四年級計數問題：標數法難度：高難度如圖，某城市的街道由5條東西向馬路和7條南北向馬路組成，現在要從西南角的 處沿最短的路線走到東北角 出，由于修路，十字路口 不能通過，那么共有種不同走法 解答： 四年級計數問題：標數法難度：中難度如圖為一幅街道圖，從A出發經過十字路口B，但不經過C走到D的不同的最短路線有 條. 解答：計數習題標數法和加法原理的綜合應用（）有20個相同的棋子，一個人分若干次取，每次可取1個，2個，3個或4個，但要求每次取之后留下的棋子數不是3或4的倍數，有（ ）種不同的方法取完這堆棋子.【分析】 把20、0和20以內不是3或4的倍數的數寫成一串，用標號法把所有的方法數寫出來：考點說明：本題主要考察學生對于歸納遞推思想的理解，具體來說就是列表標數法的使用，難度一般，只要發現了題目中的限制條件，寫出符合條件的剩余棋子數，然后進行遞推就可以了。 ：計數問題在各大考試中所占的分量越來越重，計數的知識也學習的比較早，標號法是加乘原理中加法原理的內容，在四年級以前已經學習過，但是靈活應用學習過的知識才是學習最重要的意義，六年級上（第十一級）第10講會將計數問題與應用題或者最值問題進行綜合學習，學習后能力會有進一步的提高。計數方法與技巧（標數法例題1）計數方法與技巧（標數法例題2）計數方法與技巧（標數法例題3）1. 如圖所示，小明家在A地，小學在B地，電影院在C地。1.小明從家里去學校，走最短的線路，有多少種走法?2.小明從家里去電影院，走最短線路，有多少種走法?如圖，從一樓到二樓有12梯，小明一步只能上1梯或2梯，問小明從1樓上到2樓有多少種走法？一只蜜蜂從A處出發，回到家里B處，每次只能從一個蜂房爬向右側鄰近的蜂房而不準逆行，共有多少種回家的方法？解答：蜜蜂“每次只能從一個蜂房爬向右側鄰近的蜂房而不準逆行”這意味著它只能從小號碼的蜂房爬進相鄰的大號碼的蜂房。明確了行走路徑的方向，就可運用標數法進行計算。如圖所示，小蜜蜂從A出發到B處共有89種不同的回家方法。例1按圖中箭頭所指的方向行走，從A到I共有多少條不同的路線？解答：第1步：在起點A處標1。再觀察點B，要想到達點B，只有一個入口A，所以在B點也標1。第2步：再觀察點C，要想到達點C,它有兩個入口A和B，所以在點C處標112。同理重復點F，點D，點E，點G，點H，點I分析:既然要走最短路線,自然是不能回頭走,所以從A地到B地的過程中只能向右或向下走.我們首先來確認一件事,如下圖從A地到P點有m種走法,到Q點有n種走法,那么從A地到B地有多少種走法呢?就是用加法原理,一共有m+n種走法.這個問題明白了之后,我們就可以來解決這道例題了:首先由于只能向右或向下走,那么最上面一行和最左邊一列的每一個點都只能有一種走法,(因為不可以走回頭路).我們就在這些交點的旁邊標記上一個數字,代表走到這個位置有多少種方法.有一個5位數,每個數字都是1,2,3,4,5中的一個,并且相臨兩位數之差是1.那么這樣的5位數到底有多少個呢?(數字可以重復)這是一道數論的題目,但是我們也可以使用標數法來解答,并且非常直觀.到第一站可以有5種選擇,每種選擇有一種走法,那么下一站,走1號門就只有一種走法(就是第一站走的2號門),走2號門就有2種走法(第一站走1號或3號門)走3號門也是2種走法(第一站走2號門或4號門)走4號門2種走法(第一站走3號門或者5號門)走5號門只有一種走法(第一站走的是4號門)我們發現在這一站經過某個門有多少種走法,正好等于他左上和右上的兩個數字和.于是我們可以將數字標全.這道題的答案就是42種,雖然很多同學會用枚舉法也能做出42種,但是一旦這道題給的不是5位數,而是7位數,9位數的話,枚舉法就顯得無力了.這種時候標數法是個不錯的選擇.可以用到標數法的問題有很多，大家掌握這種方法之后可以解決很多平時看起來很麻煩的題目。在日常工作、生活和娛樂中，經常會遇到有關行程路線的問題.在這一講里，我們主要解決的問題是如何確定從某處到另一處最短路線的條數。 例1 下圖41中的線段表示的是汽車所能經過的所有馬路，這輛汽車從A走到B處共有多少條最短路線？分析 為了敘述方便，我們在各交叉點都標上字母.如圖42.在這里，首先我們應該明確從A到B的最短路線到底有多長？從A點走到B點，不論怎樣走，最短也要走長方形AHBD的一個長與一個寬，即ADDB.因此，在水平方向上，所有線段的長度和應等于AD；在豎直方向上，所有線段的長度和應等于DB.這樣我們走的這條路線才是最短路線.為了保證這一點，我們就不應該走“回頭路”，即在水平方向上不能向左走，在豎直方向上不能向上走.因此只能向右和向下走。有些同學很快找出了從A到B的所有最短路線，即：ACDGB ACFGBACFIB AEFGBAEFIB AEHIB通過驗證，我們確信這六條路線都是從A到B的最短路線.如果按照上述方法找，它的缺點是不能保證找出所有的最短路線，即不能保證“不漏”.當然如果圖形更復雜些，做到“不重”也是很困難的。現在觀察這種題是否有規律可循。1.看C點：由A、由F和由D都可以到達C，而由FC是由下向上走，由DC是由右向左走，這兩條路線不管以后怎樣走都不可能是最短路線.因此，從A到C只有一條路線。同樣道理：從A到D、從A到E、從A到H也都只有一條路線。我們把數字“1”分別標在C、D、E、H這四個點上，如圖42。2.看F點：從上向下走是CF，從左向右走是EF，那么從A點出發到F，可以是ACF，也可以是AEF，共有兩種走法.我們在圖42中的F點標上數字“2”.2=11.第一個“1”是從AC的一種走法；第二個“1”是從AE的一種走法。3.看G點：從上向下走是DG，從左向右走是FG，那么從AG我們在G點標上數字“3”.32+1，“2”是從AF的兩種走法，“1”是從AD的一種走法。4.看I點：從上向下走是FI，從左向右走是HI，那么從出發點在I點標上“3”.3=2+1.“2”是從AF的兩種走法；“1”是從AH的一種走法。5.看B點：從上向下走是GB，從左向右走是IB，那么從出發點AB可以這樣走：共有六種走法.6=33，第一個“3”是從AG共有三種走法，第二個“3”是從AI共有三種走法.在B點標上“6”。我們觀察圖42發現每一個小格右下角上標的數正好是這個小格右上角與左下角的數的和，這個和就是從出發點A到這點的所有最短路線的條數.這樣，我們可以通過計算來確定從AB的最短路線的條數，而且能夠保證“不重”也“不漏”。解：由上面的分析可以得到如下的規律：每個格右上角與左下角所標的數字和即為這格右下角應標的數字.