復 習 題 一 復 習 題 一 第 1 章 第 5 章 一 判斷題 正確打 一 判斷題 正確打 錯誤打 錯誤打 1 0 lim 2 xxx x 2 0lim 2 lim 1 lim 21 lim 222222 n n nnn n nn nnnn 3 若 則 Axf xx lim 0 Axf 0 4 已知不存在 但有可能存在 0 xf lim 0 xf xx 5 2 arctanlim x x 6 如果函數在上連續 且 xf ba bfaf0 則在內至少存在一點 ba 使得 f 0 7 是上的連續函數 則在上一定有最大值和最小值 xf ba xf ba 8 在上連續 則在上是有界函數 xf ba ba xf 9 2 1 13 13 lim limlim 2 2 1 3 3 1 3 3 1 x x xx xx xx xx xxx 10 0 1 sinlimlim 1 sinlim 000 x x x x xxx 11 1 sin lim x x x 12 xy 在處連續且可導 0 x 13 若在處不連續 則必不存在 14 xfy 在x xf 0 x 0 x f 處可導的充要條件是 0 xfy 在處可微 是曲線 導函在個極值點是的最值 在點 0 x 15 點 3 xy 的拐點 0 0 16 若可數 xf b內只有一x 則 f就 a 00 x xf 17 曲線 處有切線 則 xfy 00 xfx 0 x f 一定存在 在處連續 則 21 22 已知則 23 18 一定存在 xfy 0 xx 0 xf 19 偶函數的導數為奇函數 奇函數的導數為偶函數 20 設函數 xf可積 則 xxfxxfd d d d xfxxf d CxFxxf CxgFxxgf d sin 2 x x2cos 2 1 是同一個函數的原函數 24 若 則在上0d b a xxf ba 0 xf 25 在上連續是在上可積的充分條件 但不是必要條件 xf ba xf ba 1 二 單項選擇題 二 單項選擇題 1 已知下列四個數列 2 n x 13 2 n xn 13 2 1 1 n x n n 13 13 1 1 n n x n n 則其中收斂的數列為 D A B C D 2 當時 下列變量中是無窮小的是 A 1 x A B C D 1 3 xxsin x e 1ln x 3 函數的連續區間是 D 2 01 2 12 xx f x xx A B C D 1 0 2 1 2 0 2 1 1 0 4 從不能推出 B 1 lim 0 xf xx A B C 1 lim 0 xf xx 1 0 xf1 lim 0 xf xx D 0 1 lim 0 xf xx 5 1 1sin lim 2 1 x x x B A B 2 C 0 D 1 1 6 下列函數中既是奇函數又是單調增加的函數是 C A B C D x 3 sin1 3 xxx 3 xx 3 7 方程在區間內 B 013 3 xx 1 0 A 無實根 B 有唯一實根 C 有兩個實根 D 有三個實根 8 函數在點處是 D xy 0 x A 無定義 B 無極限 C 間斷 D 連續但不可導 9 由方程所確定的曲線在點處的切線斜率為 B 0esin y xy 0 0 A B 1 C D 1 2 12 1 10 已知 2 3 f h fhf h 2 3 3 lim 0 D A 2 3 B 2 3 C 1 D 1 11 設 C yxydcos 2 則 A B C D xxxdcos2 2 xxxdcos2 2 xxxdsin2 2 xxxdsin2 2 12 已知一個質點作變速直線運動的位移函數為時間 則在時刻處的速度和加速 度分別為 A ttS t e3 22 2 t A B 44 e46 e212 44 e212 e212 C D 44 e46 e46 44 e6 e12 13 設 則為在區間52 24 xxxf 0 f xf 22 上的 C A 極小值 B 最小值 C 極大值 D 最大值 14 設 則 D xxyln 3 y A B xlnx C 2 1 x D 2 1 x 15 下列求極限問題中能夠使用洛必達法則的是 D 2 A x x x x sin 1 sin lim 2 0 B x x x sin1 1 lim 1 C xx xx x sin sin lim D arctan 2 limxx x 16 設函數 f x的一個原函數是 1 x 則 fx C A 1 x B ln x C 3 2 x D 