1 2Fourier變換 1Fourier變換的概念 2單位脈沖函數及其Fourier變換 3非周期函數的頻譜 已知 若函數f t 滿足Fouriier積分定理的條件 則在f t 的連續點處 有 設 則 1Fourier變換的概念 1 9 式叫做f t 的Fourier變換式 1 10 式為F w 的Fourier逆變換式 f t 與F w 可相互轉換 可記為 和 還可以將f t 放在左端 F w 放在右端 中間用雙向箭頭連接 1 9 式右端的積分運算 叫做f t 的Fourier變換 同樣 f t F w 1 10 式右端的積分運算 叫做F w 的Fourier逆變換 F w 稱作f t 的象函數 f t 稱作F w 的象原函數 可以說象函數F w 和象原函數f t 構成了一個Fourier變換對 它們有相同的奇偶性 當f t 為奇函數時 由上式可得 叫做f t 的Fourier正弦變換式 簡稱為正弦變換 即 叫做的Fourier正弦逆變換式 簡稱為正弦逆變換 即 而 當f t 為偶函數時 由上式同理可得 叫做f t 的Fourier余弦變換式 簡稱為余弦變換 即 叫做的Fourier余弦逆變換式 簡稱為余弦逆變換 即 而 t f t 例1求函數 的Fourier變換及其積 分表達式 其中 0 這個f t 叫指指數衰減函數 是工程技術上常碰到的一個函數 例1求函數 的Fourier變換及其積 分表達式 其中 0 這個f t 叫指指數衰減函數 是工程技術上常碰到的一個函數 根據公式 有 解 例1求函數 的Fourier變換及其積 分表達式 其中 0 這個f t 叫指指數衰減函數 是工程技術上常碰到的一個函數 解 這就是指數衰減函數的Fourier變換 下面來求指數 衰減函數的積分表達式 根據Fourier逆變換式和奇偶函數的積分性質 有 例1求函數 的Fourier變換及其積 分表達式 其中 0 這個f t 叫指指數衰減函數 是工程技術上常碰到的一個函數 解 例1求函數 的Fourier變換及其積 分表達式 其中 0 這個f t 叫指指數衰減函數 是工程技術上常碰到的一個函數 解 因此 例1求函數 的Fourier變換及其積 分表達式 其中 0 這個f t 叫指指數衰減函數 是工程技術上常碰到的一個函數 解 因此可得到一個含參量廣義積分的結果 例求函數 的Fourier變換并求 解 函數為一連續奇函數 則 例求函數 的Fourier變換并求 解 例求函數 的Fourier變換并求 解 例求函數 的Fourier變換并求 解 由Fourier積分公式 有 例求函數 的Fourier變換并求 解 所以有 例2求函數的Fourier變換及其積分表達式 其中A 0 0 這個函數叫做鐘形脈沖函數 也是工程技術中常碰到的一個函數 解根據Fourier變換式 有 如令 上式為一復變函數的積分 即 積分路線如圖所示 由于為復平面s上的解析函數 取圖所示的閉曲線l 矩形ABCDA 按Cauchy積分定理 有 即 其中 當時 有 同理 當時 有 從而 當時 有 由此可知 即 因此 鐘形脈沖函數的Fourier變換為 下面求鐘形脈沖函數的積分表達式 根據Fourier積分變換式 并利用奇偶函數的積分性質 可得 由此還可得到一個含參量廣義積分的結果 例3求函數的正弦變換和余弦變換 解根據正弦變換式 f t 的正弦變換為 根據余弦變換式 f t 的余弦變換為 可以發現 在半無限區間上的同一函數f t 其正弦變換和余弦的結果是不同的 例求函數的正弦變換和余弦變換 解根據正弦變換式 f t 的正弦變換為 例求函數的正弦變換和余弦變換 解根據余弦變換式 f t 的余弦變換為 在物理和工程技術中 常常會碰到單位脈沖函數 因為有許多物理現象具有脈沖性質 如在電學中 要研究線性電路受具有脈沖性質的電勢作用后產生的電流 在力學中 要研究機械系統受沖擊力作用后的運動情況等 研究此類問題就會產生我們要介紹的單位脈沖函數 在原來電流為零的電路中 某一瞬時 設為t 0 進入一單位電量的脈沖 現在要確定電路上的電流i t 以q t 表示上述電路中到時刻t為此通過導體截面的電荷函數 即累積電量 則 2 單位脈沖函數及其Fourier變換 在原來電流為零的電路中 某一瞬時 設為t 0 進入一單位電量的脈沖 現在要確定電路上的電流i t 以q t 表示上述電路中的電荷函數 則 由于電流強度是電荷函數對時間的變化率 即 所以 當t 0時 i t 0 由于q t 是不連續的 從而在普通導數意義下 q t 在這一點是不能求導數的 如果我們形式地計算這個導數 則得 這表明在通常意義下的函數類中找不到一個函數能夠表示這樣的電流強度 為了確定這樣的電流強度 引進一稱為Dirac函數 