概率論與數理統計習題及答案習題 一1略.見教材習題參考答案.2.設A，B，C為三個事件，試用A，B，C的運算關系式表示下列事件：（1） A發生，B，C都不發生； （2） A與B發生，C不發生；（3） A，B，C都發生； （4） A，B，C至少有一個發生；（5） A，B，C都不發生； （6） A，B，C不都發生；（7） A，B，C至多有2個發生； （8） A，B，C至少有2個發生.【解】（1） A （2） AB （3） ABC（4） ABC=CBABCACABABC=(5) = (6) (7) BCACABCAB=(8) ABBCCA=ABACBCABC3.略.見教材習題參考答案4.設A，B為隨機事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）.【解】 P（）=1-P（AB）=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65.設A，B是兩事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1） 在什么條件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么條件下P（AB）取到最小值？【解】（1） 當AB=A時，P（AB）取到最大值為0.6.（2） 當AB=時，P（AB）取到最小值為0.3.6.設A，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發生的概率.【解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=+-=23.設P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（BA）【解】 33.三人獨立地破譯一個密碼，他們能破譯的概率分別為，求將此密碼破譯出的概率.【解】 設Ai=第i人能破譯（i=1,2,3），則 34.甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，設擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7，若只有一人擊中，則飛機被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機一定被擊落，求：飛機被擊落的概率.【解】設A=飛機被擊落，Bi=恰有i人擊中飛機，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7=0.458.習題二1.一袋中有5只乒乓球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律.【解】故所求分布律為X345P0.10.30.62.設在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個數，求：（1） X的分布律；（2） X的分布函數并作圖；(3).【解】故X的分布律為X012P（2） 當x0時，F（x）=P（Xx）=0當0x1時，F（x）=P（Xx）=P(X=0)= 當1x2時，F（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)=當x2時，F（x）=P（Xx）=1故X的分布函數(3) 3.射手向目標獨立地進行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標的次數的分布律及分布函數，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】設X表示擊中目標的次數.則X=0，1，2，3.故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數4.（1） 設隨機變量X的分布律為PX=k=，其中k=0，1，2，0為常數，試確定常數a.（2） 設隨機變量X的分布律為PX=k=a/N， k=1，2，N，試確定常數a.【解】（1） 由分布律的性質知故 (2) 由分布律的性質知即 .5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求：（1） 兩人投中次數相等的概率;（2） 甲比乙投中次數多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數，則Xb（3，0.6）,Yb(3,0.7)(1) + (2) =0.2436.設某機場每天有200架飛機在此降落，任一飛機在某一時刻降落的概率設為0.02，且設各飛機降落是相互獨立的.試問該機場需配備多少條跑道，才能保證某一時刻飛機需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機降落)？【解】設X為某一時刻需立即降落的飛機數，則Xb(200,0.02)，設機場需配備N條跑道，則有即 利用泊松近似查表得N9.故機場至少應配備9條跑道.7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設每輛車在一天的某時段出事故的概率為0.0001,在某天的該時段內有1000輛汽車通過，問出事故的次數不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】設X表示出事故的次數，則Xb（1000，0.0001） 8.已知在五重貝努里試驗中成功的次數X滿足PX=1=PX=2，求概率PX=4.【解】設在每次試驗中成功的概率為p，則故 所以 .9.設事件A在每一次試驗中發生的概率為0.3，當A發生不少于3次時，指示燈發出信號，（1） 進行了5次獨立試驗，試求指示燈發出信號的概率；（2） 進行了7次獨立試驗，試求指示燈發出信號的概率.【解】（1） 設X表示5次獨立試驗中A發生的次數，則X6（5，0.3）(2) 令Y表示7次獨立試驗中A發生的次數，則Yb（7，0.3）10.某公安局在長度為t的時間間隔內收到的緊急呼救的次數X服從參數為（1/2）t的泊松分布，而與時間間隔起點無關（時間以小時計）.（1） 求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12時至下午5時至少收到1次呼救的概率.【解】（1） (2) 11.