2 1 x 17 當x 充分小時 0 xf時 函數 xfy 的改變量y 與微分的關系是 D yd A yyd B yyd C yyd D yyd 18 x x cosd 1 cos 1 2 B A tanxxC B Cx x cos cos 1 C Cx x cos 1 D tancosxxC 19 函數在點處取極大值 則必有 D xfy 0 x A B 0 0 xf0 xf C 0 0 00 xfxf D 不存在或 0 0 xfxf 20 x x d 1 1 2 B A 2 1 1 x B C x 2 1 1 C xarctan D Cx arctan 21 C xxf xxfd A B Cxf Cxf C D Cxxf Cxf 2 22 若 則 C 1 0 2 d2xax a A B 0 C 1 D 21 23 曲線與 2 4y xy軸所圍部分的面積為 B A 0 B 3 32 C 3 16 D 24 設 f x在 上連續 則下列各式中不成立的是 D a b A d dt bb aa f xxf t B d dt ba ab f xxf t C D 若 d0 a a f xx d0 b a f xx 則 0f x 25 設均為連續函數 下列命題中正確的是 C xgxf 在上若則 ba xgxf xxgxxf b a b a d d b a b a ttfxxfd d 若則 xgxf xxgxxfd d b a xxfxxfd d d 26 xxd42 5 0 C A 11 B 12 C 13 D 14 3 27 x x xd 4 sin2 1 12 B A 3 B 3 2 C 3 4 D 3 5 28 1 0arccos d x x C A x x d 1 0 2 B x x x d sin 0 2 C x x x d sin 2 0 D x x d 1 2 0 三 填空題 三 填空題 1 函數 2 sinlog2 xy是由簡單函數uy 2 log 和2sin xu復合而成 2 設 1 1 x xf 32 2 x x 則 1 xf的定義域為 2 3 3 函數 3ln xxxf 的連續區間是 3 0 4 3sin1 sin lim 2 2 0 x x x x x 3 5 設在處可導 則 xf 0 x x xfxxf x lim 00 0 0 x f 6 曲線在處的切線方程是 x xyeln 1 x1 e1 xy 7 當物體的溫度高于周圍介質的溫度時 物體就不斷冷卻 若物體的溫度T與時間t的函數關系為 則該物體在時刻 的冷卻速度為 tTT t t T d d 8 設 則 xy x lne ydx x x x d 1 lne 9 設方程確定隱函數1 22 xyyx xyy 則 y xy xy 2 2 10 3 2 2 3 xxy 的單調遞減區間為 1 0 11 函數在區間 1 1 上的最大值為 32 21f xxx 1 12 曲線的拐點是1ln2 2 xxy 0 1 13 2 1 1 lim ln x x x 2 14 設 則 x y cos e 2 2 d d x y x xx cos2 e cos sin 15 已知 則Cxxxf 2 sind xfxxcossin2 4 16 設為的一個原函數 則 3 x xf dxfxxd6 17 xxdsin 3 Cxx coscos 3 1 3 18 若曲線的切線斜率為且經過點 則該曲線方程為 xfy x2 2 1 1 2 xy 19 函數上滿足拉格朗日中值定理的 10 1ln 在 xy 1 2ln 1 20 xxxxd 25cos 3 3 3 12 21 設 則 x ttxF 1 dtan x Fxtan 22 x x x d 1 1 0 2 2 4 1 23 計算曲線與直線xysin 2 x及0 y所圍成的平面圖形的面積可用定積分表示并求值 A1dsin xx 2 0 24 由曲線與直線及 2 xy 1 xx軸所圍成的平面圖形 繞x軸旋轉所得的旋轉體的體積可用定積分 表示并求值 x V 5 d 1 0 4 xx 四 解答題 必須按題目要求寫出必要的步驟 否則不給分 四 解答題 必須按題目要求寫出必要的步驟 否則不給分 1 求下列極限 1 13 12 lim 2 n n n 2 123 132 lim 2 2 1 xx xx x 3 x x x 11 lim 0 4 x xx 3 1 lim 5 x x x x 2 13 3 lim 1 2 3 4 5 24 12 