件,“前兩關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件,互斥, 由此能求出第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學豆為零的概率；（2）由題意的可能取值為分別求出相應的概率, 由此能求出的分布列和.試題解析：（1）設甲“第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學豆為零”為事件，“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件，“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗”為事件，則互斥，（2）所有可能的取值為，所以的分布列為：考點：1、獨立事件同時發(fā)生的概率；2、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望.20.已知直線與圓相交的弦長等于橢圓的焦距長（1）求橢圓的方程；（2）已知為原點，橢圓與拋物線交于兩點，點為橢圓上一動點，若直線與軸分別交于兩點，求證：為定值【答案】（1）（2）見解析【解析】【試題分析】（1）利用圓心到直線的距離計算出直線與圓相交的弦長，得到.利用求得，得到橢圓方程.（2）設出三個點的坐標，利用點斜式寫出直線的方程，令求得兩點的坐標，代入并利用兩點在橢圓上進行化簡.【試題解析】解：（1）由題意知，圓心到直線的距離為，圓的半徑為 ，直線與圓相交的弦長為，則， 又，橢圓的方程（2）證明：由條件可知，兩點關(guān)于軸對稱，設，則，由題可知，所以，又直線的方程為，令得點的橫坐標，同理可得點的橫坐標，所以 ，即為定值【點睛】本小題主要考查點到直線的距離公式，直線和圓相交所得弦長求法，考查點斜式方程和點與圓錐曲線的位置關(guān)系.由于題目涉及直線和圓相交所得弦長，故先利用點到直線距離公式，利用直角三角形求得弦長即.由于兩點是由直線交軸而得，故利用點斜式寫出直線方程，然后令求出坐標.21.已知函數(shù)（1）當時，若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；（2）當時，證明：【答案】（1）.（2）見解析.【解析】試題分析：（1）由，得恒成立，令.求出的最小值，即可得到的取值范圍；為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項和.只需證明 即可.試題解析：（1）由，得 .整理，得恒成立，即.令.則.函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.函數(shù)的最小值為.，即.的取值范圍是.（2）為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項和