設PX=k=, k=0,1,2PY=m=, m=0,1,2,3,4分別為隨機變量X，Y的概率分布，如果已知PX1=，試求PY1.【解】因為，故.而 故得 即 從而 12.某教科書出版了2000冊，因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001，試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率.【解】令X為2000冊書中錯誤的冊數，則Xb(2000,0.001).利用泊松近似計算,得 13.進行某種試驗，成功的概率為，失敗的概率為.以X表示試驗首次成功所需試驗的次數，試寫出X的分布律，并計算X取偶數的概率.【解】14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司領取2000元賠償金.求：（1） 保險公司虧本的概率;（2） 保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.（1） 在1月1日，保險公司總收入為250012=30000元.設1年中死亡人數為X，則Xb(2500,0.002)，則所求概率為由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有(2) P(保險公司獲利不少于10000) 即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P（保險公司獲利不少于20000） 即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62%15.已知隨機變量X的密度函數為f(x)=Ae-|x|, -x+,求：（1）A值；（2）P0X1; (3) F(x).【解】（1） 由得故 .(2) (3) 當x0時，當x0時， 故 16.設某種儀器內裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數為f(x)=求：（1） 在開始150小時內沒有電子管損壞的概率；（2） 在這段時間內有一只電子管損壞的概率；（3） F（x）.【解】（1） (2) (3) 當x100時F（x）=0當x100時 故 17.在區間0，a上任意投擲一個質點，以X表示這質點的坐標，設這質點落在0，a中任意小區間內的概率與這小區間長度成正比例，試求X的分布函數.【解】 由題意知X0,a，密度函數為故當xa時，F（x）=1即分布函數18.設隨機變量X在2，5上服從均勻分布.現對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率.【解】XU2,5，即故所求概率為19.設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X（以分鐘計）服從指數分布.某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次，以Y表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數，試寫出Y的分布律，并求PY1.【解】依題意知，即其密度函數為該顧客未等到服務而離開的概率為,即其分布律為20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時間X服從N（40，102）；第二條路程較長，但阻塞少，所需時間X服從N（50，42）.（1） 若動身時離火車開車只有1小時，問應走哪條路能乘上火車的把握大些？（2） 又若離火車開車時間只有45分鐘，問應走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1） 若走第一條路，XN（40，102），則若走第二條路，XN（50，42），則+故走第二條路乘上火車的把握大些.（2） 若XN（40，102），則若XN（50，42），則 故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設XN（3，22），（1） 求P2X5，P-4X10，PX2，PX3;（2） 確定c使PXc=PXc.【解】（1） (2) c=322.由某機器生產的螺栓長度（cm）XN（10.05,0.062）,規定長度在10.050.12內為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.【解】 23.一工廠生產的電子管壽命X（小時）服從正態分布N（160，2），若要求P120X2000.8，允許最大不超過多少？【解】 故 24.設隨機變量X分布函數為F（x）=（1） 求常數A，B；（2） 求PX2，PX3；（3） 求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2） (3) 25.設隨機變量X的概率密度為f（x）=求X的分布函數F（x），并畫出f（x）及F（x）.【解】當x0時F（x）=0當0x1時 當1x0;(2) f(x)=試確定常數a,b，并求其分布函數F（x）.【解】（1） 由知故 即密度函數為 當x0時當x0時 故其分布函數(2) 由得 b=1即X的密度函數為當x0時F（x）=0當0x1時 當1x0時， 故 (2)當y1時當y1時 故 (3) 當y0時當y0時 故31.設隨機變量XU（0,1），試求：（1） Y=eX的分布函數及密度函數；（2） Z=-2lnX的分布函數及密度函數.【解】（1） 故 當時當1ye時當ye時即分布函數故Y的密度函數為（2） 由P（0X0時， 即分布函數故Z的密度函數為32.設隨機變量X的密度函數為f(x)=試求Y=sinX的密度函數.【解】當y0時，當0y1時， 當y1時，故Y的密度函數為33.設隨機變量X的分布函數如下：試填上(1),(2),(3)項.【解】由知填1。由右連續性知，故為0。從而亦為0。即34.同時擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現6點為止，求拋擲次數X的分布律.【解】設Ai=第i枚骰子出現6點。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨立。再設C=每次拋擲出現6點。則 故拋擲次數X服從參數為的幾何分布。35.隨機數字序列要多長才能使數字0至少出現一次的概率不小于0.9?【解】令X為0出現的次數，設數字序列中要包含n個數字，則Xb(n,0.1)即 得 n22即隨機數字序列至少要有22個數字。