第 1 頁（共 28 頁） 2015年山東省青島市黃島區六中中考數學模擬試卷（八） 一、選擇題（本題滿分 24分，共有 8道小題，每小題 3分）下列每小題都給出標號為 A、 B、 C、中只有一個是正確的每小題選對得分；不選、選錯或選出的標號超過一個的不得分請將 1小題后面給出表格的相應位置上 1 的絕對值是（ ） A B C D 2下列水平放置的幾何體中，主視圖是矩形的有（ ） A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 3我國第六次人口普查顯示，全國人口為 1370536875 人，將這個總人口數（保留四個有效數字）用科學記數法表示為（ ）人 A 08 B 09 C 09 D 010 4 觀察下列圖案，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ） A B C D 5若反比例函數 的圖象經過點 A（ 3， 2），則當 x 1 時，函數值 y 的取值范圍是（ ） A y 6 B 0 y 6 C y 6 D 6 y 0 6正方形 坐標系中的位置如圖所示，將正方形 D 點順時針旋轉 90后， B 點的坐標為（ ） 第 2 頁（共 28 頁） A（ 4， 0） B（ 4， 1） C（ 2， 2） D（ 3， 1） 7如圖， O 的直徑，弦 足為 E， 0， ，則 O 的半徑為（ ） A B C 5 D 6 8函數 y=ax+a 與 y= （ a0）在同一直角坐標系中的圖象可能是（ ） A B C D 二、填空題（本題滿分 18分，共有 6道小題，每小題 3分） 9小亮應聘小記者，進行了三項素質測試，測試成績分別是： 采訪寫作 90 分，計算機輸入 85 分，創意設計 70 分，若將采訪寫作、計算機輸入、創意設計三項成績按 5： 2： 3 的比例來計算平均成績，則小亮的平均成績是 分 10如圖， O 的直徑， E 是 O 上的一點， C 是弧 中點，若 A=50，則 度數為 第 3 頁（共 28 頁） 11某旅館的客房有三人間和二人間兩種，三人間每人每天 80 元，二人間每人每天 110 元一個40 人的旅游團到該旅店住宿，租住了若干房間，且每個客房正好住滿，一天共花去住宿費 2500 元求兩種客房各租住了多少間？若設租住了三人間 x 間，二人間 y 間，則根據題意可列方程組為 12某口袋中裝有紅色、黃色、藍色三種顏色的小球（小球出顏色外完全相同）共 60 個通過多次摸球實驗后，發現摸到紅球、黃球的頻率分別是 30%和 45%，由此估計口袋中藍球的數目約為 個 13如圖，等腰直角三角形 ， 底邊 的高，現將 向平移，使點 重合，若重疊部分（陰影部分）的面積是 4，則 腰長為 14如圖，依次連結第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連結菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續下去已知第一個矩形的面積為 s，則第 n 個矩形的面積為 三、作圖題（本題滿分 4分）用圓規、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡 15某公園有海盜船、摩天輪、碰碰車三個娛樂項目，現要在公園內建一個售票中心，使得三個娛樂項目所處位置到售票中心的距離相等，請在圖中確定售票中心的位置 第 4 頁（共 28 頁） 四、解答題（本題滿分 74分，共有 9道小題） 16（ 1）解不等式組： （ 2）化簡： 17某校為了解九年級學生的體能情況，隨機抽取部分男生進行引體向上測試，并根據抽測成績繪制成如下兩幅統計圖 （ 1）請你補全圖 2 的統計圖； （ 2）本次抽測成績的眾數和中位數分別是多少？ （ 3）若規定引體向上 9 次以上（含 9 次）為體能達到標準，則該校 450 名九年級男生中，估計有多少人 體能達到標準？ 18甲、乙兩個人進行游戲：在一個不透明的口袋中裝有 4 張相同的紙牌，它們分別標有數字 1， 2，3， 4從中隨機摸出一張紙牌然后放回，再隨機摸出一張紙牌，若兩次摸出的紙牌上數字之和是 3的倍數，則甲得 1 分；否則乙得 1 分這是個公平的游戲嗎？