有限元分析考試總結 趙啟東1、 有限元法定義有限元法（FEM）是隨著計算機的廣泛應用而產生的一種計算方法。它是近似求解一般連續體問題的數值方法。 從物理方面看：它是用僅在單元結點上彼此相連的單元組合體來代替等分析的連續體，也即將待分析的連續體劃分成若干個彼此相聯系的單元。通過單元的特性分析，來求解整個連續體的特性。 從數學方面看：它是使一個連續的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題，使問題大大簡化，或者說使不能求解的問題能夠求解。一經求解出單元未知量，就可以利用插值函數確定連續體上的場函數。顯然隨著單元數目的增加，即單元尺寸的縮小，解的近似程度將不斷得到改進。如果單元是滿足收斂要求的，近似解將收斂于數確解。2、 有限元法求解步驟對于不同物理性質和數學模型的問題，有限元求解法的基本步驟是相同的，只是具體公式推導和運算求解不同。有限元求解問題的基本步驟通常為： 第一步：問題及求解域定義：根據實際問題近似確定求解域的物理性質和幾何區域。 第二步：求解域離散化：將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個單元組成的離散域，習慣上稱為有限元網絡劃分。顯然單元越小（網格越細）則離散域的近似程度越好，計算結果也越精確，但計算量及誤差都將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術之一。 第三步：確定狀態變量及控制方法：一個具體的物理問題通常可以用一組包含問題狀態變量邊界條件的微分方程式表示，為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價的泛函形式第四步：單元推導：對單元構造一個適合的近似解，即推導有限單元的列式，其中包括選擇合理的單元坐標系，建立單元試函數，以某種方法給出單元各狀態變量的離散關系，從而形成單元矩陣（結構力學中稱剛度陣或柔度陣）。 為保證問題求解的收斂性，單元推導有許多原則要遵循。 對工程應用而言，重要的是應注意每一種單元的解題性能與約束。例如，單元形狀應以規則為好，畸形時不僅精度低，而且有缺秩的危險，將導致無法求解。 第五步：總裝求解：將單元總裝形成離散域的總矩陣方程（聯合方程組），反映對近似求解域的離散域的要求，即單元函數的連續性要滿足一定的連續條件。總裝是在相鄰單元結點進行，狀態變量及其導數（可能的話）連續性建立在結點處。 第六步：聯立方程組求解和結果解釋：有限元法最終導致聯立方程組。聯立方程組的求解可用直接法、迭代法和隨機法。求解結果是單元結點處狀態變量的近似值。對于計算結果的質量，將通過與設計準則提供的允許值比較來評價并確定是否需要重復計算。 簡言之，有限元分析可分成三個階段，前置處理、計算求解和后置處理。前置處理是建立有限元模型，完成單元網格劃分；后置處理則是采集處理分析結果，使用戶能簡便提取信息，了解計算結果。 3、 應力、屈曲（屈曲模態）應力：應力是結構對載荷抵抗所產生的力。用單位面積的力來表示。此應力是判斷產品與結構破壞（損壞）與否的重要指標。屈曲：象這樣，載荷的大小超過一定的數值，變形的形狀與此之前變形的形狀發生了不同的變化，從而承受載荷的能力減少了，把這一現象稱為屈曲。把屈曲產生時的載荷稱為屈曲載荷。屈曲模態：對于屈曲，即使相同的構件，如果端部的支持狀態（或稱約束條件）不同，則屈曲載荷的大小或屈曲的變形形狀也不同。我們把這種變形形狀稱為屈曲模態。4、常用基本單元形式5、理想彈性體的基本假定理想彈性體的基本假定：1.物體是連續、均勻和各向同性的；2.物體是完全彈性體；3.在施加負載前，體內沒有初應力；4.物體的形變十分微小。6、彈簧模型例題一 給定的參數 求解：a)總剛矩陣； b)節點2和節點3的位移； c)節點1和節點4的作用力； d)對彈簧2的作用力。單剛矩陣 總剛矩陣 得到矩陣方程 引入邊界條件 求得位移 求得作用力 彈簧2的作用力 7、桿單元（空間模型）求：1）節點2的位移；2）每根桿的應力解：局部坐標系中可知： 由于單元的剛度矩陣不在一個坐標系中，需要將其變換為同一坐標系 單元1： 單元2： 矩陣方程： 邊界條件及載荷： 簡化為： 求解位移： 求解應力： 8、靜力分析（ABAQUS）步驟Part（部分）Prop