雙曲線及其標準方程 一 復習與問題 1 橢圓的定義是什么 平面內與兩定點f1 f2的距離的和等于常數 大于 f1f2 的點的軌跡叫做橢圓 f1 f2 m 平面內與兩定點f1 f2的距離的和等于常數的點的軌跡叫做橢圓 平面內與兩定點f1 f2的距離的為非零常數的點的軌跡是怎樣的曲線呢 差 一 復習與問題 如圖 a mf1 mf2 2a 如圖 b mf2 mf1 2a 上面兩條合起來叫做雙曲線 由 可得 mf1 mf2 2a 差的絕對值 分析總結 mf1 mf2 2a mf1 mf2 2a mf1 mf2 2a 差的絕對值 試說明在下列條件下動點m的軌跡各是什么圖形 f1 f2是兩定點 f1f2 2c a c為正常數 當 mf1 mf2 2a時 點m的軌跡 當 mf2 mf1 2a時 點m的軌跡 當a c時 動點m的軌跡 當a c時 動點m的軌跡 因此 在應用定義時 首先要考查 雙曲線的右支 雙曲線的左支 以f1 f2為端點的兩條射線 不存在 2a與2c的大小 線段f1f2的垂直平分線 f1 f2 當a 0時 動點m的是軌跡 如圖建立坐標系 使x軸經過f1 f2 并且原點o與線段f1f2的中點重合 設m x y 為雙曲線上任一點 雙曲線焦距為2c c 0 則f1 c 0 f2 c 0 f1 f2 m 二 雙曲線的標準方程 再次平方 得 c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2 由雙曲線的定義知 2c 2a 即c a 故c2 a2 0 令c2 a2 b2 其中b 0 代入整理得 雙曲線的標準方程 1 雙曲線的標準方程用減號 連接 2 雙曲線方程中a 0 b 0 但a不一定大于b 說明 3 如果x2的系數是正的 則焦點在x軸上 如果y2的系數是正的 則焦點在y軸上 4 雙曲線標準方程中 a b c的關系是c2 a2 b2 5 雙曲線的標準方程可統一寫成ax2 by2 1 ab 0 f c 0 f c 0 a 0 b 0 但a不一定大于b c2 a2 b2 a b 0 a2 b2 c2 雙曲線與橢圓之間的區別與聯系 mf1 mf2 2a mf1 mf2 2a f 0 c f 0 c 例1 已知雙曲線的焦點為f1 5 0 f2 5 0 雙曲線上一點到焦點的距離差的絕對值等于6 則 1 a c b 2 雙曲線的標準方程為 3 雙曲線上一點 pf1 10 則 pf2 3 5 4 4或16 6 變式2已知雙曲線的焦點為f1 5 0 f2 5 0 雙曲線上一點p到f1 f2的距離的差的絕對值等于6 求雙曲線的標準方程 2a 6 c 5 a 3 c 5 b2 52 32 16 所以所求雙曲線的標準方程為 解 根據題意可知 雙曲線的焦點在x軸上 定焦點 設方程 確定a b c 方程表示雙曲線時 則m的取值范圍是 例2 例3 已知f1 f2為雙曲線的焦點 弦mn過f1且m n在同一支上 若 mn 7 求 mf2n的周長 例4 相距2000m的兩個哨所a b 聽到遠處傳來的炮彈的爆炸聲 已知當時的聲速是330m s 在a哨所聽到爆炸聲的時間比在b哨所聽到時遲4s 試判斷爆炸點在什么樣的曲線上 并求出曲線的方程 解 1 設爆炸點p 由已知可得 pa pb 3304 1320因為 ab 2000 1320 又 pa pb 所以點p在以a b為焦點的雙曲線的靠近b處的那支上 2 如圖2 17 建立直角坐標系xoy 使a b兩點在x軸上 并且點o與線段ab的中點重合 設爆炸點p的坐標為 x y 則即2a 1320 a 660 2c 2000 c 1000b2 c2 a2 56440