第3講函數的奇偶性與周期性【2013年高考會這樣考】1判斷函數的奇偶性2利用函數奇偶性、周期性求函數值及求參數值3考查函數的單調性與奇偶性的綜合應用【復習指導】本講復習時應結合具體實例和函數的圖象，理解函數的奇偶性、周期性的概念，明確它們在研究函數中的作用和功能重點解決綜合利用函數的性質解決有關問題基礎梳理1奇、偶函數的概念一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數奇函數的圖象關于原點對稱；偶函數的圖象關于y軸對稱2奇、偶函數的性質(1)奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區間上的單調性相反(2)在公共定義域內兩個奇函數的和是奇函數，兩個奇函數的積是偶函數；兩個偶函數的和、積都是偶函數；一個奇函數，一個偶函數的積是奇函數3周期性(1)周期函數：對于函數yf(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數yf(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期一條規律奇、偶函數的定義域關于原點對稱函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件兩個性質(1)若奇函數f(x)在x0處有定義，則f(0)0.(2)設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇三種方法判斷函數的奇偶性，一般有三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質法三條結論(1)若對于R上的任意的x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖象關于直線xa對稱(2)若對于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，則：yf(x)是以2(ba)為周期的周期函數(3)若f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)，那么函數f(x)是周期函數，其中一個周期為T2a；(3)若f(xa)f(xb)(ab)，那么函數f(x)是周期函數，其中一個周期為T2|ab|.雙基自測1(2011全國)設f(x)是周期為2的奇函數，當0x1時，f(x)2x(1x)，則f()A. B. C. D.解析因為f(x)是周期為2的奇函數，所以fff.故選A.答案A2(2012福州一中月考)f(x)x的圖象關于()Ay軸對稱 B直線yx對稱C坐標原點對稱 D直線yx對稱解析f(x)的定義域為(，0)(0，)，又f(x)(x)f(x)，則f(x)為奇函數，圖象關于原點對稱答案C3(2011廣東)設函數f(x)和g(x)分別是R上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函數 Bf(x)|g(x)|是奇函數C|f(x)|g(x)是偶函數 D|f(x)|g(x)是奇函數解析由題意知f(x)與|g(x)|均為偶函數，A項：偶偶偶；B項：偶偶偶，B錯；C項與D項：分別為偶奇偶，偶奇奇均不恒成立，故選A.答案A4(2011福建)對于函數f(x)asin xbxc(其中，a，bR，cZ)，選取a，b，c的一組值計算f(1)和f(1)，所得出的正確結果一定不可能是()A4和6 B3和1C2和4 D1和2解析f(1)asin 1bc，f(1)asin 1bc且cZ，f(1)f(1)2c是偶數，只有D項中兩數和為奇數，故不可能是D.答案D5(2011浙江)若函數f(x)x2|xa|為偶函數，則實數a_.解析法一f(x)f(x)對于xR恒成立，|xa|xa|對于xR恒成立，兩邊平方整理得ax0對于xR恒成立，故a0.法二由f(1)f(1)，得|a1|a1|，得a0.答案0考向一判斷函數的奇偶性【例1】下列函數：f(x) ；f(x)x3x；f(x)ln(x)；f(x)；f(x)lg.其中奇函數的個數是()A2 B3 C4 D5審題視點 利用函數奇偶性的定義判斷解析f(x)的定義域為1,1，又f(x)f(x)0，則f(x)是奇函數，也是偶函數；f(x)x3x的定義域為R，又f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，則f(x)x3x是奇函數；由xx|x|0知f(x)ln(x)的定義域為R，又f(x)ln(x)lnln(x)f(x)，則f(x)為奇函數；f(x)的定義域為R，又f(x)f(x)，則f(x)為奇函數；由0得1x1，f(x)ln的定義域為(1,1)，又f(x)lnln1lnf(x)，則f(x)為奇函數答案D 判斷函數的奇偶性的一般方法是：(1)求函數的定義域；(2)證明f(x)f(x)或f(x)f(x)成立；或者通過舉反例證明以上兩式不成立如果二者皆未做到是不能下任何結論的，切忌主觀臆斷【訓練1】 判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)x2|xa|2.解(1)解不等式組得2x0，或0x2，因此函數f(x)的定義域是2,0)(0,2，則f(x).f(x)f(x)，所以f(x)是奇函數(2)f(x)的定義域是(，)當a0時，f(x)x2|x|2，f(x)x2|x|2x2|x|2f(x)因此f(x)是偶函數；當a0時，f(a)a22，f(a)a2|2a|2，f(a)f(a)，且f(a)f(a)因此f(x)既不是偶函數也不是奇函數考向二函數奇偶性的應用【例2】已知f(x)x(x0)(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)證明：f(x)0.