上海高一數學知識點歸納第1章 集合與命題1.1集合與元素 （1）集合的概念 常把能夠確切指定的一些對象看作一個整體，這個整體就叫做集合. （2）集合中的元素 集合中的各個對象叫做這個集合的元素,集合中的元素具有確定性、互異性和無序性. （3）集合與元素間的關系對象與集合的關系是，或者，兩者必居其一. （4）集合的表示法 自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.描述法：|具有的性質，其中為集合的代表元素.圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合. （5）集合的分類 含有有限個元素的集合叫做有限集. 含有無限個元素的集合叫做無限集. 不含有任何元素的集合叫做空集(). （6）常用數集及其記法 表示自然數集，或表示正整數集，表示整數集，表示有理數集，表示實數集. 1.2集合與集合名稱記號意義性質示意圖子集（或A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)(3)若且，則(4)若且，則或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不屬于A(1)（A為非空子集）(2)若且，則集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA 重要結論：已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它個非空子集，它有非空真子集. 1.3集合的基本運算 交集、并集、補集名稱記號意義性質示意圖交集且（1）（2）（3） 并集或（1）（2）（3） 補集 1.4命題的形式及等價關系（1）命題 用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.“若，則”形式的命題中的稱為命題的條件，稱為命題的結論. （2）逆命題 對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題。若原命題為“若，則”，它的逆命題為“若，則”. （3）否命題 對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的否命題.若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”. （4）逆否命題 對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題。其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆否命題。若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”。 1.5充分條件與必要條件 充分條件、必要條件、充要條件 如果,那么P是Q的充分條件，Q是P的必要條件。 如果,那么P是Q的充要條件。也就是說，命題P與命題Q是等價命題。 1.6命題的運算 命題的非運算 命題的且運算 命題的或運算 1.7抽屜原則與平均數原則第2章 不等式2.1不等式的基本性質1. 如果2. 如果3. 如果4. 如果5. 如果6. 如果，那么7. 如果，那么.8. 如果,那么2.2一元二次不等式的解法這個知識點很重要，可根據與0的關系來求解，注意解的區間的表示，不等式組也是一樣。解分式不等式的方法就是將它轉化為解整式不等式。求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數.二判：判斷對應方程的根.三求：求對應方程的根.四畫：畫出對應函數的圖象.五解集：根據圖象寫出不等式的解集.規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊. 區間的概念及表示法 設是兩個實數，且，滿足的實數的集合叫做閉區間，記做；滿足的實數的集合叫做開區間，記做；滿足，或的實數的集合叫做半開半閉區間，分別記做，；滿足的實數的集合分別記做注意：對于集合與區間，前者可以大于或等于，而后者必須，（前者可以不成立，為空集；而后者必須成立）2.3其他不等式的解法 （1）分式不等式的解法先移項通分標準化，則（時同理）規律：把分式不等式等價轉化為整式不等式求解. （2）含絕對值不等式的解法不等式解集或把看成一個整體，化成，型不等式來求解兩個基本不等式：1.對任意實數有當且僅當時等號成立。2.對任意正數有，當且僅當時等號成立。我們把分別叫做正數的算術平均數和幾何平均數。 （3）無理不等式的解法方法：將無理不等式轉化為有理不等式求解， （4）高次不等式的解法方法：穿根法分解因式，把根標在數軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.2.4基本不等式及其應用1. ,（當且僅當時取號）. 2. ,（當且僅當時取到等號）.用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.2.5不等式的證明常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等.常見不等式的放縮方法： 舍去或加上一些項，如 將分子或分母放大（縮?。?第三章函數的基本性質3.1函數的概念 在某個變化過程中有兩個變量，如果對于在某個實數集合D內的每一個確定的值，按照某個對應法則，都有唯一確定的實數值與它對應，那么就是的函數.記作： 是自變量 D是定義域 與對應的值叫做函數值 函數值的集合是值域3.2函數關系的建立 函數的三要素:定義域、值域和對應法則 表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種 解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系 列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系 圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系3.3函數的運算 函數的和：3.4函數的性質 （1）函數的奇偶性定義及判定方法函數的性 質定義圖象判定方法函數的奇偶性如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f(x)=f(x),那么函數f(x)叫做奇函數（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于原點對稱）如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f(x)=f(x),那么函數f(x)叫做偶函數（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于y軸對稱）若函數為奇函數，且在處有定義，則 （2）函數的單調性定義及判定方法函數的性 質定義圖象判定方法函數的單調性如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1 