第2課時指數型 對數型函數模型的應用舉例 知識提煉 1 指數函數模型 1 表達形式 f x 2 條件 a b c為常數 a 0 b 0 b 1 2 對數函數模型 1 表達形式 f x 2 條件 m n a為常數 m 0 a 0 a 1 abx c mlogax n 即時小測 1 思考下列問題 1 依據散點圖選擇函數模型時主要依據函數的什么性質 提示 主要依據函數的單調性及函數值增長速度的快慢 2 數據擬合時 得到的函數為什么需要檢驗 提示 因為根據已給的數據 作出散點圖 根據散點圖選擇我們比較熟悉的 最簡單的函數進行擬合 但用得到的函數進行估計時 可能誤差較大或不切合客觀實際 此時就要再改選其他函數模型 2 某種放射性元素的原子數y隨時間x的變化規律是y 1024e 5x 則 a 該函數是增函數b 該函數是減函數c x d 當x 0時 y 1 解析 選b 顯然該函數是減函數 b正確 c d變形或求值錯誤 3 某電子產品的價格為a元 降價10 后 又降價10 銷售量猛增 該公司決定再提價20 提價后這種電子產品的價格為 a 0 972元b 0 972a元c 0 96元d 0 96a元 解析 選b a 1 10 2 1 20 0 972a 4 已知函數f x 定義在 0 上 測得f x 的一組函數值如表 試在函數y y x y x2 y 2x 1 y lnx 1中選擇一個函數來描述 則這個函數應該是 解析 通過表中數值 畫出散點圖 可判斷此圖象增長的比較緩慢 更符合y lnx 1來描述 答案 y lnx 1 知識探究 知識點指數型 對數型函數模型的應用舉例觀察如圖所示內容 回答下列問題 問題1 應按照怎樣的步驟解應用題 問題2 根據收集到的數據的特點如何建立擬合函數模型 總結提升 1 解函數模型確定的應用題的基本步驟 1 審題 弄清題意 分清條件和結論 理順數量關系 初步選擇模型 2 建模 將自然語言轉化為數學語言 將文字語言轉化為符號語言 利用數學知識 建立相應的數學模型 3 求模 求解數學模型 得出數學模型 4 還原 將數學結論還原為實際問題的意義 2 擬合函數模型的應用題的解題步驟 1 作圖 即根據已知數據 畫出散點圖 2 選擇函數模型 一般是根據散點圖的特征 聯想哪些函數具有類似的圖象特征 找幾個比較接近的函數模型嘗試 3 求出函數模型 求出 2 中找到的幾個函數模型的解析式 4 檢驗 將 3 中求出的幾個函數模型進行比較 驗證 得出最適合的函數模型 題型探究 類型一指數函數模型 典例 1 2015 懷柔高一檢測 某企業生產總值的月平均增長率為p 則年 1年為12個月 平均增長率為 2 2015 漢沽高一檢測 醫學上為研究傳染病傳播中病毒細胞的發展規律及其預防 將病毒細胞注入一只小白鼠體內進行試驗 經檢測 病毒細胞的個數與天數的記錄如下表 已知該病毒細胞在小白鼠體內的個數超過108的時候將死亡 但注射某種藥物 可殺死其體內該病毒細胞的98 1 為了使小白鼠在試驗過程中不死亡 第一次最遲應在何時注射該種藥物 精確到天 lg2 0 3010 2 第二次最遲應在何時注射該種藥物 才能維持小白鼠的生命 精確到天 解題探究 1 典例1中12月底的生產總值是多少 提示 設原來的生產總值為a 則12月底的生產總值為a 1 p 12 2 典例2中屬于哪方面的數學問題 應首先建立哪兩個量之間的關系 提示 這個問題屬于增長率問題 首先建立病毒細胞的個數與天數之間的關系式 然后通過研究函數關系式對問題作出解答 解析 1 設原來的生產總值為a 則12月底的生產總值為a 1 p 12 故年平均增長率為 1 p 12 1 答案 1 p 12 1 2 1 由題意知第一次注射藥物前病毒細胞的個數y關于天數n n n 的函數關系式為y 2n 1 n n 為了使小白鼠在試驗過程中不死亡 則2n 1 108 兩邊取對數 解得n 27 即第一次最遲應在第27天注射該種藥物 2 由題意知第一次注射藥物后小白鼠體內剩余的病毒細胞個數為226 2 再經過x天后小白鼠體內的病毒細胞個數為226 2 2x 由題意226 2 2x 108 兩邊取對數得26lg2 lg2 2 xlg2 8 解得x 6 即再經過6天必須注射藥物 即第二次最遲應在第33天注射藥物 方法技巧 解決有關增長率問題的關鍵和措施 1 解決這類問題的關鍵是理解增長 衰減 率的意義 增長 衰減 率是所研究的對象在 單位時間 