1 第十一屆小學(xué)“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽 六 年級 第試試題 2013 年 3 月 17 日 上午 8:30 至 10:00 以下每題 6 分，共 120 分 1 計(jì)算： 30% ）（7131521 = 。 解析： 原式 =495211075103 2 計(jì)算： ）8710 0014310 012110 1 = 。 解析： 原式 =（ 101+1001+10001） +（878684 ） =11105813 建筑公司建一條隧道，按原速度建成31時(shí)，使用新設(shè)備，使修建速度提高了 20%，并且每天的工作時(shí)間縮短為原來的 80%，結(jié)果共用 185 天建完隧道，若沒有新設(shè)備，按原速度建完，則需要 天。 解析：工程型分?jǐn)?shù)應(yīng)用題 。 使用新設(shè)備后，工作效率為原來的（ 1+20%） 80%=2524，設(shè)工作時(shí)間為單位“ 1”， 原速度建成隧道31，用時(shí)31；修建剩余隧道的32用時(shí)3625252432 ，所以原時(shí)間為 18 036253118 5 ）（天）。 本題用方程來解答，設(shè)原工作時(shí)間為 x 天 31 131） (1+20%) 80%=185 4 圖 1 是根據(jù)雞蛋的三個組成部分的質(zhì)量繪制的扇形統(tǒng)計(jì)圖，由圖可知，蛋殼重量占雞蛋重量的 %， 一枚重 60 克的雞蛋中，最接近 32 克的組成部分是 。 解析： 簡單分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。蛋殼 占 1 53% 32%=15%， 蛋白 60 53%=） 蛋白最接近。 5 如圖 2，邊長為 12正方形與直徑為 16圓部分重疊（圓心是正方形的一個頂點(diǎn)），用 積，則 周率 取 3）。 解析： 差不變面積問題。 陰 ） （ 陰 ） =S 圓 S 正 =3（ 16 2） 2 122=192 144=48a（若 ab） 6 定義新運(yùn)算“”： a b= 1（若 a=b） b（若 3，所以將容器倒立，沙子不能填滿圓柱。所以沙子高度為 5+20 3=11320 在一個兩位數(shù)的中間加上 小數(shù)點(diǎn)，得到一個小數(shù)，原來兩位數(shù)是 。 解析： 數(shù)字和倍問題。 原來兩位數(shù)是 1+=79 本題也可用算式謎解答。 11 A， B 兩校的男、女生人數(shù)的比分別為 8:7 和 30： 31，兩校合并后男、女生人數(shù)的比是 27:26，則 A，B 兩校合并前人數(shù)比是 。 解析： 比和比例 。設(shè) A， B 兩校的男、女生人數(shù)分別為 8a、 7a， 30b、 31b，根據(jù)題意有 （ 8a+30b）：（ 7a+31b） =27:26 189a+837b=208a+780b 所以 a=3b A， B 兩校合并前人數(shù)比 （ 8+7） 3b：（ 30+31） b=45:61 12 有 2013 名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，共有 20 道競賽題，每個學(xué)生有基礎(chǔ)分 25 分，此外，答對一題得 3 分，不答題得 1 分，答錯一題扣 1 分，則所有參賽學(xué)生得分的總和是 數(shù)（填“奇”或“偶”）。 解析： 奇偶問題。每一名學(xué)生的得分都可以用 25+3x+示，且 x+y+z=20，根據(jù)三數(shù)和為偶數(shù)，可知這三個數(shù)奇偶性只有 2 種情況：三個都是偶數(shù)，兩個奇數(shù)一個偶數(shù) ，不管那種情況，每個學(xué)生最終 得分都是奇數(shù)。 2013 個奇數(shù)相加和還是奇數(shù)， 則所有參賽學(xué)生得分的總和是 奇數(shù)。 13 從 12 點(diǎn)開始，經(jīng)過 分鐘，時(shí)針與分針第一次成 90角； 12 點(diǎn)之后，時(shí)針與分針第二次成 90角的時(shí)刻是 。 解析 ：時(shí)鐘問題。分針每分鐘走 360 60=6 度，時(shí)針每分鐘走 30 60=，第一次成 90 度角，即分5 20 20 12 圖 3 3 針比時(shí)針奪走 90 度， 90（ 6 =11416分。 時(shí)針與分針第二次成 90 ，即分針比時(shí)針奪走 270 度，270（ 6 =11149分，此時(shí)為 12 點(diǎn)11149分。 14 有一個溫泉游泳池，池底有泉水不斷涌出，要想抽干滿池的水， 10 臺抽水機(jī)需工作 8 小時(shí)， 9 臺抽水機(jī)需工作 9 小時(shí)，為了保證游泳池水位不變（池水既不減少，也不增多），則向外抽水的抽水機(jī)需 臺。 解析 ：牛吃草問題。只需求出每小時(shí)新增水即可，設(shè)一臺抽水機(jī) 1 小時(shí)抽 1 份水。 