請說明理由；若不公平，請你修改規則使該游戲對雙方公平 19五一期間，小明隨父母到某旅游勝地參觀游覽，他在游客中心 O 處測得景點 A 在其北偏東 72方向，測得景點 B 在其南偏東 40方向小明從游客中心走了 2 千米到達景點 A，已知景點 B 正好位于景點 A 的正南方向，求景點 A 與 B 之間的距離（結果精確到 米） （參考數據： 第 5 頁（共 28 頁） 20某超市第一次用 3000 元從生產基地購進某品種水果，很快售完，第二次又用 2400 元購進相同品種的水果，第二次購進水果每千克的進價是第一次的 ，且重量比第一次少了 20 千克 （ 1）求兩次購進水果每千克的進價分別是多少元？ （ 2）在這兩 次購進水果的運輸過程中，總重量損失 10%，若這兩次水果的售價相同，全部售完后超市至少要獲得 20%的總利潤，則該水果的售價最低應定為每千克多少元？（結果保留整數） 21如圖，在 ，分別取 中點 E 和 F，連接 點 A 作 延長線于點 P （ 1）求證： （ 2）當 P 滿足什么條件時，四邊形 菱形？證明你的結論 22某茶葉專賣店經銷一種嶗山綠茶，每千克成本 80 元據銷售人員調查發現 ，每月的銷售量 y（千克）與銷售單價 x（元 /千克）之間存在如圖所示的變化規律 （ 1）求每月銷售量 y 與銷售單價 x 之間的函數關系式； （ 2）寫出每月銷售這種綠茶獲得的利潤 w（元）與銷售單價 x（元 /千克）之間的函數關系式； （ 3）若該專賣店銷售這種綠茶想要每月獲得的利潤不低于 1350 元，并且為了不壓貨，要求每月銷售量不得低于 70 千克，則銷售單價應定在什么范圍內？ 第 6 頁（共 28 頁） 23【問題提出】 如圖 1，把一個邊長為 1 的正三角形紙片（即 在直線 ， 與 直線 后將三角形紙片繞著頂點 A 按順時針方向旋轉 120，此時點 O 運動到了點 B 運動到了點 將三角形紙片 點 20，點 A 運動到了點 動到了點 （即頂點 O 經過上述兩次旋轉到達 求頂點 O 經過的路程，并求頂點 O 在此運動過程中所形成的圖形與直線 成圖形的面積 【問題解決】 三角形紙片在上述兩次旋轉過程中，頂點 O 運動所形成的圖形是兩段圓弧，即弧 弧 點 O 所經過的路程是這兩段圓弧的長度之和，即 + = ；這兩段圓弧與直線 于扇形 面積、 1面積之和，即+ + = + 【類比應用】 如圖 2，把邊長為 1 的正方形紙片 在直線 ， 與直線 后將正方形紙片進行第一次旋轉，即繞著頂點 A 按順時針方向旋轉 90，此時點 O 運動到了點 點 B 處），點 C 運動到了點 ，點 B 運動到了點 ；再將正方形紙片 繞點順時針方向旋轉 90， ，按上述方法經過若干次旋轉后 第 7 頁（共 28 頁） 請你解答下面兩個問題： （ 1）若正方形紙片 上述方法經 過 3 次旋轉，求頂點 O 經過的路程，并求頂點 O 在此運動過程中所形成的圖形與直線 （ 2）若正方形 上述方法經過 5 次旋轉，求頂點 O 經過的路程 【拓展應用】 將正方形紙片 上述方法經過多少次旋轉，頂點 O 經過的路程是 ？ 24如圖，在直角梯形 ， D= 0， B=60， 線 出發沿 向勻速運動，速度是 2cm/s，運動過程中始終保持 E，交 點 F；同時，點 P 從點 C 出發沿 向勻速運動，速度是 1cm/s，連接 運動時間為 t（ s）（ 0 t 4） （ 1）當 ，求 t 的值是多少？ （ 2）設 面積為 y（ 求 y 與 t 之間的函數關系式； （ 3）是否存在某一時刻 t，使面積 y 最大？若存在，求出 y 的最大值；若不存在，說明理由 （ 4）連接 否存在某一時刻 t，使點 E 恰好在 垂直平分線上？若存在，求出此時 t 的值；若不存在，說明理由 第 8 頁（共 28 頁） 2015年山東省青島市黃島區六中中考數學模擬試卷（八） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本題滿分 24分，共有 8道小題，每小題 3分）下列每小題都給出標號為 A、 B、 C、中只有一個是正確的每小題選對得分；不選、選錯或選出的標號超過一個的不得分請將 1小題后面給出表格的相應位置上 1 的絕對值是（ ） A B C D 【考點】 絕對值 【分析】 根據正數的絕對值是它本身，可得答案 【解答】 解： | |= ，故 B 正確； 故選： B 【點評】 本題考查了絕對值，正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數 2下列水平放置的幾何體中，主 視圖是矩形的有（ ） A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 【考點】 簡單幾何體的三視圖 【分析】 根據主視圖的概念找出各圖形的主視圖 【解答】 解；圓柱的主視圖我長方形，長方體的主視圖為長方形，三棱柱的主視圖為長方形，圓錐的主視圖為三角形 主視圖為矩形的共 3 個 故選 C 【點評】 本題考查了簡單幾何體的三視圖，主視圖為從物體正面看到的視圖 第 9 頁（共 28 頁） 3我國第六次人口普查顯示，全國人口為 1370536875 人，將這個總人口數（保留四個有效數字）用科 學記數法表示為（ ）人 A 08 B 09 C 09 D 010 【考點】 科學記數法與有效數字 【分析】 科學記數法的表示形式為 a10中 1|a| 10， n 為整數確定 n 的值是易錯點，由于 137 053 687 5 有 10 位，所以可以確定 n=10 1=9有效數字的計算方法是：從左邊第一個不是0 的數字起，后面所有的數字都是有效數字 用科學記數法表示的數的有效數字只與前面的 a 有關，與 10 的多少次方無關 【解答】 解：全國人口為 1370536875 人，將這個總人口數（保留四個有效數字）用科學記數法表示為 09， 故選： C 【點評】 此題考查科學記數法的表示方法，以及用科學記數法表示的數的有效數字的確定方法用科學記數法表示的數的有效數字只與前面的 a 有關，與 10 的多少次方無關 4觀察下列圖案，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ） A B C D 【考點】 中心對稱圖形；軸對稱圖形 【專題】 壓軸題 【分析】 根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解 【解答】 解： A、不是軸對稱圖形，不符合題意，故本選項錯誤； B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，故本選項錯誤； C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意，故本選項正確； D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，故本選項錯誤 故選 C 【點評】 本題考查軸對稱圖形及中心對稱圖形的知識，要注意：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形 兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉 180 度后與原圖形重合 第 10 頁（共 28 頁） 5若反比例函數 的圖象經過點 A（ 3， 2），則當 x 1 時，函數值 y 的取值范圍是（ ） A y 6 B 0 y 6 C y 6 D 6 y 0 【考點】 反比例函數圖象上點的坐標特征；反比例函數的性質 【分析】 根據反比例函數圖象上點的坐標特征，將點 A 的坐標代入函數解析式求得 k= 6，據此可以畫出該函數的大致圖象，根據圖象直接回答問題 【解答】 解： 反比例函數 的圖象經過點 A（ 3， 2）， k= 3） 2= 6 0， 該反比例函數經過第二、四象限，且當 x=1 時， y= 6 其圖象如圖所示： 根據圖象知，當 x 1 時， 6 y 0 故選 D 【點評】 本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、反比例函數的性質解題時，采用了 “數形結合 ”的數學思想 6正方形 坐標系中的位置如圖所示，將正方形 D 點順時針旋轉 90后， B 點的坐標為（ ） A（ 4， 0） B（ 4， 1） C（ 2， 2） D（ 3， 1） 【考點】 坐標與圖形變化 方形的性質 第 11 頁（共 28 頁） 【分析】 根據旋轉的性質作出旋轉后的圖形，寫出點 B 對應點的坐標即可得解 【解答】 解：如圖，點 B 的對應點 B的坐標為（ 4， 0） 故選 A 【點評】 本題考查了坐標與圖形變化旋轉，利用數形結合求解更加簡便，準確作出圖形是解題的關鍵 7如圖， O 的直徑，弦 足為 E， 0， ，則 O 的半徑為（ ） A B C 5 D 6 【考點】 垂徑定理；勾股定理 【分析】 如圖，作輔助線；設 O 的半徑為 ，運用勾股定理列出 2=42+（ 10 ） 2，求出 