x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是增函數（1）利用定義（2）利用已知函數的單調性（3）利用函數圖象（在某個區間圖 象上升為增）（4）利用復合函數如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數（1）利用定義（2）利用已知函數的單調性（3）利用函數圖象（在某個區間圖象下降為減）（4）利用復合函數在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數 （3）函數的最值 一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足： （1）對于任意的，都有； （2）存在，使得那么，我們稱是函數的最大值，記作一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：（1） 對于任意的，都有；（2） （2）存在，使得那么，我們稱是函數的最小值，記作（4）函數的零點1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。即：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點3、函數零點的求法：求函數的零點： （代數法）求方程的實數根； （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的第4章 冪函數、指數函數和對數函數4.1冪函數的性質 （1）冪函數的定義 一般地，函數叫做冪函數，其中為自變量，是常數（2） 冪函數的圖象 （3）冪函數的性質 圖象分布：冪函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數是偶函數時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數時，圖象只分布在第一象限 過定點：所有的冪函數在都有定義，并且圖象都通過點 單調性：如果，則冪函數的圖象過原點，并且在上為增函數如果，則冪函數的圖象在上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近軸與軸 奇偶性：當為奇數時，冪函數為奇函數，當為偶數時，冪函數為偶函數4.2指數函數的圖像與性質函數名稱指數函數定義0101函數且叫做指數函數圖象定義域值域過定點圖象過定點，即當時，奇偶性非奇非偶單調性在上是增函數在上是減函數函數值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內，越大圖象越高；在第二象限內，越大圖象越低（趨勢）4.3對數概念及其運算（1） 對數的定義 若，則叫做以為底的對數，記作，其中叫做底數，叫做真數負數和零沒有對數對數式與指數式的互化：（2）幾個重要的對數恒等式，（3）常用對數與自然對數常用對數：，即；自然對數：，即（其中）（4）對數的運算性質 如果，那么加法： 減法： 數乘： 換底公式：4.4反函數的概念 （1）反函數的概念設函數的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子如果對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應，那么式子表示是的函數，函數叫做函數的反函數，記作，習慣上改寫成（2）反函數的求法確定反函數的定義域，即原函數的值域；從原函數式中反解出；將改寫成，并注明反函數的定義域 反函數的性質: 原函數與反函數的圖象關于直線對稱函數的定義域、值域分別是其反函數的值域、定義域 若在原函數的圖象上，則在反函數的圖象上 一般地，函數要有反函數則它必須為單調函數4.5對數函數的圖像與性質函數名稱對數函數定義函數且叫做對數函數圖象0101定義域值域過定點圖象過定點，即當時，奇偶性非奇非偶單調性在上是增函數在上是減函數函數值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內，越大圖象越靠低；在第四象限內，越大圖象越靠高4.6簡單的指數方程指數方程：我們把指數里含有未知數的方程叫做指數方程. 1.注意定義域 2.熟練使用指數對數運算公式 3.熟練運用函數性質，留意換元法4.7簡單的對數方程對數方程：在對數符號后面含有未知數的方程叫做對數方程.第5章 三角比5.1任意角及其度量（1）角的分類 1、 正角：按逆時針方向旋轉形成的角 負角：按順時針方向旋轉形成的角 零角：不作任何旋轉形成的角 2、角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角 第一象限角的集合為 第二象限角的集合為 第三象限角的集合為 第四象限角的集合為 如果角的終邊落在坐標軸上，則也可以稱為軸線角. 終邊在軸上的角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在坐標軸上的角的集合為3、 與角終邊相同的角的集合為（2）角的弧度制1、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度2、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數的絕對值是3、弧度制與角度制的換算公式：，5.2任意角的三角比1、三角比定義設角a是一個任意角，將角a置于平面直角坐標系中，角a的頂點與原點O重合，a的始邊與x軸的正半軸重合，在a的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P（x,y）,有點P到原點的距離為： 2、三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正3、單位圓：圓心在坐標原點，半徑為1的圓（解決任意角，三角比問題的利器）.4、三角函數線：，Pvx y A O M T 說明：三角函數線是有向線段（向量），既有長度，又有方向,方向的正負與對應 的三角比值保持一致. （1）正弦線：無論是第幾象限角，過的終邊與單位圓的交點P作x軸的垂線，交x軸于M，有向線段MP的符號與點P的縱坐標y的符號一致，長度等于y所以有=我們把有向線段叫做角的正弦線，正弦線是角的正弦值的幾何形式 （2）余弦線：有向線段叫做的余弦線. （3）正切線：過A（1，0）點作單位圓的切線（x軸的垂線），設的終邊或其反向延長線與這條切線交于T點，那么有向線段叫做角的正切線.5.2任意角的三角比5.3同角三角比的關系和誘導公式同角三角函數的基本關系式；.（3） 倒數關系：，5.4兩角和與差的余弦，正弦與正切； （）； （5.5二倍角的正弦、余弦和正切公式 升冪公式 降冪公式， 5.6正弦定理，余弦定理和解斜三角形1、正弦定理：在中，、分別為角、的對邊，則有(為的外接圓的半徑)2、正弦定理的變形公式：，；，；3、三角形面積公式：4、余弦定理：在中，有，推論：第6章 三角函數6.1及6.2正弦函數與余弦函數，正切，（余切）的圖像與性質函數性質 y=cotx圖象定義域值域最值當時，；當 時，當時，