試題PAGE1試題2024北京房山高一（下）期中數學本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題紙一并交回.第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.300°化成弧度是（）A. B. C. D.2.已知且，則角的終邊所在的象限是A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，，則與（）A.平行且同向 B.平行且反向C.垂直 D.不垂直也不平行4.要得到函數的圖象，只需要將函數的圖象A向左平移個單位B.向右平移個單位C.向左平移個單位D.向右平移個單位5.下列函數中，最小正周期為且為奇函數的是（）A. B.C. D.6.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A.， B.，C.， D.，7.設是非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.若向量滿足，，且，則向量與夾角為（）A. B. C. D.9.已知是實數，則函數的圖象不可能是（）A. B.C. D.10.設函數在區間上是單調函數，，則（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.______．12.函數的定義域為__________．13.已知向量在正方形網格中的位置如圖所示，那么向量的夾角的余弦值為______.14.已知向量，為單位向量，，則向量的坐標為_____.（寫出一個即可）15.在平面直角坐標系中，角終邊過點，則___；將射線繞原點沿逆時針方向旋轉到角的終邊，則___.16.聲音是由于物體振動產生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復合音．若一個復合音的數學模型是函數，給出下列四個結論：①的一個周期為；②的圖象關于原點對稱；③的最大值為；④在區間上有個零點．其中所有正確結論的序號為__________.三、解答題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.已知向量滿足，且與的夾角為．（1）求；（2）求；（3）若，求實數的值.18.已知函數．（1）求的值；（2）求函數的最小正周期；（3）求函數的單調遞增區間．19.設函數由下列三個條件中的兩個來確定：①；②最小正周期為；③．（1）寫出能確定函數的兩個條件，并求出的解析式；（2）求函數在區間上的最小值及相應的的值．20.將圖（1）所示的摩天輪抽象成圖（2）所示的平面圖形．摩天輪直徑為米，中心距地面米，按逆時針方向勻速轉動，某游客從最低點處登上摩天輪，分鐘后第一次到達最高點．（1）游客登上摩天輪分鐘后到達處，求該游客距離地面的高度；（2）求該游客距離地面高度(單位:米)與他登上摩天輪的時間(單位:分鐘)的函數關系式；（3）當該游客登上摩天輪分鐘時，他的朋友在摩天輪最低點處登上摩天輪．求他和他的朋友距離地面的高度之差的絕對值的最大值．21.已知，都是定義在上的函數，若存在實數，使對任意都成立，則稱為，在上生成的函數．（1）判斷函數是否為，在上生成的函數，說明理由；（2）判斷函數是否為，在上生成的函數，說明理由；（3）若為，在上的一個生成函數，且，，的最小值為，，求的解析式．

參考答案第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】A【分析】根據角度制與弧度制的互化公式求解【詳解】因為，所以.故選：A2.【答案】B【分析】利用三角函數的定義，可確定且，進而可知所在的象限，得到結果.【詳解】依據題設及三角函數的定義可知角終邊上的點的橫坐標小于零，縱坐標大于零，所以終邊在第二象限，故選B.【點睛】該題考查的是有關根據三角函數值的符號斷定角所屬的象限，涉及到的知識點有三角函數的定義，三角函數值在各個象限內的符號，屬于簡單題目.3.【答案】C【分析】利用向量數量積的坐標表示即可得出判斷．【詳解】因為，所以，故選：C．4.【答案】B【詳解】因為函數，要得到函數的圖象，只需要將函數的圖象向右平移個單位．本題選擇B選項.點睛：三角函數圖象進行平移變換時注意提取x的系數，進行周期變換時，需要將x的系數變為原來的ω倍，要特別注意相位變換、周期變換的順序，順序不同，其變換量也不同．5.【答案】D【分析】根據正切函數的周期與奇偶性可判斷AB，根據誘導公式化簡D的解析式，再根據正余弦型函數的奇偶性和周期性可判斷CD.【詳解】函數的最小正周期為，故A錯誤；函數，定義域為，定義域不關于原點對稱，函數是非奇非偶函數，故B錯誤；函數，函數定義域為R，由，函數是偶函數，故C錯誤；函數，函數定義域為R，由，函數為奇函數，最小正周期為，故D正確.故選：D.6.【答案】C【分析】根據函數圖象，由，求得周期，進而得到，再根據點在圖象上即可求解．【詳解】由圖象知，，即，則，所以，因為點在圖象上，所以，即，因為，所以，故選：C．7.