1 3 e 3 2 e 2 求下列函數的導數 1 2 1 1 xx y 2 x 25sin lnxyearctan 3 y 4 3 22 4 23 1 x xx y 1 1 1 2 x x 2 2 e 2 1e x x x 3 25cot 2x 5 4 4 4 23 3 1 1 4 23 1 3 1 2 3 22 x x xxx xx 3 求下列函數的微分 1 2 xy x 2sine xxxyarcsin1 2 1 xxxy x d 2sin2cos2 ed 2 xxxyyd12dd 2 4 設確定是13 23 xyxyyx的函數 求y 及 0 x y 3 61 22 yx xy y 3 1 1 0 0 y x x yy 5 求曲線在點處的切線方程 1 22 yyxx 1 1 043 yx 6 驗證函數 xx y ee 滿足方程0 4 1 2 1 yyyx 7 求函數 3 2 52 xxy 的極值 極大值 極小值 0 0 f3 1 f 8 求函數的單調區間與極值 xxxxf1862 23 9 求曲線的凹 凸區間及拐點 43 34yxx 1 曲線凹的區間是 和 0 2 3 凸的區間是 2 3 點和 1 0 11 27 2 3 是曲線的拐點 10 要做一個底面為長方形帶蓋的箱子 其體積為72 其底邊成的關系 問各邊的長怎樣 才 能使表面積為最小 3 cm2 1 當寬為3 長為 高為時能使面積最小 cm6 cm4cm 11 欲做一個容積為 300 2 m的無蓋圓柱形蓄水池 已知池底單位造價為周圍造價的兩倍 問蓄水池的尺 寸應怎樣設計才能使總造價最低 底半徑 3 150 高 3 150 2 12 鐵路線上段的距離為100km 工廠C距A處為 20km 垂直 于 如圖所示 為了運輸需要 要在線上選定一點 向 工廠修筑一條公路 己知鐵路每公里貨運的運費與公路上每公里貨 運的運費之比為 3 5 為了使貨物從供應站 AC DABAB B運到工廠的運費 最省 問點應選在何處 C D AB C D km20 km100 6 15 ADkm 13 求下列不定積分 1 x xx x d 1 21 22 2 2 x x x d 32 2 3 x x x d 1 4 xxdarctan 1 Cx x arctan 1 2 Cx 2 32 3 1 3 Cxx 1arctan1 2 4 Cxxx 1ln 2 1 arctan 2 14 計算下列定積分 1 0 2 d 2 cosx x 2 4 0 d 1 x x 3 2 1 2 52 d x x 4 5 2 1 d 1 xx 0 sin dxxx 1 2 2 3 3ln24 24 1 4 2 5 5 15 已知曲線和 求 這兩條曲線圍成的平面圖形的面積 2 xy xy8 2 3 8 16 求由拋物線與直線所圍成平面圖形的面積 xy2 2 4 xy 18 17 試分別用極限思想方法及定積分思想方法證明半徑為R的圓的面積公式 2 RS 18 試推導半徑為R的球體的體積公式 一 一 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 二 二 1 D 2 A 3 D 4 B 5 C 6 C 7 B 8 D 9 B 10 D 11 C 12 A 13 C 14 D 15 D 16 D 17 D 18 B 19 D 20 B 21 C 22 C 23 B 24 D 25 C 26 C 27 B 28 C 三 三 1 2 uy 2 log 2sin xu 3 2 3 4 5 3 0 3 0 xf 6 7 1 e1 xy t T d d 8 x x x x d 1 lne 9 xy xy 2 2 10 11 1 12 13 2 14 15 16 17 1 0 0 1 x x 2 x cos e cos sinxxcossin2xxd6Cx cosxcos3 3 1 18 19 1 2 xy1 2ln 1 20 12 21 xtan 22 4 1 23 1dsin xx 2 0 24 5 d 1 0 4 xx 7 四 解答題 四 解答題 1 1 2 3 4 5 24 12 1 3 e 3 2 e 2 1 1 1 2 x x 2 2 e 2 1e x x x 3 25cot 2x 4 4 4 23 3 1 1 4 23 1 3 1 2 3 22 x x xxx xx 3 1 2 xxxy x d 2sin2cos2 ed xxxyyd12dd 2 4 3