每小時(shí)新增水：（ 9 9 10 8） =1，所以只需要 1 臺抽水機(jī)將新增水抽調(diào)就能保證游泳池水位不變。 15 分子與分母的和是 2013 的最簡真分?jǐn)?shù)有 個。 解析 ：數(shù)論問題。 分子與分母的和是 2013 分?jǐn)?shù)有 ： 100710061008100510091004101010032012 102012 92012 82012 72007 62008 52009 42010 32011 22012 1 ， ， 共1006 個數(shù)。 2013=3 11 61，只要分子是 2013 質(zhì)因數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個分?jǐn)?shù)就不是最簡分?jǐn)?shù)，因?yàn)榉肿臃帜赶嗉雍蜑?013，若分子是 3、 11 或 61 的倍數(shù)，則分母一定也是是 3、 11 或 61 的倍數(shù)（兩數(shù)和是某數(shù) A 的倍數(shù)，則這兩個數(shù)都是 A 的倍數(shù)，或這兩個數(shù)除以 A 的余數(shù)相加等于 A） 1006 3=335，（ A表示不超過 A 的最大 整數(shù)，取整） 1006 11=91， 1006 61=16， 1006 3 11=30， 1006 3 61=5， 1006 11 61=1， 1006 335 91 16+30+5+1=600 即 1 1006 中有 600 個數(shù)不是 3 或 11 或 61 的倍數(shù)的數(shù)，所以 分子與分母的和是 2013 的最簡真分?jǐn)?shù)有 600個。 16 若一個長方體，長是寬的 2 倍，寬是高的倍，所有棱長之和是 56，則此長方體的體積是 。 解析 ：立體圖形。高： 56 4（ 1+2+4） =2，此長方體的體積是 2（ 2 2）（ 2 4） =64 17 圖 4 中陰影部分的兩段圓弧所對應(yīng)的圓心分別為點(diǎn) A 和點(diǎn) C， m，點(diǎn) B 是 中點(diǎn)，那么陰影部分的周長是 m，面積是 周率 取 3）。 解析 ：圖形面積與周長。 周長： 4+3 4 2 4+3 2 2 4=13m 面積：容斥原理（重疊） ，兩個扇形相加減去長方形 3 42 4+3 22 4 2 4=78 某次數(shù)學(xué)競賽，甲、乙、丙 3 人中只有一人獲 獎，甲說：“我獲獎了。”乙說：“我沒獲獎。”丙說：“甲沒有獲獎。”他們的話中只有一句是真話，則獲獎的是 。 解析 ：邏輯推理。用相悖論。只有一人說真話，甲，丙話相悖，必有一真一假。 若甲說真話，則乙也說真話，不合題意。則丙是真話，乙說謊，即乙獲獎！ 19 某小學(xué)的六年級有學(xué)生 152 名，從中選男生人數(shù)的111和 5 名女生去參加演出，該年級剩下的男、女生人數(shù)恰好相等，則該小學(xué)的六年級共有男生 名。 解析： 列方程解應(yīng)用題 。 設(shè)男生有 x 名，根據(jù)剩下男女人數(shù)相等可列方程 152 x 5=（ 1x 解得 x=77 E B A D C F 圖 4 第 4 頁 也可用數(shù)論知識枚舉得解。 男生剩余1110，說明男生剩余整拾人，所以女生也 剩余 整拾人，則參加演出的學(xué)生人數(shù)位數(shù)為 2，可能選出男生 7 人， 17 人等，根據(jù)總?cè)藬?shù)，可知只有 7 滿足，所以男生有 7111=77 人 20 甲、乙兩人分別從 A、 B 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲乙兩人的速度比是 4:5，相遇后，如 果甲的速度降低 25%，乙的速度提高 20%，然后繼續(xù)沿原方向行駛，當(dāng)乙到達(dá) A 地時(shí)，甲距離 B 地 30么A、 B 兩地相距 解析：與分?jǐn)?shù)比相關(guān)的行程問題。設(shè)全程為“ 1”。 相遇時(shí)甲走全程的9454 4 ，乙走全程的95。 相遇后甲、乙速度比： 4（ 1 25%）： 5 (1+20%)=1:2 當(dāng)乙到達(dá) A 地時(shí)，已又走了全程的 195=94， 此時(shí)甲又走了全程的9421=92所以 A、 B 兩地相距 30（ 19492） =90加題（每題 10 分，共 20 分） 1 小紅整理零錢包時(shí)發(fā)現(xiàn)，包中有面值為 1 分， 2 分， 5 分的硬幣共有 25 枚，總值為 ，則 5 分的硬幣最多有 枚。 解析： 不定方程和方程組。 設(shè) 1 分， 2 分， 5 分的硬幣 分別為 x 枚， y 枚， z 枚 則有 x+y+z=25 x+2y+5z=60 兩式相減的 y+4z=35，顯然 z 最大為 8。 2 A、 B、 C、 D 四個箱子中分別裝有一些小球，現(xiàn)將 A 箱中的部分小球按如下要求轉(zhuǎn)移到其他三個箱子中：該箱中原有幾個小球，就再放入