一、相關概念1.導數的概念：f（x）=。注意：（1）函數f（x）在點x處可導，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數在點x處不可導，或說無導數。（2）是自變量x在x處的改變量，時，而是函數值的改變量，可以是零。2導數的幾何意義函數y=f（x）在點x處的導數的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率是f（x）。相應地，切線方程為yy=f/（x）（xx）。3.導數的物理意義若物體運動的規律是s=s（t），那么該物體在時刻t的瞬間速度v=（t）。若物體運動的速度隨時間的變化的規律是v=v（t），則該物體在時刻t的加速度a=v（t）。二、導數的運算1基本函數的導數公式: （C為常數）; ; ; .2導數的運算法則法則1：兩個函數的和(或差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(或差)，即： (法則2：兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數乘以第二個函數,加上第一個函數乘以第二個函數的導數，即：法則3：兩個函數的商的導數，等于分子的導數與分母的積，減去分母的導數與分子的積，再除以分母的平方：（v0）。3.復合函數的導數形如y=f的函數稱為復合函數。復合函數求導步驟：分解求導回代。法則：y|= y| u|或者.三、導數的應用1.函數的單調性與導數（1）設函數在某個區間（a，b）可導，如果，則在此區間上為增函數；如果，則在此區間上為減函數。（2）如果在某區間內恒有，則為常數。2極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數為0；曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正；3最值：在區間a，b上連續的函數f在a，b上必有最大值與最小值。但在開區間（a，b）內連續函數f（x）不一定有最大值，例如。（1）函數的最大值和最小值是一個整體性的概念，最大值必須是整個區間上所有函數值中的最大值，最小值必須在整個區間上所有函數值中的最小值。（2）函數的最大值、最小值是比較整個定義區間的函數值得出來的，函數的極值是比較極值點附件的函數值得出來的。函數的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區間內取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值。四、定積分1.概念設函數f(x)在區間a，b上連續，用分點ax0x1xi1xixnb把區間a，b等分成n個小區間，在每個小區間xi1，xi上取任一點i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x為小區間長度），把n即x0時，和式In的極限叫做函數f(x)在區間a，b上的定積分，記作：，即(i)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區間a，b叫做積分區間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。基本的積分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均為常數）。2.定積分的性質（k為常數）；（其中acb。3.定積分求曲邊梯形面積由三條直線xa，xb（ab），x軸及一條曲線yf（x）(f(x)0)圍成的曲邊梯的面積。如果圖形由曲線y1f1(x)，y2f2(x)（不妨設f1(x)f2(x)0），及直線xa，xb（ab）圍成，那么所求圖形的面積SS曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC。4.牛頓布萊尼茨公式如果f(x)是區間a,b上的連續函數,并且F(x)=f(x),則【練習題】題型1：導數的基本運算【例1】 （1）求的導數；（2）求的導數；（3）求的導數；（4）求y=的導數；（5）求y的導數。解析：（1）,（2）先化簡,（3）先使用三角公式進行化簡.（4）y=；（5）yxy*（x）x）*（）。題型2：導數的幾何意義【例2】 已經曲線C：y=x3x+2和點A(1,2)。（1）求在點A處的切線方程？（2）求過點A的切線方程？（3）若曲線上一點Q處的切線恰好平行于直線y=11x1，則Q點坐標為 _,切線方程為_思考：導數不存在時，切線方程為什么？【例3】 （06安徽卷）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A B C D【例4】 （06全國II）過點（1，0）作拋物線的切線，則其中一條切線為（ ）（A） （B） （C） （D） 解析：（1）與直線垂直的直線為，即在某一點的導數為4，而，所以在(1，1)處導數為4，此點的切線為，故選A；（2），設切點坐標為，則切線的斜率為2，且，于是切線方程為，因為點（1，0）在切線上，可解得0或4，代入可驗正D正確，選D。題型3：借助導數處理單調性、極值和最值【例5】 （06江西卷）對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x1）0，則必有（ ）Af（0）f（2）2f（1）【例6】 （06天津卷）函數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區間內有極小值點（ ）A1個 B2個 C3個 D 4個【例7】 （06全國卷I）已知函數。（）設，討論的單調性；（）若對任意恒有，求的取值范圍。解析：（1）依題意，當x1時，f（x）0，函數f（x）在（1，）上是增函數；當x1時，f（x）0，f（x）在（，1）上是減函數，故f（x）當x1時取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故選C；（2）函數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖所示，函數在開區間內有極小值的點即函數由減函數變為增函數的點，其導數值為由負到正的點，只有1個，選A。（3）：()f(x)的定義域為(,1)(1,+).對f(x)求導數得 f (x)= eax。()當a=2時, f (x)= e2x, f (x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于0, 所以f(x)在(,1), (1,+).為增函數；()當0a0, f(x)在(,1), (1,+)為增函數.；()當a2時, 01, 令f (x)=0 ,解得x1= , x2= ；當x變化時, f (x)和f(x)的變化情況如下表: x(, )(,)(,1)(1,+)f (x)f(x)f(x)在(, ), (,1), (1,+)為增函數, f(x)在(,)為減函數。()()當0f(0)=1；()當a2時, 取x0= (0,1),則由()知 f(x0)1且eax1，得：f(x)= eax 1. 綜上當且僅當a(,2時,對任意x(0,1)恒有f(x)1。【例8】 （06浙江卷）在區間上的最大值是（ ）(A)2 (B)0 (C)2 (D)4【例9】 （06山東卷）設函數f(x)= （）求f(x)的單調區間；（）討論f(x)的極值。解析：（1），令可得x0或2（2舍去），當1x0，當0x