潮州市2016屆高三上學期第三次調研考試數 學（理科）注意事項：1本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號、座位號、學校、班級等考生信息填寫在答題卡上。2回答第卷時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，寫在本試卷上無效。3回答第卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。4考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第卷一選擇題：本大題共12小題，每小題5分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合，若，則實數的值為（ ）A B C D或2復數（為虛數單位）的共軛復數為（ ）A B C D3若函數的定義域是，則函數的定義域是（ ）A B C D4已知，則的值為（ ）A B C D5已知圓：上到直線的距離等于1的點至少有2個，則的取值范圍為（ ）A B C D6甲、乙等5人在9月3號參加了紀念抗日戰爭勝利周年閱兵慶典后，在天安門廣場排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰的排法有（ ）種。A B C D 7已知向量與向量共線，其中是的內角，則角的大小為（ ）A. B. C. D. 8某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的的值是（ ）A1007 B2015 C2016 D30249若雙曲線與直線無交點，則離心率的取值范圍是（ ）A B CD 正視圖側視圖俯視圖10某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、俯視圖都是腰長為2的等腰直角三角形，側視圖是邊長為2的正方形，則此四面體的四個面中最大面積是（ ）A B4 C D11設實數滿足條件，若目標函數的最大值為12，則的最小值為（ ）A B C D12若函數滿足：在定義域內存在實數，使得成立，則稱函數為“1的飽和函數”。給出下列四個函數：； ； ； 其中是“1的飽和函數”的所有函數的序號為（ ）A B C D第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題第21題為必考題，每個考生都必須做答。第22題第24題為選考題，考生根據要求做答。二填空題：本大題共4小題，每小題5分。13已知，則二項式的展開式中的系數為 14已知向量，向量若向量在向量方向上的投影為3，則實數 15設數列的前項和為，且，為等差數列，則數列的通項公式 16設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為 三解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17（本小題滿分12分）如圖所示，在四邊形中， =，且，（）求的面積；（）若，求的長18（本小題滿分12分）某商場一號電梯從1層出發后可以在2、3、4層停靠。已知該電梯在1層載有4位乘客，假設每位乘客在2、3、4層下電梯是等可能的。（）求這4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的概率；（）用表示4名乘客在第4層下電梯的人數，求的分布列和數學期望。19（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面，分別是的中點。（）證明：平面；（）取，若為上的動點，與面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。20（本小題滿分12分）已知中心在原點的橢圓的一個焦點為，點為橢圓上一點，的面積為（）求橢圓的方程；（）是否存在平行于的直線，使得直線與橢圓相交于兩點，且以線段為直徑的圓恰好經過原點？若存在，求出的方程，若不存在，說明理由。21（本小題滿分12分）已知函數（）求函數的單調區間；（）若存在，使得（是自然對數的底數），求實數的取值范圍。請考生在第22、23、24題中任選一題做答。答題時請寫清題號并將相應信息點涂黑。22（本小題滿分10分）【選修4-1：幾何證明選講】如圖，正方形邊長為2，以為圓心、為半徑的圓弧與以為直徑的半圓交于點，連結并延長交于點（）求證：；（）求的值。23（本小題滿分10分）【選修4-4：坐標系與參數方程】已知曲線的參數方程是（為參數），直線的極坐標方程為（其中坐標系滿足極坐標原點與直角坐標系原點重合，極軸與直角坐標系軸正半軸重合，單位長度相同。）（）將曲線的參數方程化為普通方程，將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；（）設是直線與軸的交點，是曲線上一動點，求的最大值。24（本小題滿分10分）【選修4-5：不等式選講】已知函數（）求不等式的解集； （）對任意，都有成立，求實數的取值范圍。數學（理科）參考答案一選擇題：本大題共12小題，每小題5分。