內比它在 前單位時間 內的增長 衰減 率 切記并不總是只和開始單位時間內的比較 2 具體分析問題時 應嚴格計算并寫出前3 4個單位時間的具體值 通過觀察 歸納出規律后 再概括為數學問題 最后求解數學問題即可 變式訓練 光線每透過1塊玻璃 其強度就要減弱 要使光線的強度減弱到原來的以下 則至少要透過塊這樣的玻璃 解析 設剛開始的光線強度為1 則透過1塊這樣的玻璃后 光線強度為1 透過2塊這樣的玻璃后 光線強度為透過3塊這樣的玻璃后 光線強度為則透過n塊這樣的玻璃后 光線強度為令 即0 9n n 10 4 故至少要透過11塊這樣的玻璃 才能使光線的強度減弱到原來的以下 答案 11 類型二對數函數模型 典例 2015 濟寧高一檢測 大西洋鮭魚每年都要逆流而上 游回產地產卵 經研究發現鮭魚的游速可以表示為函數v log3 單位是m s 是表示魚的耗氧量的單位數 1 當一條鮭魚的耗氧量是900個單位時 它的游速是多少 2 某條鮭魚想把游速提高1m s 那么它的耗氧量的單位數是原來的多少倍 解題探究 典例 2 中 游速提高1m s 的含義是什么 提示 游速提高1m s實質是v2 v1 1 解析 1 由v 可知 當 900時 2 由v2 v1 1 即所以耗氧量為原來的9倍 延伸探究 1 改變問法 在典例中若條件不變 求解的問題改為 當一條鮭魚的耗氧量是8100個單位時 它的游速是多少 解析 將 8100代入函數關系式 得v log381 4 2 所以一條鮭魚的耗氧量是8100個單位時 它的游速是2m s 2 改變問法 在典例中若條件不變 計算一條鮭魚靜止時耗氧量的單位數 解析 令v 0 得則 100 所以一條鮭魚靜止時耗氧量為100個單位 方法技巧 對數函數應用題的解題思路有關對數函數的應用題一般都會給出函數關系式 要求根據實際情況求出函數關系式中的參數 或給出具體情境 從中提煉出數據 代入關系式求值 然后根據值回答其實際意義 補償訓練 1 衡量地震級數的 里氏 是指地震強度 即地震時震源釋放的能量 的常用對數值 顯然里氏級別越高 地震的強度也就越大 如日本1923年的地震是里氏8 9級 美國舊金山1906年的地震是里氏8 3級 試計算一下 日本1923年的地震強度是美國舊金山1906年的地震強度的多少倍 解析 設日本1923年的地震強度為x 美國舊金山1906年的地震強度為y 則8 9 lgx 8 3 lgy 所以x 108 9 y 108 3 所以 100 6 4 即日本1923年的地震強度約是美國舊金山1906年的地震強度的4倍 2 2015 臨汾高一檢測 我們知道 人們對聲音有不同的感覺 這與它的強度有關系 聲音的強度i用瓦 米2 w m2 表示 但在實際測量時 常用聲音的強度水平li表示 它們滿足以下公式 li 10 lg 單位為分貝 li 0 其中i0 1 10 12w m2 這是人們平均能聽到的最小強度 是聽覺的開端 回答以下問題 1 樹葉沙沙聲的強度是1 10 12w m2 耳語的強度是1 10 10w m2 恬靜的無線電廣播的強度是1 10 8w m2 試分別求出它們的強度水平 2 某一新建的安靜小區規定 小區內公共場所的聲音的強度水平必須保持在50分貝以下 試求聲音強度i的范圍為多少 解題指南 1 代入公式li 10 lg即可求解 2 列出li滿足的條件 解不等式 解析 1 由題意可知 樹葉沙沙聲的強度是i1 1 10 12w m2 則 1 所以 10lg1 0 即樹葉沙沙聲的強度水平為0分貝 耳語的強度是i2 1 10 10w m2 則 102 所以 10lg102 20 即耳語的強度水平為20分貝 恬靜的無線電廣播的強度是i3 1 10 8w m2 則 104 所以 10lg104 40 即恬靜的無線電廣播的強度水平為40分貝 2 由題意知 0 li 50 即0 10lg 50 所以 1 105 即10 12 i 10 7 所以新建的安靜小區的聲音強度i大于或等于10 12w m2 同時應小于10 7w m2 延伸探究 1 在本題條件下 若某電子音樂播放器發出的音樂強度水平為60分貝 試求該電子播放器的強度 解析 由10 lg 60 即lg 6 所以 106 即i 106 1 10 12 1 10 6w m2 2 若安靜小區為了進一步提高居民的生活居住環境 規定小區內公共場所的聲音的強度水平必須保持在40分貝以下 試求聲音強度i的范圍為多少 