簡單記成d 函數 有了這種函數 對于許多集中于一點或一瞬時的量 例如點電荷 點熱源 集中于一點的質量及脈沖技術中的非常窄的脈沖等 就能夠象處理連續分布的量那樣 以統一的方式加以解決 d 函數是一個廣義函數 它沒有普通意義下的 函數值 所以 它不能用通常意義下 值的對應關系 來定義 在廣義函數論中 d 函數定義為某基本函數空間上的線性連續泛函 但要講清楚這個定義 需要應用一些超出工科院校工程數學教學大綱范圍的知識 為了方便起見 我們僅把d 函數看作是弱收斂函數序列的弱極限 對于任何一個無窮次可微的函數f t 如果滿足 則稱de t 的弱極限為d 函數 記為d t 即 或簡記為 這就表明 d 函數可以看成一個普通函數序列的弱極限 其中 對任何 0 顯然有 則由給出的d 函數的定義 有 工程上將d 函數稱為單位脈沖函數 可將d 函數用一個長度等于1的有向線段表示 這個線段的長度表示d 函數的積分值 稱為d 函數的強度 又由d 函數的定義 可以推出d 函數的一個重要結果 稱為d 函數的篩選性質 f t 是無窮次可微函數 事實上 由于f t 的無窮次可微函數 顯然f t 是連續函數 按積分中值定理 有 所以 由d 函數的篩選性質可知 對于任何一個無窮次可微函數f t 都對應著一個確定的數f 0 或f t0 這一性質使得d 函數在近代物理和工程技術中有著較廣泛的應用 更進一步的還成立 則 如f t 在0點連續 則在0附近的非常小的一個領域可以看作是常數c f 0 因此 任給一個在 上積分值為1的函數g t 令 當 非常小 時 則 則 如f t 在0點連續 則在0附近的非常小的一個領域可以看作是常數c f 0 因此 任給一個在 上積分值為1的函數g t 令 當 非常小 時 則 圖例 O t O t 工程上將d 函數稱為單位脈沖函數 可將d 函數用一個長度等于1的有向線段表示 這個線段的長度表示d 函數的積分值 稱為d 函數的強度 t O d t 1 d 函數有性質 d 函數的Fourier變換為 t O d t 1 w O F w 1 可見 單位脈沖函數d t 與常數1構成了一Fourier變換對 同理 d t t0 和亦構成了一個Fourier變換對 d 函數除了重要的篩選性質外 還有一些性質 1 d 函數是偶函數 即 2 其中 稱為單位階躍函數 3 若f t 為無窮次可微的函數 則有 一般地 有 t O d t 1 w O F w 1 可見 單位脈沖函數d t 與常數1構成了一Fourier變換對 同理 d t t0 和亦構成了一個Fourier變換對 在物理學和工程技術中 有許多重要函數不滿足Fourier積分定理中的絕對可積條件 即不滿足條件 例如常數 符號函數 單位階躍函數以及正 余弦函數等 然而它們的廣義Fourier變換也是存在的 利用單位脈沖函數及其Fourier變換就可以求出它們的Fourier變換 所謂廣義是相對于古典意義而言的 在廣義意義下 同樣可以說 象函數F w 和象原函數f t 亦構成一個Fourier變換對 為了不涉及到 函數的較深入的理論 我們可以通過Fourier逆變換來推證單位階躍函數的Fourier變換 例4證明單位階躍函數 的Fourier變換 為 證事實上 若 則按Fourier逆變換可得 例4證明單位階躍函數 的Fourier變換 為 因為 則 若F w 2pd w 時 由Fourier逆變換可得 所以1和2pd w 也構成Fourier變換對 也構成了一個Fourier變換對 同理 如F w 2pd w w0 由上面兩個函數的變換可得 例5求正弦函數f t sinw0t的Fourier變換 解根據Fourier變換公式 有 如圖所示 t sint p p w0 w0 O w F w 例求正弦函數f t cosw0t的Fourier變換 解根據Fourier變換公式 有 例求函數f t cosatcosbt的Fourier變換 解根據Fourier變換公式 有 在頻譜分析中 Fourier變換F w 又稱為f t 的頻譜函數 而它的模 F w 稱為f t 的振幅頻譜 亦簡稱為頻譜 由于w是連續變化的 我們稱之為連續頻譜 對一個時間函數作Fourier變換 就是求這個時間函數的頻譜 3 非周期函數的頻譜 補充 將周期函數展開成下面形式 它的物理意義就是把一個比較復雜的周期運動看 諧波迭加 成是許多不同頻率的簡諧振動的疊加 在電工學上 這種展開稱為諧波分析 其中 稱為直流分量 稱為一次諧波 又叫基波 依次稱為二次諧波 三次諧波等 再根據幅振譜可作出頻譜圖 如圖所示 例6作如圖所示的單個矩形脈沖的頻譜圖 f t 解 單個矩形脈沖的頻譜函數為 t E t 2 t 2 此外 振幅函