即可解決問題 【解答】 解：如圖，連接 設 O 的半徑為 ，則 0 弦 E=4； 由勾股定理得 ： 2=42+（ 10 ） 2， 解得： = ， 故選 A 第 12 頁（共 28 頁） 【點評】 該題主要考查了垂徑定理、勾股定理及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用勾股定理等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答 8函數 y=ax+a 與 y= （ a0）在同一直角坐標系中的圖象可能是（ ） A B C D 【考點】 反比例函數的圖象；一次函數的圖象 【分析】 根據反比例函數圖象所在的象限可以判定 a 的符號，根據 a 的符號來確定直線所經過的象限 【解答】 解： A、雙曲線經過第二、四象限，則 a 0則直線應該經過第二、四象限，故本選項錯誤 B、雙曲線經過第一、三象限，則 a 0所以直線應該經過第一、三象限，且與 y 軸交于正半軸，故本選項正確 C、雙曲線經過第二、四象限，則 a 0所以直線應該經過第二、四象限，且與 y 軸交于正半軸，故本選項錯誤 D、雙曲線經過第一、三象限，則 a 0所以直線應該經過第一、三象限，且與 y 軸交于正半軸，故本選項錯誤 故選： B 第 13 頁（共 28 頁） 【點評】 此題考查一次函數，反比例函數中系數及常數項與圖象位置之間關系，難度不大，屬于基礎題 二、填空題（本題滿分 18分，共有 6道小題，每小題 3分） 9小亮應聘小記者，進行了三項素質測試，測試成績分別是：采訪寫作 90 分，計算機輸入 85 分，創意設計 70 分，若將采訪寫作、計算機輸入、創意設計 三項成績按 5： 2： 3 的比例來計算平均成績，則小亮的平均成績是 83 分 【考點】 加權平均數 【分析】 利用加權平均數按照比例求得小亮同學的成績即可 【解答】 解： （分） 故答案為： 83 【點評】 本題考查了加權平均數的計算方法，在進行計算時候注意權的分配，另外還應細心，否則很容易出錯 10如圖， O 的直徑， E 是 O 上的一點， C 是弧 中點，若 A=50，則 度數為 160 【考點】 圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系 【分析】 先根據圓周角定理得出 0，再由三角形內角和定理求出 度數，故可得出的度數，根據 C 是弧 中點可得出 的度數，進而可得出結論 【解答】 解： O 的直徑， 0 A=50， 0 50=40 =40 點 C 是弧 中點， 第 14 頁（共 28 頁） =2 =80， 80=160 故答案為： 160 【點評】 本題考查的是圓周角定理，熟知直徑所對的圓周角是直角是解答此題的關鍵 11某旅館的客房有三人間和二人間兩種，三人間每人每天 80 元，二人間每人每天 110 元一個40 人的旅游團到該旅店住宿，租住了若干房間，且每個客房正好住滿，一天共花去住宿費 2500 元求兩種客房各租住了多少間？若設租住了三人間 x 間，二人間 y 間，則根據題意可列方程組為 【考點】 由實際問題抽象出二元一次方程組 【分析】 設租住了三人間 x 間，二人間 y 間，根據總共 40 人花費 2500 元，列方程組即可 【解答】 解：設租住了三人間 x 間，二人間 y 間， 由題意得， 故答案為： 【點評】 本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合 適的等量關系，列方程組 12某口袋中裝有紅色、黃色、藍色三種顏色的小球（小球出顏色外完全相同）共 60 個通過多次摸球實驗后，發現摸到紅球、黃球的頻率分別是 30%和 45%，由此估計口袋中藍球的數目約為 15 個 【考點】 利用頻率估計概率 【分析】 首先求得摸到紅球的頻率，然后利用概率公式求解即可 【解答】 解： 摸到紅球、黃球的頻率分別是 30%和 45%， 摸到藍色球的頻率為 1 30% 45%=25%， 設有藍球 x 個，根據題意得： =25%， 解得： x=15， 故答案為： 15 第 15 頁（共 28 頁） 【點評】 此題主要考查了利用頻率估計概率，根據大量反復試驗下頻率穩定值即概率得出是解題關鍵 13如圖，等腰直角三角形 ， 底邊 的高，現將 向平移，使點 重合，若重疊部分（陰影部分）的面積是 4，則 腰長為 4 【考點】 平移的性質 【分析】 