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高等代數 上 學習提綱 第一章 第四章節1 任課老師 周毅 一 基本概念 1 預備知識數域 含兩數且對四則運算封閉 映射 變換及其運算 單射 滿射 雙射 乘積映射 可逆映射 逆映射 2 矩陣及其相關概念矩陣的初等變換與等價關系矩陣的秩矩陣的運算 初等變換 加 減法 數乘 乘法 方冪 轉置 共軛 求逆 行列式初等矩陣一些特殊矩陣 對稱陣 反對稱矩陣 三角陣 冪零陣方陣的跡分塊矩陣行列式及它的余子式與代數余子式 3 向量空間向量及其線性運算 8條運算公理 向量組的表示 等價與相關性向量組的極大無關組與秩4 線性空間線性空間及線性運算公理線性空間的表示 等價 相關性 極大無關組及秩線性空間的基與維數線性空間中的元素在基下的坐標5 線性方程組理論線性方程組 齊次 非齊次 系數矩陣 增廣矩陣 齊次線性方程組的基礎解系非齊次線性方程組的特解 二 基本性質 預備知識 矩陣及其相關概念 向量空間 線性空間 線性方程組理論 預備知識 1 單射 使得 滿射 使得 可逆 使得 記為2 代數學基本定理 矩陣及其相關概念 1 矩陣秩的性質 矩陣的行 列秩在行 列初等變換下保持不變 矩陣的行 列秩在列 行初等變換下保持不變即 初等變換不改變矩陣的秩2 矩陣運算的性質交換律 結合律 分配律 不同運算次序的交換3 矩陣秩的相關性質 當 滿秩時取等號4 的性質 且 矩陣及其相關概念 5 左行右列 法則6 滿秩為初等陣的乘積均為滿秩 可逆矩陣 使得 可逆滿秩為初等陣的乘積 使得 或者7 初等矩陣均可逆且其逆矩陣仍為初等陣8 求逆運算與其它運算的關系9 分塊矩陣的運算10 行列式的基本性質11 行列式按行 按列 展開法12 向量空間 1 向量組的相 無關性 相關中至少有一個可以由其余個表示 無關 相關可以由表示且表示唯一相關 相關或者 部分相關整體相關 部分分量無關該向量組無關 個維向量相關 相關 相關或者2 無關且可以由表示 由此導出向量組 秩 的概念 線性空間 1 設 若可以由表示 則 若 則2 設為的基 其中 則無關無關3 設為的基 則為的基可逆4 坐標變換公式線性方程組解理論1 其中為階矩陣 當時 有非零解2 解的結構 當時 方程組只有零解 當時 方程組由個解構成基礎解系3 解的結構 三 基本方法 由初等變換法解線性方程組由初等變換法求矩陣的秩 向量組的秩 判別相關

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