2008年普通高等學校招生全國統一考試理科數學（必修+選修）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分第I卷1至2頁，第II卷3至9頁考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回第卷考生注意：1答題前，考生在答題卡上務必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號、填寫清楚 ，并貼好條形碼請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目2每小題選出答案后，用2鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號在試題卷上作答無效3本卷共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的參考公式：如果事件互斥，那么球的表面積公式如果事件相互獨立，那么其中表示球的半徑球的體積公式如果事件在一次試驗中發生的概率是，那么次獨立重復試驗中恰好發生次的概率其中表示球的半徑一、選擇題1函數的定義域為（ ）ABCD2汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數，其圖像可能是（ ）stOAstOstOstOBCD3在中，若點滿足，則（ ）ABCD4設，且為正實數，則（ ）A2B1C0D5已知等差數列滿足，則它的前10項的和（ ）A138B135C95D236若函數的圖像與函數的圖像關于直線對稱，則（ ）Ae2x-1Be2xCe2x+1D e2x+27設曲線在點處的切線與直線垂直，則（ ）A2BCD8為得到函數的圖像，只需將函數的圖像（ ）A向左平移個長度單位B向右平移個長度單位C向左平移個長度單位D向右平移個長度單位9設奇函數在上為增函數，且，則不等式的解集為（ ）ABCD10若直線通過點，則（ ）ABCD11已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ ）AB CD12如圖，一環形花壇分成四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（ ）DBCAA96B84C60D482008年普通高等學校招生全國統一考試理科數學（必修選修）第卷注意事項：1答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚，然后貼好條形碼請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目2第卷共7頁，請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，在試題卷上作答無效3本卷共10小題，共90分二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上（注意：在試題卷上作答無效）1313若滿足約束條件則的最大值為 14已知拋物線的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為 15在中，若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率 16等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，M、N分別是AC、BC的中點，則EM、AN所成角的余弦值等于 三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17（本小題滿分10分）（注意：在試題卷上作答無效）設的內角所對的邊長分別為a、b、c，且（）求的值；（）求的最大值18（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）四棱錐中，底面為矩形，側面底面，（）證明：；（）設與平面所成的角為，求二面角的大小CDEAB19（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）已知函數，（）討論函數的單調區間；（）設函數在區間內是減函數，求的取值范圍20（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性的即沒患病下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗（）求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率；（）表示依方案乙所需化驗次數，求的期望21（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經過右焦點垂直于的直線分別交于兩點已知成等差數列，且與同向（）求雙曲線的離心率；（）設被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程22（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）設函數數列滿足，（）證明：函數在區間是增函數；（）證明：；（）設，整數證明：參考答案一、選擇題1、C2、A 3、A 4、D 5、C 6、B 7、D 8、A 9.D 10.D 11.B 12.B. 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上13.答案：914. 答案：2.15.答案：.16.答案：.三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.解析：（）由正弦定理得a=acosB-bcosA=()c = = =依題設得解得tanAcotB=4(II)由（I）得tanA=4tanB，故A、B都是銳角，于是tanB0tan(A-B)=，且當tanB=時，上式取等號，因此tan(A-B)的最大值為18解：(I)作AOBC，垂足為O，連接OD，由題設知，AO底面BCDE，且O為BC中點，由知，RtOCDRtCDE，從而ODC=CED，于是CEOD，由三垂線定理知，ADCE（II）由題意，BEBC，所以BE側面ABC，又BE側面ABE，所以側面ABE側面ABC。作CFAB，垂足為F，連接FE，則CF平面ABE故CEF為CE與平面ABE所成的角，CEF=45由CE=，得CF=又BC=2，因而ABC=60，所以ABC為等邊三角形作CGAD，垂足為G，連接GE。由（I）知，CEAD，又CECG=C，故AD平面CGE，ADGE，CGE是二面角C-AD-E的平面角。CG=GE=cosCGE=所以二面角C-AD-E為arccos()解法二：（I）作AOBC，垂足為O，則AO底面BCDE，且O為BC的中點，以O為坐標原點，射線OC為x軸正向，建立如圖所示的直角坐標系O-xyz.設A（0,0,t），由已知條件有C(1,0,0), D(1,0), E(-1, ,0),所以，得ADCE（II）作CFAB，垂足為F，連接FE，設F（x,0,z）則=(x-1,0,z),故CFBE，又ABBE=B，所以CF平面ABE，CEF是CE與平面ABE所成的角，CEF=45由CE=，得CF=又CB=2，所以FBC=60，ABC為等邊三角形，因此A（0，0，）作CGAD，垂足為G，連接GE，在RtACD中，求得|AG|=|AD|故G又所以的夾角等于二面角C-AD-E的平面角。由cos()=知二面角C-AD-E為arccos()（19）解：（）f(x)=3x2+2ax+1，判別式=4(a2-3)（i）若a或a0，f(x)是增函數； 在 內f(x)0，f(x)是增函數。（ii）若a0，故此時f(x)在R上是增函數。（iii）若a=，則f()=0，且對所有的x都有f(x)0，故當a=時，f(x)在R上是增函數。（）由（）知，只有當a或a時，由、解得a2 因此a的取值范圍是2,+）。（20）解：記A1、A2分別表示依方案甲需化驗1次、2次， B1、B2分別表示依方案乙需化驗2次、3次， A表示依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數。依題意知A2與B2獨立。（） ，。 P()=P(A1+A2B2) =P(A1)+P(A2B2) =P(A1)+P(A2)P(B2) = =所以 P(A)=1-P()=0.72（）的可能取值為2，3. P(B1)=，P(B2)=，P(=2)=P(B1)=，P(=3)=P(B2)= ，所以E=（次）。（21）解：（）設雙曲線方程為(a0,b0)，右焦點為F(c,0)(c0)，則c2=a2+b2不妨設l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0則，。因為2+2=2，且 =2-，所以2+2=(2-)2，于是得tanAOB=。又與同向，故AOF=AOB，所以解得tanAOF=，或tanAOF=-2（舍去）。因此。所以雙曲線的離心率e=（）由a=2b知，雙曲線的方程可化為 x2-4y2=4b2 由l1的斜率為，c=b知，直線AB的方程為 y=-2(x-b) 將代入并化簡，得 15x2-32bx+84b2=0設AB與雙曲線的兩交點的坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)，則 x1+x2=，x1x2= AB被雙曲線所截得的線段長 l= 將代入，并化簡得l=，而由已知l=4，故b=3，a=6所以雙曲線的方程為22、解：（I）當0x0所以函數f(x)在區間（0,1）是增函數，（II）當0xx又由（I）有f(x)在x=1處連續知，當0x1時，f(x)f(1)=1因此，當0x1時，0xf(x)1 下面用數學歸納法證明： 0anan+11 (i)由0a11, a2=f(a1)，應用式得0a1a21，即當n=1時，不等式成立(ii)假設n=k時，不等式成立，即0a