根據等腰直角三角形的性質得出 B= C=45，故可得出 等腰 直角三角形，根據重疊部分（陰影部分）的面積是 4 求出 長，故可得出 長，再根據勾股定理即可得出 【解答】 解： 等腰直角三角形， B= C=45， 等腰直角三角形 重疊部分（陰影部分）的面積是 4， ，解得 ， = =4， = =4 故答案為： 4 【點評】 本題考查的是平移的性質，熟知圖形平移不變性的性質是解答此題的關鍵 第 16 頁（共 28 頁） 14如圖，依次連結第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連結菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續 下去已知第一個矩形的面積為 s，則第 n 個矩形的面積為 （ s） 2n 2 【考點】 中點四邊形 【專題】 規律型 【分析】 易得第二個矩形的面積為（ ） 2s，第三個矩形的面積為（ ） 4s，依此類推，第 n 個矩形的面積為（ ） 2n 2s 【 解答】 解：已知第一個矩形的面積為 s； 第二個矩形的面積為原來的（ ） 22 2s= s； 第三個矩形的面積是（ s） 23 2= s； 故第 n 個矩形的面積為：（ ） 2n 2s 故答案為：（ ） 2n 2s 【點評】 本題考查了三角形的中位線定理及矩形、菱形的性質，是一道找規律的題目，這類題型在中考中經常出現對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的 三、作圖題（本題滿分 4分）用圓規、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡 15某公園有海盜船、摩天輪、碰碰車三個娛樂項目，現要在公園內建一個售票中心，使得三個娛樂項目所處位置到售票中心的距離相等，請在圖中確定售票中心的位置 【考點】 線段垂直平分線的性質 ；作圖 應用與設計作圖 【分析】 由三個娛樂項目所處位置到售票中心的距離相等，可得售票中心是海盜船、摩天輪、碰碰車三個娛樂場組成三角形的三邊的垂直平分線的交點 第 17 頁（共 28 頁） 【解答】 解：如圖， 連接 分別作線段 垂直平分線，兩垂直平分線相較于點 P， 則 P 即為售票中心 【點評】 此題考查了線段垂直平分線的性質此題難度不大，注意掌握線段垂直平分線的作法 四、解答題（本題滿分 74分，共有 9道小題） 16（ 1）解不等式組： （ 2）化簡： 【考點】 解一元一次不等式組；分式的混合運算 【分析】 （ 1）首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集； （ 2）首先把括號內的分式進行通分、相減，把除法轉化為乘法，然后對分式進行化簡即可 【解答】 解：（ 1） ， 解 得： x 1， 解 得： x 3， 則不等式的解集是： 1x 3； （ 2）原式 = = =2（ x 2）（ x+2） =2x 4 x 2 =x 6 第 18 頁（共 28 頁） 【點評】 本題考查的是一元一次不等式組的解，解此類題目常常要結合數軸來判斷還可以觀察不等式的解，若 x較小的數、較大的數，那么解集為 x 介于兩數之間 17某校為了解九年級學生的體能情況，隨機抽取部分男生進行引體向上測試，并根據抽測成績繪制成如下兩幅統計圖 （ 1）請你補全圖 2 的統計圖； （ 2）本次抽測成績的眾數和中位數分別是多少？ （ 3）若規定引體向上 9 次以上（含 9 次）為體能達到標準，則該校 450 名九年級男生中，估計有多少人體能達到標準？ 【考點】 條形統計圖；用樣本估計總體；扇形統計圖；中位數；眾數 【分析】 （ 1）先求出總人數，再求出做 9 次的人數即可作圖， （ 2）利用眾數和中位數的定義求解即可， （ 3）用總人數乘做 9 次以上（含 9 次）的百分比 【解答】 解：（ 1）抽測的男生數為 1020%=50 人，做 9 次的人數 50 10 14 12 3=11 人 （ 2）本次抽測成績的眾數和中位數分別是 7， 8， 第 19 頁（共 28 頁） （ 3）體能達到標準的人數為： 450 =126 人 【點評】 本題主要考查了條形統計圖，扇形統計圖，用樣本估計總體，中位數及眾數，解題的關鍵是正確的從條形統計圖，扇形統計圖得出數據 18甲、乙兩個人進行游戲：在一個不透明的口袋中裝有 4 張相同的紙牌，它們分別標有數字 1， 2，3， 4從中隨機摸出一張紙牌然后放回，再隨機摸出一張紙牌，若兩次 摸出的紙牌上數字之和是 3的倍數，則甲得 1 分；否則乙得 1 分這是個公平的游戲嗎？