36.已知F（x）=則F（x）是（ ）隨機變量的分布函數.（A） 連續型； （B）離散型；（C） 非連續亦非離散型.【解】因為F（x）在（-,+）上單調不減右連續，且,所以F（x）是一個分布函數。但是F（x）在x=0處不連續，也不是階梯狀曲線，故F（x）是非連續亦非離散型隨機變量的分布函數。選（C）37.設在區間a,b上，隨機變量X的密度函數為f(x)=sinx，而在a,b外，f(x)=0，則區間 a,b等于（ ）(A) 0,/2; (B) 0,;(C) -/2,0; (D) 0,.【解】在上sinx0，且.故f(x)是密度函數。在上.故f(x)不是密度函數。在上，故f(x)不是密度函數。在上，當時，sinx0）=1，故01-e-2X1，即P（0Y1）=1當y0時，FY（y）=0當y1時，FY（y）=1當0y1時，即Y的密度函數為即YU（0，1）41.設隨機變量X的密度函數為f(x)=若k使得PXk=2/3，求k的取值范圍. (2000研考)【解】由P（Xk）=知P（Xk）=若k0,P(Xk)=0若0k1,P(Xk)= 當k=1時P（Xk）=若1k3時P（Xk）=若3k6，則P（X6,則P（Xk）=1故只有當1k3時滿足P（Xk）=.42.設隨機變量X的分布函數為F(x)=求X的概率分布. （1991研考）【解】由離散型隨機變量X分布律與分布函數之間的關系，可知X的概率分布為X-113P0.40.40.243.設三次獨立試驗中，事件A出現的概率相等.若已知A至少出現一次的概率為19/27，求A在一次試驗中出現的概率.【解】令X為三次獨立試驗中A出現的次數，若設P（A）=p,則Xb(3,p)由P（X1）=知P（X=0）=（1-p）3=故p=44.若隨機變量X在（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實根的概率是多少？ 【解】45.若隨機變量XN（2，2），且P2X4=0.3，則PX0= . 【解】故 因此 46.假設一廠家生產的每臺儀器，以概率0.7可以直接出廠；以概率0.3需進一步調試，經調試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠.現該廠新生產了n(n2)臺儀器（假設各臺儀器的生產過程相互獨立）.求（1） 全部能出廠的概率；（2） 其中恰好有兩臺不能出廠的概率；（3）其中至少有兩臺不能出廠的概率. 【解】設A=需進一步調試，B=儀器能出廠，則=能直接出廠，AB=經調試后能出廠由題意知B=AB，且令X為新生產的n臺儀器中能出廠的臺數，則X6（n，0.94）,故 47.某地抽樣調查結果表明，考生的外語成績（百分制）近似服從正態分布，平均成績為72分，96分以上的占考生總數的2.3%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.【解】設X為考生的外語成績，則XN（72，2）故 查表知 ,即=12從而XN（72，122）故 48.在電源電壓不超過200V、200V240V和超過240V三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2（假設電源電壓X服從正態分布N（220，252）.試求：（1） 該電子元件損壞的概率;(2) 該電子元件損壞時，電源電壓在200240V的概率【解】設A1=電壓不超過200V，A2=電壓在200240V，A3=電壓超過240V，B=元件損壞。由XN（220，252）知 由全概率公式有由貝葉斯公式有49.設隨機變量X在區間（1，2）上服從均勻分布，試求隨機變量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】因為P（1X2）=1,故P（e2Ye4）=1當ye2時FY（y）=P(Yy)=0. 當e2y1時， 即 故 51.設隨機變量X的密度函數為fX(x)=,求Y=1-的密度函數fY(y). 【解】 故 52.假設一大型設備在任何長為t的時間內發生故障的次數N（t）服從參數為t的泊松分布.（1） 求相繼兩次故障之間時間間隔T的概率分布；（2） 求在設備已經無故障工作8小時的情形下，再無故障運行8小時的概率Q.（1993研考）【解】（1） 當tt與N(t)=0等價，有即 即間隔時間T服從參數為的指數分布。（2） 53.設隨機變量X的絕對值不大于1，PX=-1=1/8，PX=1=1/4.在事件-1X1出現的條件下，X在-1，1內任一子區間上取值的條件概率與該子區間長度成正比，試求X的分布函數F（x）=PXx. (1997研考)【解】顯然當x-1時F（x）=0；而x1時F（x）=1由題知當-1x1時，此時 當x=-1時，故X的分布函數54. 設隨機變量X服從正態分N（1,12),Y服從正態分布N(2,22)，且P|X-1|P|Y-2|1，試比較1與2的大小. (2006研考)解： 依題意 ，則，.因為，即，所以有 ，即.習題三1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現正面的次數，以Y表示三次中出現正面次數與出現反面次數之差的絕對值.試寫出X和Y的聯合分布律.【解】X和Y的聯合分布律如表：XY01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數，以Y表示取到紅球的只數.求X和Y的聯合分布律.【解】X和Y的聯合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2紅,2白)=03.設二維隨機變量（X，Y）的聯合分布函數為F（x，y）=求二維隨機變量（X，Y）在長方形域內的概率.【解】如圖 題3圖說明：也可先求出密度函數，再求概率。4.設隨機變量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1） 常數A；（2） 隨機變量（X，Y）的分布函數；（3） P0X1，0Y2.【解】（1） 由得 A=12（2） 由定義，有 (3) 5.設隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 確定常數k；（2） 求PX1，Y3；（3） 求PX1.5；（4） 求PX+Y4.【解】（1） 由性質有故 （2） (3) (4) 題5圖6.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數為fY（y）=求：（1） X與Y的聯合分布密度；（2） PYX.