解析 由題意知 0 li 40 即0 10lg 40 所以 1 104 即10 12 i 10 8 所以新建的安靜小區的聲音強度i大于或等于10 12w m2 同時應小于10 8w m2 類型三建立擬合函數模型解決實際問題 典例 1 下列函數關系中 可以看作是指數型函數y kax k r a 0且a 1 模型的是 a 豎直向上發射的信號彈 從發射到落回地面 信號彈的高度與時間的關系 不計空氣阻力 b 我國人口年自然增長率為1 這樣我國人口總數隨年份的變化關系c 如果某人ts內騎車行駛了1km 那么此人騎車的平均速度與時間的函數關系d 信件的郵資與其質量間的函數關系 2 2015 邯鄲高一檢測 為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響 在山上建立了一個觀察站 測量最大積雪深度x與當年灌溉面積y 現有連續10年的實測資料 如表所示 1 描點畫出灌溉面積隨積雪深度變化的圖象 2 建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數模型 并畫出圖象 3 根據所建立的函數模型 估計若今年最大積雪深度為25cm 則可以灌溉土地多少公頃 解題探究 1 典例1中y kax有怎樣的變化趨勢 提示 此函數為指數型函數 變化趨勢符合指數函數的變化規律 2 典例2中如何應用表中的數據 提示 可首先根據表中數據作出散點圖 然后通過觀察圖象判斷問題所適用的函數模型 解析 1 選b a中信號彈的高度先增加再減少 不符合y kax的變化 b中若已知人口數為m 則x年后有m 1 1 x 符合y kax c d中函數關系也不符合指數型函數變化規律 2 1 描點 作圖 如圖 甲 所示 2 從圖 甲 中可以看到 數據點大致落在一條直線附近 由此 我們假設灌溉面積y與最大積雪深度x滿足一次函數模型y a bx a b為常數且b 0 取其中的兩組數據 10 4 21 1 24 0 45 8 代入y a bx 得用計算器可得a 2 2 b 1 8 這樣 得到一個函數模型 y 2 2 1 8x 作出函數圖象如圖 乙 可以發現 這個函數模型與已知數據的擬合程度較好 這說明它能較好地反映積雪深度與灌溉面積的關系 3 由 2 得到的函數模型為y 2 2 1 8x 則由y 2 2 1 8 25 求得y 47 2 即當積雪深度為25cm時 可以灌溉土地約為47 2公頃 延伸探究 典例2 3 中估計若今年最大積雪深度改為30cm 問可以灌溉土地多少公頃 解析 由 2 得到的函數模型為y 2 2 1 8x 則由y 2 2 1 8 30 求得y 56 2 即當積雪深度為30cm時 可以灌溉土地約為56 2公頃 方法技巧 建立函數擬合與預測的基本步驟 變式訓練 圖中一組函數圖象 它們分別與其后所列的一個現實情境相匹配 情境a 一份30分鐘前從冰箱里取出來 然后被放到微波爐里加熱 最后放到餐桌上的食物的溫度 將0時刻確定為食物從冰箱里被取出來的那一刻 情境b 一個1970年生產的留聲機從它剛開始的售價到現在的價值 它被一個愛好者收藏 并且被保存得很好 情境c 從你剛開始放水洗澡 到你洗完后把水排掉這段時間浴缸里水的高度 情境d 根據乘客人數 每輛公交車一趟營運的利潤 其中情境a b c d分別對應的圖象是 解析 對于a 加熱時升溫快 然后再變涼 易知為 對于b 過時的物品價值先下降 直到收藏后價值才會升值 因此顯然為 對于c 由于洗澡一般是間歇性用水 所以易知水高度函數圖象有多重折線 因此顯然為 對于d 乘客人數越多 利潤越大 顯然是 答案 補償訓練 環境污染已經嚴重危害人們的健康 某工廠因排污比較嚴重 決定著手整治 一個月時污染度為60 整治后前四個月的污染度如下表 污染度為0后 該工廠即停止整治 污染度又開始上升 現用下列三個函數模擬從整治后第一個月開始工廠的污染模式 f x 20 x 4 x 1 g x x 4 2 x 1 h x 30 log2x 2 x 1 其中x表示月數 f x g x h x 分別表示污染度 問選用哪個函數模擬比較合理 并說明理由 解析 用h x 模擬比較 理由 因為f 2 40 g 2 26 7 h 2 30 f 3 20 g 3 6 7 h 3 12 5 由此可得h x 更接近實際值 所以用h x 模擬比較合理 規范解答指數 對數函數模型在實際