題號123456789101112答案DACBABCDDCDB1【解析】由題意得，或，解得或，故選D2【解析】因為，所以由共軛復數的定義知，其共軛復數為，故應選3【解析】根據題意有：，所以，所以定義域為故選C4【解析】因為，兩邊平方可得：，即，所以，又因為，所以，所以，所以，故應選5【解析】由圓的方程可知圓心為，半徑為2因為圓上的點到直線的距離等于1的點至少有2個，所以圓心到直線的距離，即，解得故A正確6【解析】甲乙相鄰用捆綁法，所以，故應選7【解析】,所以，故應選C8.【解析】此程序框圖表示的算法功能為求和，用分組方式，常數項1共2016個，和為2016；余弦值四個一組，每組和為2，共504組，故選D9【解析】由題意可得，故，再根據 e1，可得e 的取值范圍，故選D10【解析】如圖，該幾何體是正方體中的，正方體的棱長為2，四面體的四個面的面積分別為，最大的為故應選C11【解析】畫出不等式表示的平面區域，當直線過直線與直線的交點時，目標函數取得最大12，即，則 。當且僅當時取等號。故選D12【解析】對于，若存在實數，滿足，則所以，顯然該方程無實根，因此不是“1的飽和函數”；對于，若存在實數，滿足，則，解得，因此是“1的飽和函數”；對于，若存在實數，滿足，則，化簡得，顯然該方程無實根，因此不是“1的飽和函數”；對于，注意到, ，即，因此是“1的飽和函數”，綜上可知，其中是“1的飽和函數”的所有函數的序號是，故選B二填空題：本大題共4小題，每小題5分。13 14 15 1613.【解析】因為,，令，解得，則展開式中的系數為14 .【解析】根據投影的定義可知15.【解析】當時，；當時，所以數列是以4為首項，4為公差的等差數列，所以即，當時 ，-得并整理得：，所以有，所以，當時，適合此式，所以16【解析】函數和函數互為反函數圖像關于對稱，則只有直線與直線垂直時才能取得最小值。設，則點到直線的距離為，令，則，令得；令得，則在上單調遞減，在上單調遞增。則時，所以。則。（備注：也可以用平行于的切線求最值）三解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17（本小題滿分12分）解：（） （2分）因為，所以，（4分）所以ACD的面積（6分）（）解法一：在ACD中，所以（8分）在ABC中，（10分） 把已知條件代入并化簡得：因為，所以 （12分）解法二：在ACD中，在ACD中，所以（8分）因為，所以 ，（10分）得（12分）18（本小題滿分12分）解：（） 設4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的事件為, 由題意可得每位乘客在第2層下電梯的概率都是， (2分)則（4分）（） 的可能取值為0,1,2,3,4, （5分）由題意可得每個人在第4層下電梯的概率均為，且每個人下電梯互不影響，所以 （6分）01234 （10分） （11分）所以所求的期望值為 （12分）19（本小題滿分12分）解：（）證明：由四邊形為菱形，可得為正三角形，因為為的中點，所以（1分） 又，因此 （2分）因為平面，平面，所以 （3分）而平面，平面，所以平面 （5分）（）（法1：為上任意一點，連接由（1）知平面，則為與平面所成的角 （6分）在中，所以當最短時，即當時，最大，此時，因此（7分）又，所以，所以（8分）因為平面，平面，所以平面平面,過作于，則平面，過作于，連接，則為二面角的平面角，（9分） 在中， 又是的中點，在中， 又 （10分）在中，,（11分）即所求二面角的余弦值為。（12分） （2）法2：由（1）可知兩兩垂直，以為坐標原點，以分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系。設,（6分）則（其中）面的法向量為與平面所成最大角的正切值為 的最大值為，即在的最小值為，函數對稱軸，所以，計算可得（8分）所以設平面的一個法向量為，則因此，取，則 （9分）為平面的一個法向量. （10分） 所以（11分）所以，所求二面角的余弦值為 （12分）20（本小題滿分12分）解：（1） 得 （1分）在橢圓上， （2分）是橢圓的焦點 （3分）由解得： （4分）橢圓的方程為 （5分）（2）的斜率，設的方程為，（6分）聯立方程組整理得 ，解得（7分）設兩點的坐標為，則（8分）以為直徑的圓的方程為該圓經過原點 解得（11分）經檢驗，所求的方程為 （12分）（備注：若消去的變量為，按對應給分點給分即可）21（本小題滿分12分）解：（）（1分）因為當時，在上是增函數，因為當時，在上也是增函數，所以當或，總有在上是增函數，（2分）又，所以的解集為，的解集為，（3分）故函數的單調增區間為，單調減區間為（4分）（）因為存在，使得成立，而當時，所以只要即可（5分）又因為，的變化情況如下表所示：減函數極小值增函數所以在上是減函數，在上是增函數，所以當時，的最小值，的最大值為和中的最大值（7分）因為，令，因為，所以在上是增函數而，故當時，即；當時，即（9分）所以，當時，即，函數在上是增函數，解得；（10分）當時，即，函數在上是減函數，解得（11分）綜上可知，所求的取值范圍為 (12分)在第22、23、24題中任選一題做答。22（本小題滿分10分）解：（）由以D為圓心DA為半徑作圓，而ABCD為正方形，EA為圓D的切線 （1分） 依據切割線定理得 （2分） 另外圓O以BC為直徑，EB是圓O的切線，（3分）同樣依據切割線定理得（4分）故（5分） （）連結，BC為圓O直徑， （6分）由得 （8分）又在中，由射影定理得（10分）23（本小題滿分10分）解：（）曲線的參數方程可化為 （2分）直線的方程為展開得 （4分）直線的直