題6圖【解】（1） 因X在（0，0.2）上服從均勻分布，所以X的密度函數為而所以 (2) 7.設二維隨機變量（X，Y）的聯合分布函數為F（x，y）=求（X，Y）的聯合分布密度.【解】8.設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】 題8圖 題9圖9.設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】 題10圖10.設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 試確定常數c；（2） 求邊緣概率密度.【解】（1） 得.(2) 11.設隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求條件概率密度fYX（yx），fXY（xy）. 題11圖【解】 所以 12.袋中有五個號碼1，2，3，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X，最大的號碼為Y.（1） 求X與Y的聯合概率分布；（2） X與Y是否相互獨立？【解】（1） X與Y的聯合分布律如下表YX345120300(2) 因故X與Y不獨立13.設二維隨機變量（X，Y）的聯合分布律為XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1）求關于X和關于Y的邊緣分布；（2） X與Y是否相互獨立？【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故X與Y不獨立.14.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為fY（y）=（1）求X和Y的聯合概率密度；（2） 設含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實根的概率.【解】（1） 因 故 題14圖(2) 方程有實根的條件是故 X2Y，從而方程有實根的概率為： 15.設X和Y分別表示兩個不同電子器件的壽命（以小時計），并設X和Y相互獨立，且服從同一分布，其概率密度為f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(1) 當z0時，（2） 當0z0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0p1），且中途下車與否相互獨立，以Y表示在中途下車的人數，求：（1）在發車時有n個乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機變量（X，Y）的概率分布.【解】(1) .(2) 24.設隨機變量X和Y獨立，其中X的概率分布為X，而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】設F（y）是Y的分布函數，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數為 由于X和Y獨立，可見 由此，得U的概率密度為 25. 25. 設隨機變量X與Y相互獨立，且均服從區間0,3上的均勻分布，求PmaxX,Y1.解：因為隨即變量服從0，3上的均勻分布，于是有 因為X，Y相互獨立，所以推得 .26. 設二維隨機變量（X，Y）的概率分布為XY -1 0 1 -101a 0 0.20.1 b 0.20 0.1 c其中a,b,c為常數，且X的數學期望E(X)= -0.2,PY0|X0=0.5，記Z=X+Y.求：（1） a,b,c的值；（2） Z的概率分布；（3） PX=Z. 解 (1) 由概率分布的性質知，a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4.由，可得.再由 ,得 .解以上關于a，b，c的三個方程得.(2) Z的可能取值為-2，-1，0，1，2，即Z的概率分布為Z-2 -1 0 1 2P0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) .習題四1.設隨機變量X的分布律為X -1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1) (2) (3) 2.已知100個產品中有10個次品，求任意取出的5個產品中的次品數的數學期望、方差.【解】設任取出的5個產品中的次品數為X，則X的分布律為X012345P故 3.設隨機變量X的分布律為X -1 0 1Pp1 p2 p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】因,又,由聯立解得4.袋中有N只球，其中的白球數X為一隨機變量，已知E（X）=n，問從袋中任取1球為白球的概率是多少？【解】記A=從袋中任取1球為白球，則 5.設隨機變量X的概率密度為f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 6.設隨機變量X，Y，Z相互獨立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機變量的數學期望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ -4X.【解】(1) (2) 7.設隨機變量X，Y相互獨立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.【解】(1) (2) 8.設隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試確定常數k，并求E（XY）.【解】因故k=2.9.設X，Y是相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為fX（x）= fY（y）=求E（XY）.【解】方法一：先求X與Y的均值 由X與Y的獨立性，得 方法二：利用隨機變量函數的均值公式.因X與Y獨立，故聯合密度為于是10.設隨機變量X，Y的概率密度分別為fX（x）= fY（y）=求（1） E（X+Y）;（2） E（2X -3Y2）.【解】 從而(1)(2)11.設隨機變量X的概率密度為f（x）=求（1） 系數c;（2） E（X）;（3） D（X）.【解】(1) 由