絕密★啟用前寧波市2024學年第一學期高考模擬考試高三數學試卷本試卷共4頁，19小題，滿分150分。考試用時120分鐘。注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫在答題卷上。將條形碼橫貼在答題卷右上角“貼條形碼區”。2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目選項的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4.考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊、不要弄破。選擇題部分(共58分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合A={-2,0,1},B={y|y=x2,x∈A},則A∪B=A.{-2,0,1}B.{0,1,4}C.{0,1}D.{-2,0,1,4}2.復數z滿足z=5i-2,A.1B.2C.5D.53.向量ā,b滿足|ā|=|b|=1,ā⊥b,則|A.3B.7C.104.研究小組為了解高三學生自主復習情況，隨機調查了1000名學生的每周自主復習時間，按照時長(單位：小時)分成五組：[2，4)，[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),得到如圖所示的頻率分布直方圖,則樣本數據的第60百分位數的估計值是A.7B.7.5C.7.8D.85.圓臺的高為2，體積為14π，兩底面圓的半徑比為1：2，則母線和軸的夾角的正切值為A.33B.32C.26.已知橢圓C的左、右焦點分別為F?,F?,過上頂點A作直線AF?交橢圓于另一點B.若|AB|=F?B|,則橢圓C的離心率為A.13B.12C.37.不等式x2-ax-1x-b≥0對任意x>0恒成立，則A.22-2B.2C.22數學試題第1頁(共4頁)8.設a∈R,函數fx=sin2πx-2πa,x<a,|x-a-1|-3a+6,x≥a.若f(A.272B.(2,3]C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.已知數列{an},{b?}都是正項等比數列,則A.數列anB.數列{an·bnC.數列anD.數列{an10.函數fxA.f(x)的圖象過定點B.當a=1時,f(x)在(0,+∞)上單調遞增C.當a=1時,f(x)>2恒成立D.存在a>0,使得f(x)與x軸相切11.已知曲線C:x2+y2-1A.曲線C過原點OB.曲線C關于y=x對稱C.曲線C上存在一點P,使得|OP|=1D.若P(x,y)為曲線C上一點,則|x|+|y|<3非選擇題部分(共92分)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數.f(x)=3?,則f(log?2)=▲.13.拋物線C:y2=4x的焦點為F,P為C上一點且|PF|=3,O為坐標原點,則S14.一個盒子中裝有標號為1，2，3，4，5的五個大小質地完全相同的小球.甲、乙兩人玩游戲，規則如下：第一輪，甲先從盒子中不放回地隨機取兩個球，乙接著從盒子中不放回地隨機取一個球，若甲抽取的兩個小球數字之和大于乙抽取的小球數字，則甲得1分，否則甲不得分；第二輪，甲、乙從盒子中剩余的兩個球中依次不放回地隨機取一個球，若甲抽取的小球數字大于乙抽取的小球數字，則甲得1分，否則甲不得分.則在兩輪游戲中甲共獲得2分的概率為▲.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)在三棱錐P-ABC中,側面PAC是邊長為2的等邊三角形,AB=(1)求證:平面PAC⊥平面ABC;(2)求平面PAB與平面PAC的夾角的余弦值.數學試題第2頁(共4頁)16.(15分)已知數列an為等差數列，且滿足(1)若a?=1,求an的前n項和(2)若數列{bn}滿足5b2-1b1=3417.(15分)已知352是雙曲線Ex2a2(1)求E的方程;(2)直線l過點A(1,1),且與E的兩支分別交于P,Q兩點.若|AP|?|AQ||PQ|=1918.(17分)已知函數f(1)判斷f(x)的奇偶性;(2)若a=-12,(3)若存在.x?∈0π,使得對任意.x∈0x?,數學試題第3頁(共4頁)19.(17分)開啟某款保險柜需輸入四位密碼a1a2a3xs,其中a1a2a3為用戶個人設置的三位靜態密碼(每位數字都是0~9中的一個整數)，x?是根據開啟時收到的動態校驗鑰匙s(s為1~5中的一個隨機整數)計算得到的動態校驗碼..xs的具體計算方式：xs是M=(1)若用戶最終得到的四位開柜密碼為2024,求所有可能的動態校驗鑰匙s(2)若三位靜態密碼為隨機數且等可能，動態校驗鑰匙s=5,求動態校驗碼.x?的概率分布列；(3)若三位靜態密碼為隨機數且等可能，動態校驗鑰匙s=i1≤i≤5i∈N的概率為p?,其中p?是互不相等的正數.記得到的動態校驗碼xs=k0≤k≤9k∈N的概率為Q?,試比較數學試題第4頁(共4頁)寧波市2024學年第一學期高考模擬考試高三數學參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.D2.C3.C4.B5.B6.C7.A8.D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.BC10.ACD11.ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.213.214.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)解:(1)取AC中點O,連OP,OB,有OP⊥AC.因為∠ABC=π2,又OP=3,所以PB2=OP2+OB2,所以OP⊥因為AC∩OB=O,AC?平面ABC,OB?平面ABC,所以OP⊥平面ABC.又因為OP?平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC.-----------------------------5分(2)法一：以O為原點建立空間直角坐標系如圖，有(可得設平面PAB的一個法向量為n1=xyz,易得平面PAC的一個法向量為n設平面PAB與平面PAC的夾角為α，可得cos故平面PAB與平面PAC的夾角的余弦值為31313.法二:過B作BH⊥AC于H,過H作HT⊥AP于T,連BT.因為平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BH?平面ABC,所以BH⊥平面PAC.數學答案第1頁(共4頁)又HT⊥AP,可知∠BTH就是平面PAB與平面PAC的夾角.由∠BAC=π6,所以TH=AHsin∠PAC=334,故平面PAB與平面PAC的夾角的余弦值為31313.16.(15分)解:(1)由a??=2a?+1,得a?+2n-1d=2a?+又a?=1,得d=2,所以Sn=na有a1?b故34=5b2-1b1=a24-a17.(15分)解:(1)由題意,得9a2-254b2=1.又由漸近線為y=±52x,得ba=(2)顯然直線l的斜率存在,設直線l:y=k(x-1)+1,P(x?,y?),Q(x?,y?),聯立y=kx-1+1x24由韋達定理，得x1+x2=8k從ī|AP|?|AQ|=|PQ|=數學答案第2頁(共4頁)所以|AP|?|AQ||PQ|=19兩邊平方得7k2+4k-11=0,解得k=-117或k=1,檢驗△>又因為直線l與E的兩支分別交于P，Q兩點，得x1x2=4k218.(17分)解:(1)f(x)的定義域關于原點對稱,且f(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數.---------4分(2)當a=-12時，要證f(x)≤1,即證1-x2≤1-12xsinx,又當-1≤x≤1時,1-1即證x2-xsinx+14x2令g(x)=x-sinx,有g'(x)=1-cosx≥0,得g(x)在[0,1]上單調遞增,從而g(x)≥g(0)=0,所以x-sinx≥0,因此x≥sinx.----------------------------------------------------9分(3)f(x)<1等價于1+2ax2<axsinx+1,又當0<x<π時,axsinx+1>0,從而令hx=2sinx-2x+axsin2x,有h'x=2cosx-2+asin2x+axsin2x,(注:h(k)(x)為h(x)的k階導數)當h?3?0=-2+6a>0時，即a>13時，存在.x?∈0π,使得對任意x∈0x?,h?3?x>0,所以h2)(x)在(0,x?)遞增.又h?2?0=0,所以h?2?x>0對任意x∈(0,x?)恒成立,從而h'(x)在(0,x?)遞增.又h'(0)=0,所以h'(x)>0對任意x∈(0,x?)恒成立,從而h(x)在(0,x?)遞增,結合h(當0<a<13時，h?3?0=-2+6a<0,故存在x?∈0π,使得對任意x∈0x?,h?3?x<0,所以h?2?x在(0,x?)遞減.又h?2?0=0,所以h?2?x<0對任意x∈(0,x?)恒成立,從而h'(x)在(0,x?)遞減.又h'(0)=0,所以h'(x)<0對任意x∈(0,x?)恒成立,從而h(x)在(0,x?)遞減,結合h當a=13時，h(4)(x)=2sinx-16asin2x-8axcos2x,h???(x)=2cosx-40acos2x+16axsin2x,得同理可得不符合題意.綜上，a>13.19.(17分)解：(1)由題意，靜態密碼為202,動態校驗碼若s=1,則M=2×13+0×12+2×1=4,得.x?=4,符合.若s=2,則M=2×23+0×22+2×2=20,得x?=0,不符.同樣,當s=3,4,5時,分別計算可得x?=0,x?=6,x?=0,均不符合.數學答案第3頁(共4頁)因此,s只可能為1.-----------------------------------------------------4分(2)對于三位靜態密碼a1a2a3,有M=a??53+a??52+a??5=525a?+5a?+a?,可得M的個位數字只能是0或又M=125a?+25a?+5a?=10可知當a?+a?+a?為奇數時，x?=5;當a?+a?+a?為偶數時，x?=0.下面計算a?+a?+a?為奇數的a1①a?,a?,a?均為奇數:53=125個；②a?,a?,a?一奇兩偶:C3故共有125+375=500個.所以Px5=5因此，概率分布列為x?05PーINーIN9分(3)記事件A：得到的動態校驗碼.x?=0,事件B：得到的動態校驗碼x?=1,事件C?:收到的動態校驗鑰匙s=i(1≤i≤5,i∈N),有A=AC?∪AC?∪AC?∪AC?∪AC?,B=BC?∪BC?∪BC?∪BC?∪BC?,從而Q同理可得Q①對于事件C?:由問(2)可知,PA|C5=12②對于事件C?，C?：靜態密碼a1a2a3對應的M=a1?3+a2?2+a3?.當s=2或4時,M為