來源 :學+科網Z+X+X+K來源 :學*科網 來源 :商丘市 2016 年高三第三次模擬考試參考答案 數學（理科） 一、選擇題 （每小題 5 分，共 60 分） （ 1） C （ 2） D （ 3） B （ 4） D （ 5） A （ 6） A （ 7） C （ 8） C （ 9） B （ 10） A （ 11） B （ 12） D 二、填空題 （每小題 5 分，共 20 分） （ 13） 5 （ 14） 1021（ 15） 323（ 16） 42 三、解答題 （ 17） 解：（ ）在 中，因為 2 2 2b c a b c ， 由余弦定理可得 2 2 2 1c o 2b c a b cA b c b c ， 3分 0 A ，3A 6分 （ ） 2( ) s i n 2 c o s s i n c o s 1 2 s i n ( ) 124xf x x x x x ， ( ) 2 s i n ( ) 1 2 14f B B ， 4B ， 9分 即：002s i n 6 0 s i n 4 5b ， 22262332b 12分 （ 18） 解：（ ）設 “僅有兩人的成績合格”為事件 A ，“有三人的成績合格”為事件 B ， 至少有兩人的成績是合格的概率為 P ，則 ( ) ( )P P A P B，又男生共 12人， 其中有 8人合格，從而 1248312(A ) ， 2分 38312() 4分 所以 4255P. 6分 （ ）因為女生共有 18人，其中有 10人合格，依題意， X 的取值為 0,1,2. 則 028 1 02185( 0 )17 ， 118 1 021880( 1 )153 ， 208 1 021828( 2 )153 ， (每項 1分 ) 10分 因此， X 的分布列如下： X 0 1 2 P 5178015328153 5 8 0 2 8 1 3 6 8( ) 0 1 21 7 1 5 3 1 5 3 1 5 3 9 （人） （未化簡不扣分） 12分 （或是，因為 X 服從超幾何分布，所以 88( X ) 21 8 9E （人） （ 19） 解 （）依題意，以點 A 為原點建立如圖的空間直角坐標系 ， 1分 不妨設 =2P ， 則 ( 2 , 0 , 0 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 )B C D P， E 為棱 中點，得 (0,1,1)E ， (0,1,1)AE ( 2 , 2 , 0 ) ( 2 , 0 , 2 ) 設平面 一個法向量為 ( , , )n x y zr ， 則 00n B r 即 2 2 02 2 0 ， 不妨令 1y ，得 (1,1,1)n r ， 4分 所以 6c o s ,3A E n r ， 5分 直線 平面 成角的正弦值為 63 6分 （）向量 ( 2 , 2 , 2 ) (2, 2, 0 ) 由點 M 在棱 ，設 P 01）， (1 2 , 2 2 , 2 )F M F C C M u u u ur u u ur u u u C ， 0C ( 1 2 ) 2 ( 2 2 ) 2 2 0 0 ，解得 3=4， 10分 1=3 12分 （ 20） 解：（ ）設點 ),( ),(00 由 12Q得 因為點 P 在拋物線 2 上， 2 . 4分 （ ） 方法一： 由已知，直線 l 的斜率一定存在， 設點 11, 22, 則聯立(2， 得， 0201642 由韋達定理，得201642121 6分 當直線 l 經過點 S 即 41 x 或 42 x 時， 當 41 x 時，直線 斜率看作拋物線在點 A 處的切線斜率， 則 21 k ，812 k，此時81721 同理，當點 B 與點 S 重合時，81721 生如果沒有討論，不扣分） 直線 l 不經過點 S 即 41 x 且 42 x 時，121244,， 121212( 4 1 ) ( 4 1 )( 4 ) ( 4 )k x k k x 8分 2 2 21 2 1 21 2 1 2( 4 ) ( ) 1 6 8 14 ( ) 1 6k x x k k x x k kx x x x 41432 81 k k， 10分 故1 2 1 212 2 14k k k k ， 所以21 的最小值為 1 12分 方法二：同上 2212121 2 1 21 2 1 24444 1444 4 4 4 4k x xx x x x ， 8分 2 21 2 1 2 1 24 1 6 4 1 6 2 0x x x x x x k k 224 4 5 4 2 1 4k k k ， 10分 所以21 的最小值為 1 12分 方法三： 設點 211, 4， 222 , 4，由直線 l 過 )5,4(N 交軌跡 E 于 , 221212554444 ,化簡整理得 : 1 2 1 2 1 2 1 24 2 0 , = , 4 2 0x x x x x x t x x t 令 則， 8分 2212121 2 1 21 2 1 24444 1444 4 4 4 4k x xx x x x . 10分 而 221 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 14 4 4 2 04 4 4x x x x x x x x x x 22111 6 2 0 8 1 6 144t t t 12分 （ 21） 解：（ ） 由 (1 )() （ 0x ）， 1分 當 0a 時，顯然 01x時， ( ) 0 ；當 1x 時， ( ) 0 ， 所以此時 ()單調增區間為 0,1（ ） ， 減區間為 1+（ ， ） ； 當 0a 時， ()單調增區間為 1+（ ， ） ，減區間為 0,1（ ） ； 當 0a 時， ( ) 3 不是單調函數 4分 （ ）由題知 ( 2 ) 12 ，得 2a ， 所以 ( ) 2 l n 2 3f x x x ， 5分 所以 32( ) ( 2 ) 22mg x x x x （ 0x ）， 2( ) 3 ( 4 ) 2g x x m x 6分 0 ， ( ) 0 一定有兩個不等的實根12, 又 12 2 03 不妨設120，由已知10 時 ( ) 0 ，2 ( ) 0 ， 即 (), )2( , )x 上遞增，依題意知2 ( ,3) 于是只需 (1 ) 5 0( 2 ) 2 1 8 0( 3 ) 3 3 7 0 ， 得 37 93 m 8分 （ ）由（ ）知當 1a 時， ( ) l n 3f x x x 在 (1, ) 上遞增， ( ) l n 3 ( 1 ) 2f x x x f l n 1 ( 1 )x x x ， 9分 在上式中分別令 2 , 3, 4 , ,L 得 l n 2 1 , l n 3 2 , l n 4 3 , , l n 1 ( 2 )n n n L， 10分 以上不等式相乘 得 l n 2 l n 3 l n 4 l n 1 2 3 ( 1 ) ( 2 )n n n 11分 兩邊同除以 !n 得 l n 2 l n 3 l n 4 l n 1234 L（ 2,n n N ） ，即證 12分 （ 22） 解：（ ）由 D ， 可知 B A C D A C ， 2分 由角分線定理可知， D，即 A B M D A D B M ， 得證 . 5分 （）由 C P M D C B B M ，可知 D，又 D ， D， /C . 8分 P B C A C B （內錯角）， 又 P B C B A C （弦切角 ）， A C B B A C ， C . 10分 （ 23）解：（）將 A 、 B 化為直角坐標為 44( 2 c o s , 2 s i n ) , ( 2 c o s , 2 s i n )33， 即 ( 2 , 0 ) , ( 1 , 3 ) ， 30 312 ， 3分 直線 方程為 0 3 ( 2 ) ，即 3 2 3 0 5分 （）設 ( 2 co s , M ，它到直線 距離為 2 3 c o s s i n 2 3 1 3 s i n ( ) 2 322d ， （其中 3 ）， 8分 m a x 1 3 2 32d 10分 （ 24）