24.2點和圓、直線和圓的位置關系24.2.1點和圓的位置關系【知識與技能】1.掌握點與圓的三種位置關系及數量間的關系.2.探求過點畫圓的過程，掌握過不在同一直線上三點畫圓的方法.3.了解運用“反證法”證明命題的思想方法.【過程與方法】通過生活中的實例探求點和圓的三種位置關系，并提煉出數量關系，從而滲透數形結合，分類討論等數學思想.【情感態度】形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神.【教學重點】（1）點與圓的三種位置關系.（2）過三點作圓.【教學難點】點與圓的三種位置關系及其數量關系反證法一、情境導入，初步認識射擊是奧運會的一個正式體育項目，我國運動員在奧運會上屢獲金牌，為我國贏得了榮譽，如圖所示是射擊靶的示意圖，它是由若干個同心圓組成的，射擊成績是由擊中靶子不同位置所決定的.圖中是一位運動員射擊10發子彈在靶上留下的痕跡.你知道如何計算運動員的成績嗎？從數學的角度來看，這是平面上的點與圓的位置關系，我們今天這節課就來研究這一問題，引出課題.【教學說明】隨著現在經濟科技的發展，奧運會越來越被人們所重視.本節通過學生熟悉的射擊比賽成績的算法，使學生在開拓知識視野的同時，感知點與圓的幾種位置關系，體會數學在生活中應用.二、思考探究，獲取新知1.點與圓的位置關系我們取剛才射擊靶上的一部分圖形來研究點與圓存在的幾種位置關系.學生交流，回答問題.教師點評：點與圓有三種位置關系：點在圓內，點在圓上，點在圓外.議一議如下圖，O的半徑為4cm，OA=2cm，OB=4cm，OC=5cm，那么，點A、B、C與O有怎樣的位置關系？解：OB=4cm，OB=r，點B在O上.OA=2cm4cm，點A在O內.OC=5cm4cm，點C在O外.【教學說明】由前面所學的“圓上的點到圓心的距離都等于半徑”，反之“到圓心的距離都等于半徑的點都在圓上”可知點B一定在O上 .然后引導學生看圖形，初步體會并認識到點與圓的位置關系可以轉化為數量關系.為下面得出結論作鋪墊.【歸納結論】點與圓的三種位置關系及其數量間的關系：設O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d.則有：點P在O外dr點P在O上d=r點P在O內dr注：“”表示可以由左邊推出右邊的結論，也可由右邊推出左邊結論.讀作“等價于”.要明確“d”表示的意義，是點P到圓心O的距離.2.圓的確定探究（1）如圖（1），作經過已知點的圓，這樣的圓你能作出多少個？（2）如圖（2），作經過已知點A、B的圓，這樣的圓能作多少個？它們的圓心分布有什么特點？學生動手探究，作圖，交流，得出結論，教師點評并總結.解：（1）過已知點A畫圓，可作無數個圓.這些圓的圓心分布于平面的任意一點，半徑是任意長的線段（僅過點A，既不能確定圓心，也不能確定半徑.）（2）過已知的兩點A、B也可作無數個圓.這些圓的圓心分布在線段AB的垂直平分線上.因為線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.（注：僅過點A、B，同樣不能確定圓心，也不能確定半徑.）思考 在平面上有不共線的三點A、B、C，過這三個點能畫多少個圓？圓心在哪里？解：經過A、B兩點的圓，圓心在線段AB的垂直平分線上.經過A、C兩點的圓，圓心在線段AC的垂直平分線上，那么這兩條垂直平分線一定相交，設交點為O，則OA=OB=OC，于是以O為圓心，以OA為半徑的圓，必過B、C兩點，所以過不在同一直線上的A、B、C三點有且僅有一個圓.【歸納結論】不在同一直線上的三點確定一個圓.由此結論要延伸到：經過三角形三個頂點可以作一個圓，并且只能作一個，這個圓叫做三角形的外接圓.三角形的外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.這個三角形叫做這個圓的內接三角形.三角形的外心三角形三邊垂直平分線的交點.它到三角形三個頂點的距離相等.【教學說明】這段中心問題是過已知點作圓，在幫助學生分析這一問題時，緊緊抓住圓心和半徑來研究.