請說明理由；若不公平，請你修改規則使該游戲對雙方公平 【考點】 游戲公平性 【分析】 列表得出所有等可能的情況數，找出之和為 6 的情況數，即可求出所求的概率，找出數字之和為 3 的倍數的情況數，分別求出兩人獲勝的概率，比較即可得到游戲公平與否 【解答】 解：列表如下： 1 2 3 4 1 （ 1， 1） （ 2， 1） （ 3， 1） （ 4， 1） 2 （ 1， 2） （ 2， 2） （ 3， 2） （ 4， 2） 3 （ 1， 3） （ 2， 3） （ 3， 3） （ 4， 3） 4 （ 1， 4） （ 2， 4） （ 3， 4） （ 4， 4） 所有等可能的情況有 16 種，其中數字之和為 3， 6 的情況有 5 種， P（和為 3 的倍數） = ， 則該游戲不公平， 故可以這樣修改游戲規則：數字之和為奇數甲獲勝，之和為偶數乙獲勝 【點評】 此題考查了游戲公平性，以及列表法與樹狀圖法，判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平 19五一期間，小明隨父母到某旅游勝地參觀游覽，他在游客中心 O 處測得景點 A 在其北偏東 72方 向，測得景點 B 在其南偏東 40方向小明從游客中心走了 2 千米到達景點 A，已知景點 B 正好位于景點 A 的正南方向，求景點 A 與 B 之間的距離（結果精確到 米） （參考數據： 第 20 頁（共 28 頁） 【考點】 解直角三角形的應用 【分析】 作 在 ，求出 長，從而求出 長，于是將 【解答】 解：作 A=72， B=40， 在 ， 2米）， 2米）， 在 ， = 即 =米）， 米） 第 21 頁（共 28 頁） 【點評】 本題考查了方向角問題，結合航海中的實際問題，將解直角三角形的相關知識有機結合，體現了數學應用于實際生活的思想 20某超市第一次用 3000 元從生產基地購進某品種水果，很快售完，第二次又用 2400 元購進相同品種的水果，第二次購進水果每千克的進價是第一次的 ，且重量比第一次少了 20 千克 （ 1）求兩次購進水果每千克的進價分別是多少元？ （ 2）在這兩次購進水果的運輸過程中，總重量損失 10%，若這兩次水果的售價相同，全部售完后超市至少要獲得 20%的總利潤，則該水果的售價最低應 定為每千克多少元？（結果保留整數） 【考點】 一元一次不等式的應用；解分式方程 【專題】 計算題 【分析】 （ 1）設第一次購進水果單價 x 元，則第二次購進水果單價 ，根據第二次比第一次的重量少了 20 千克，可得出分式方程，解出即可； （ 2）最低應定為每千克 y 元，根據全部售完后超市至少要獲得 20%的總利潤可得出不等式，解出即可 【解答】 解：（ 1）設第一次購進水果單價 x 元，則第二次購進水果單價 由題意得 =20， 解得： x=50， 經檢驗的 x=50 是原方程的解， 而 0， 所以兩次購進水果每千克的進價分別是 50 元、 60 元 （ 2）最低應定為每千克 y 元， 購買水果的總質量為：（ + ） =100 千克， 由題意得： 10090%y 3000 2400540020%， 解得： y72， 答：該水果的售價最低應定為每千克 72 元 【點評】 本題考查了一元一次不等式及分式方程的應 用，解答此類題目的關鍵是仔細審題，找到題目中的等量關系及不等關系，從而利用數學知識解答 第 22 頁（共 28 頁） 21如圖，在 ，分別取 中點 E 和 F，連接 點 A 作 延長線于點 P （ 1）求證： （ 2）當 P 滿足什么條件時，四邊形 菱形？證明你的結論 【考點】 平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定 【分析】 （ 1）根據平行四邊形的對角相等可得 D，對邊相等可得 D， D，再根據中點定義求出 F，然后利用 “邊角邊 ”證明即可； （ 2） P=90時，四邊形 菱形先判斷出四邊形 平行四邊形，根據平行四邊形的對角相等可得 P，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得 E，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形 