【答案】A【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】因為，所以，則，解得，所以，故充分性成立；當時，或，則或，故必要性不成立；綜上，“”是“”的充分不必要條件.故選：A8.【答案】B【分析】設向量與的夾角為，由得，根據平面向量數量積的運算律求解即可．【詳解】設向量與的夾角為，由得，，即，因為，所以，故選：B．9.【答案】D【分析】由實數的取值范圍，討論函數的最值和周期，對選項中的圖象進行判斷.【詳解】當時，，且的最小值為正數，故A正確；當時，，且的最小值為負數，故B正確；當時，，故C正確；在選項D中，由振幅得，則，而由圖象知，故D錯誤.故選：D.10.【答案】A【分析】由在區間上是單調函數得出，由分析出的值，即可計算出．【詳解】因為在區間上是單調函數，且，所以，解得，又因，所以是一條對稱軸，是的一個對稱中心，若和是同一周期中相鄰的對稱軸和對稱中心，則，即，符合題意若和是同一周期不相鄰的對稱軸和對稱中心，則，即，不合題意，又，所以，故選：A．第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.【答案】【分析】將所求式子中的角變形為，然后利用誘導公式化簡后，再利用特殊角的三角函數值即可求出值．【詳解】．故答案為【點睛】此題考查了運用誘導公式化簡求值，以及特殊角三角函數值，熟練掌握誘導公式是解本題的關鍵．12.【答案】【分析】解不等式,即得解.【詳解】由題意得.解得.故答案為：.13.【答案】【分析】以向量的起點為原點，建立平面直角坐標系，利用坐標法求解即可.【詳解】如圖所示，以向量的起點為原點，建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為1，則，，則有，，，所以，即向量的夾角的余弦值為.故答案為：.14.【答案】（或者）【分析】設，根據向量垂直的坐標表示結合模長公式列式求解即可.【詳解】設，由題意可得：，解得或，所以或.故答案為：（或者）.15.【答案】①.②.【分析】根據題意結合三角函數值的定義求；因為，利用誘導公式結合三角函數值的定義求.【詳解】因為角的終邊過點，即，所以；由題意可知：，所以.故答案為：；.16.【答案】①②④【分析】對于①：代入周期的定義，即可判斷；對于②：根據奇函數的定義分析判斷；對于③：分別比較兩個函數分別取得最大值的值，即可判斷；對于④：根據零點的定義，解方程，即可判斷.【詳解】對于①：因為所以的一個周期為，故①正確.對于②：因為的定義域為，且，可知為奇函數，所以的圖象關于原點對稱，故②正確；對于③：對于，當且僅當時，取得最大值，對于，當且僅當，即時，取得最大值，所以兩個函數不可能同時取得最大值，所以的最大值不是，故③錯誤.對于④：令，解得或，又因為，可得或或，所以在區間上有個零點，故④正確.故答案為：①②④.三、解答題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用向量數量積的定義求解；（2），代入已知數據求解即可；（3）利用向量垂直數量積為0，求實數的值.【小問1詳解】因為，且，所以.【小問2詳解】.【小問3詳解】由，得，即.所以.解得.18.【答案】（1）2（2）（3）【分析】（1）直接代入，由特殊角的三角函數值求出的值；（2）根據二倍角公式化簡整理把函數化成一個角的一種三角函數的形式得，由正弦型函數的周期公式求出最小正周期；（3）根據正弦函數的單調遞增區間，把看成一個整體，解不等式，求出的單調遞增區間.【小問1詳解】【小問2詳解】因為所以函數的最小正周期.【小問3詳解】因為函數在區間上單調遞增.所以由，得.即.所以函數的單調遞增區間為.19.【答案】（1）兩個條件為②③，（2）時，函數的最小值為【分析】（1）條件①不成立，選擇兩個條件②③，由最小正周期求，由求出；（2）由，有，結合正弦函數的性質求最小值和最小值點.【小問1詳解】，條件①不成立，能確定函數的兩個條件為②③..因為函數的最小正周期為，，所以.又，得，所以，得.由，得.所以.【小問2詳解】因為，所以.所以當，即時，函數的最小值為.20.【答案】（1）米（2）（3）20【分析】（1）由已知條件得的大小，可得點到地面的高度；（2）以為原點建立平面直角坐標系，表示出點坐標，可得距離地面的高度與時間的函數關系式；（3）兩人距離地面的高度都表示為與時間的函數，作差后通過三角恒等變換化簡后結合正弦函數的性質求最大值.【小問1詳解】因為從最低點處登上摩天輪，分鐘后第一次到達最高點，所以登上摩天輪分鐘后，，所以游客距離地面的高度為米.【小問2詳解】如圖以為原點建立平面直角坐標系.則，與的函數關系式為，即.【小問3詳解】設x分鐘后兩人距離地面的高度之差的絕對值為.所以當，即時，取得最大值為20.21.【答案】（1）是，理由見解析（2）不是，理由見解析（3）【分析】（1）利用兩角和的正弦公式結合生成函數的定義，判斷并證明；（2）利用反證法判斷并證明結論；.（3）存在實數使得對任意恒成立，由最小值為和，求出實數的值即可.【小問1詳解】函數是，在上生成的函數，理由如下：因為，存在實數，使，所以函數是，在