在三點共圓的問題上，一定要強調“不共線的三點”.這里學生實際動手作圖的內容很多，可以充分調動學生學習的主動性和積極性，通過學生的動手操作和動腦思考，增強學生對知識的理解和領悟.議一議 如果A、B、C三點在同一直線上，能畫出經過這三點的圓嗎？為什么？解：如圖，若過同一直線l上的三點A、B、C能作一個圓，圓心為P，則點P既在線段AB的垂直平分線l1上，又在線段BC的垂直平分線l2上，即點P是直線l1與直線l2的交點，由此可得:過直線l外一點P作直線l的垂線有兩條l1和l2，這與以前學的“過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直”相矛盾，過同一直線上的三點不能作圓.【教學說明】所有學生都會看出這問題一定不能作圓，但如何證明呢?這是一個事實，直接證明有些困難，于是引入了反證法.反證法是間接證明問題的一種方法.它不是直接從命題的已知得出結論，而是假設命題的結論不成立，由此經過推理得出矛盾，從矛盾斷定所作的假設不成立，從而得出原命題成立，這種方法叫做反證法.初中階段接觸的較為簡單.三、典例精析，掌握新知例1O的半徑為10cm，根據點P到圓心的距離：（1）8cm，（2）10cm，（3）13cm，判斷點P與O的位置關系？并說明理由.解：由題意可知：r=10cm.(1)d=8cm10cm，dr點P在O內；(2)d=10cm，d=r點P在O上；(3)d=13cm10cm，dr點P在O外.例2 如圖，在A地往北90m處的B處，有一棟民房，東120m的C處有一變電設施，在BC的中點D處有一古建筑.因施工需要必須在A處進行一次爆破，為使民房，變電設施，古建筑都不遭破壞，問爆破影響的半徑應控制在什么范圍之內？解：由題設可知：AB=90m，AC=120m，BAC=90，由勾股定理可得：BC= =150（m）.又D是BC的中點，AD=1/2BC=75（m）.民房B，變電設施C，古建筑D到爆破中心的距離分別為：AB=90m，AC=120m，AD=75m.要使B、C、D三點不受到破壞，即B、C、D三點都在A外，A的半徑要小于75m.即：爆破影響的半徑控制在小于75m的范圍，民房、變電設施，古建筑才能不遭破壞.【教學說明】例1可讓學生獨立思考，嘗試寫出過程；教師點評，并規范書寫格式.例2是對本節知識的實際應用，教師引導學生分析問題，使學生學會將實際問題轉化為數學問題，從而認識到問題的本質，也讓學生體會到數學是與實際生活緊密相連的.四、運用新知，深化理解1.如圖，已知在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，D、E分別為AB、AC的中點，現以點B為圓心，BC的長為半徑作B，試問A、C、D、E四點分別與B的位置關系？2.如圖，O是ABC的外接圓，且AB=AC=13，BC=24，求O的半徑.3.如圖，有一個三角形魚塘，在它的3個頂點A、B、C三處均有一棵大白楊樹，現設想把三角形魚塘擴建成圓形養魚場，但必須保持白楊樹不動，請問能否實現這一設想？若能，請設計畫出示意圖；若不能，說明理由.【教學說明】上述三道題，教師可先給出提示，再讓學生自主探究，或分組討論，最后加以評析.題1是有關點和圓的位置關系，意在幫助學生加深理解新知，題2是外接圓的知識，題3是確定圓的知識的實際應用.【答案】1.解:連接EB.C=90，AC=4，BC=3，AB=5.E、D分別為AC、AB的中點，DB=1/2AB=2.5，EC=1/2AC=2，EB=.AB=53，點A在B外；CB=3，點C在B上；DB=2.53，點D在B內；EB= 3，點E在B外.2.解:AB=AC，即A是 的中點.故連接OB，OA，則OABC，設垂足為D.在RtABD中，AD=5.設O的半徑為r，則在RtOBD中，r2=(r-5)2+122，解得r=16.9.3.只要作ABC的外接圓即可.五、師生互動，課堂小結本節課你學到了哪些數學知識和數學方法？請與同伴交流 .【教學說明】學生自主發言，教師進行點評和補充，要向學生強調反證法和數形結合的數學思想.1.布置作業：從教材“習題24.2”中選取.2.完成練習冊中本