平行四邊形，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明 【解答】 （ 1）證明：在 ， D， D， D， E、 F 分別是 中點， F， 在 ， ， （ 2）解： P=90時，四邊形 菱形理由如下： 在 ， 四邊形 平行四邊形， P=90， E 是 中點， 第 23 頁（共 28 頁） E= E、 F 分別是 中點， E， 又 四邊形 平行四邊形， 四邊形 菱形（鄰邊相等的平 行四邊形是菱形） 【點評】 本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，菱形的判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，熟記各性質是解題的關鍵 22某茶葉專賣店經銷一種嶗山綠茶，每千克成本 80 元據銷售人員調查發現，每月的銷售量 y（千克）與銷售單價 x（元 /千克）之間存在如圖所示的變化規律 （ 1）求每月銷售量 y 與銷售單價 x 之間的函數關系式； （ 2）寫出每月銷售這種綠茶獲得的利潤 w（元）與銷售單價 x（元 /千克）之間的函數關系式； （ 3）若該專賣店銷售這種綠茶想要每月獲得的利潤不低于 1350 元，并且為了不壓貨，要求每月銷售量不得低于 70 千克，則銷售單價應定在什么范圍內？ 【考點】 二次函數的應用 【分析】 （ 1）設函數解析式為 y=kx+b，將（ 90， 100），（ 100， 80）代入 y=kx+b 即可； （ 2）每千克利潤乘以銷售量即為總利潤； （ 3）要求每月銷售量不得低于 70 千克和每月獲得的利潤不低于 1350 元，求出 x 的取值范圍 【解答】 解：（ 1）設一次函數解析式為 y=kx+b， 把（ 90， 100），（ 100， 80）代入 y=kx+b 得， ， 第 24 頁（共 28 頁） 解得， ， y 與銷售單價 x 之間的函數關系式為 y= 2x+280 （ 2） w=（ x 80）（ 2x+280） = 240x 22400； （ 3）要求每月銷售量不得低于 70 千克， 即 2x+28070， 解得 x105， 當 240x 22400=1350 時， 得到 2（ x 110） 2+1800=1350， 解得（ x 110） 2=225， 解得 5， 25 每月獲得的利 潤不低于 1350 元，則有 95 元 x125 元， 于是銷售單價在 95 元 x105 元之間 【點評】 本題考查了二次函數的應用，還考查拋物線的基本性質，另外將實際問題轉化為求函數最值問題，從而來解決實際問題，同時要熟悉二次函數和一元二次方程的關系 23【問題提出】 如圖 1，把一個邊長為 1 的正三角形紙片（即 在直線 ， 與直線 后將三角形紙片繞著頂點 A 按順時針方向旋轉 120，此時點 O 運動到了點 B 運動到了點 將三角形紙片 點 20，點 A 運動到了點 動到了點 （即頂點 O 經過上述兩次旋轉到達 求頂點 O 經過的路程，并求頂點 O 在此運動過程中所形成的圖形與直線 成圖形的面積 【問題解決】 三角形紙片在上述兩次旋轉過程中，頂點 O 運動所形成的圖形是兩段圓弧，即弧 弧 點 O 所經過的路程是這兩段圓弧的長度之和，即 + = ；這兩段圓弧與直線 于扇形 面積、 1面積之和，即+ + = + 【類比應用】 第 25 頁（共 28 頁） 如圖 2，把邊長為 1 的正方形紙片 在直線 ， 與直線 后將正方形紙片進行第一次旋轉，即繞著 頂點 A 按順時針方向旋轉 90，此時點 O 運動到了點 點 B 處），點 C 運動到了點 ，點 B 運動到了點 ；再將正方形紙片 繞點順時針方向旋轉 90， ，按上述方法經過若干次旋轉后 請你解答下面兩個問題： （ 1）若正方形紙片 上述方法經過 3 次旋轉，求頂點 O 經過的路程，并求頂點 O 在此運動過程中所形成的圖形與直線 （ 2）若正方形 上述方法經過 5 次旋轉，求頂點 O 經過的路程 【拓 展應用】 將正方形紙片 上述方法經過多少次旋轉，頂點 O 經過的路程是 ？ 【考點】 幾何變換綜合題 【分析】 根據正方形旋轉 3 次的路徑，利用弧長計算公式以及扇形面積公式求出即可； 根據正方形旋轉 5 次的路徑，利用弧長計算公式求出即可； 【拓展應用】 再利用正方形紙片 過 4 次旋轉得出旋轉路徑，進而得出 =20（ 1+ ） + ，即可得出旋轉次數