審題視點 (1)用定義判斷或用特值法否定；(2)由奇偶性知只須求對稱區間上的函數值大于0.(1)解法一f(x)的定義域是(，0)(0，)f(x)x.f(x)f(x)故f(x)是偶函數法二f(x)的定義域是(，0)(0，)，f(1)，f(1)，f(x)不是奇函數f(x)f(x)xxxxx(11)0，f(x)f(x)，f(x)是偶函數(2)證明當x0時，2x1,2x10，所以f(x)x0.當x0時，x0，所以f(x)0，又f(x)是偶函數，f(x)f(x)，所以f(x)0.綜上，均有f(x)0. 根據函數的奇偶性，討論函數的單調區間是常用的方法奇函數在對稱區間上的單調性相同；偶函數在對稱區間上的單調性相反所以對具有奇偶性的函數的單調性的研究，只需研究對稱區間上的單調性即可【訓練2】 已知奇函數f(x)的定義域為2,2，且在區間2,0內遞減，求滿足：f(1m)f(1m2)0的實數m的取值范圍解f(x)的定義域為2,2，有解得1m.又f(x)為奇函數，且在2,0上遞減，在2,2上遞減，f(1m)f(1m2)f(m21)1mm21，即2m1.綜合可知，1m1.考向三函數的奇偶性與周期性【例3】已知函數f(x)是(，)上的奇函數，且f(x)的圖象關于x1對稱，當x0,1時，f(x)2x1，(1)求證：f(x)是周期函數；(2)當x1,2時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2013)的值審題視點 (1)只需證明f(xT)f(x)，即可說明f(x)為周期函數；(2)由f(x)在0,1上的解析式及f(x)圖象關于x1對稱求得f(x)在1,2上的解析式；(3)由周期性求和的值(1)證明函數f(x)為奇函數，則f(x)f(x)，函數f(x)的圖象關于x1對稱，則f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(2)解當x1,2時，2x0,1，又f(x)的圖象關于x1對稱，則f(x)f(2x)22x1，x1,2(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以4為周期的周期函數f(0)f(1)f(2)f(2013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1. 判斷函數的周期只需證明f(xT)f(x)(T0)便可證明函數是周期函數，且周期為T，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題，是高考考查的重點問題【訓練3】 已知f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，且g(x)f(x1)，則f(2 013)f(2 015)的值為()A1 B1 C0 D無法計算解析由題意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期為4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 013)f(2 015)0.答案C規范解答3如何解決奇偶性、單調性、周期性的交匯問題【問題研究】 函數的奇偶性、單調性、周期性是函數的三大性質，它們之間既有區別又有聯系，高考作為考查學生綜合能力的選拔性考試，在命題時，常常將它們綜合在一起命制試題.【解決方案】 根據奇偶性的定義知，函數的奇偶性主要體現為f(x)與f(x)的相等或相反關系，而根據周期函數的定義知，函數的周期性主要體現為f(xT)與f(x)的關系，它們都與f(x)有關，因此，在一些題目中，函數的周期性常常通過函數的奇偶性得到.函數的奇偶性體現的是一種對稱關系，而函數的單調性體現的是函數值隨自變量變化而變化的規律，因此，在解題時，往往需借助函數的奇偶性或周期性來確定函數在另一區間上的單調性，即實現區間的轉換，再利用單調性來解決相關問題.【示例】(本題滿分12分)(2011沈陽模擬)設f(x)是(，)上的奇函數，f(x2)f(x)，當0x1時，f(x)x.(1)求f()的值；(2)當4x4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；(3)寫出(，)內函數f(x)的單調增(或減)區間 第(1)問先求函數f(x)的周期，再求f()；第(2)問，推斷函數yf(x)的圖象關于直線x1對稱，再結合周期畫出圖象，由圖象易求面積；第(3)問，由圖象觀察寫出解答示范 (1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數，(2分)f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(4分)(2)由f(x)是奇函數與f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函數yf(x)的圖象關于直線x1對稱(6分)又0x1時，f(x)x，且f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示(8分)當4x4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S4SOAB44.(10分)(3)函數f(x)的單調遞增區間為4k1,4k1(kZ)，單調遞減區間4k1,4k3(kZ)(12分) 關于奇偶性、單調性、周期性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未知區間上的問題轉化為已知區間上的問題【試一試】 已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f