正五邊形尺規作圖的畫法及其他正五邊形的畫法圓內接正五邊形的畫法如下: 1、 作一個圓，設它的圓心為O；2、作圓的兩條互相垂直的直徑AZ和XY；3、作OY的中點M；4、以點M為圓心，MA為半徑作圓，交OX于點N；5、以點A為圓心，AN為半徑，在圓上連續截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AN，則五邊形ABCDE即為正五邊形。以上兩種圖形的作法運用了所求圖形邊長與已知的線段長度的關系，用構造直角三角形的方法作出與所求圖形的邊長相等的線段，從而作出整個圖形，這是尺規作圖中常用的一種方法等線段法，即用已知圖形的線段作出與所求圖形邊長相等的線段。正多邊形的尺規作圖是大家感興趣的正三邊形很好做；正四邊形稍難一點；正六邊形也很好做；正五邊形就更難一點，但人們也找到了正五邊形的直規作圖方法確實，有的困難一些，有的容易一些正七邊形的尺規作圖是容易一些，還是困難一些呢？人們很久很久未找到作正七邊形的辦法，這一事實本身就說明作正七邊形不容易；一直未找到這種作法，也使人懷疑：究竟用尺規能否作出正七邊形來？數學不容許有這樣的判斷：至今一直沒有人找到正七邊形的尺規作圖方法來，所以斷言它是不能用尺規作出的 人們迅速地解決了正三、四、五、六邊形的尺規作圖問題，卻在正七邊形面前止步了：究竟能作不能作，得不出結論來這個懸案一直懸而未決兩千余年 17世紀的費馬，就是我們在前面已兩次提到了的那個法國業余數學家，他研究了形如Fi （i為右下角標）22i（底數2指數2的i次冪）1 的數費馬的一個著名猜想是，當 n3時，不定方程xnynzn沒有正整數解現在他又猜測Fi都是素數，對于i0，1，2，3，4時，容易算出來相應的Fi：F03，F15，F217，F3=257，F4=65 537 驗證一下，這五個數的確是素數F5=225+1是否素數呢？僅這么一個問題就差不多一百年之后才有了一個結論，偉大的歐拉發現它竟不是素數，因而，偉大的費馬這回可是猜錯了！F5是兩素數之積：F56416 700 417 當然，這一事例多少也說明：判斷一個較大的數是否素數也決不是件簡單的事，不然，何以需要等近百年？何以需要歐拉這樣的人來解決問題？ 更奇怪的是，不僅F5不是素數，F6，F7也不是素數，F8，F9，F10，F11等還不是素數，甚至，對于F14也能判斷它不是素數，但是它的任何真因數還不知道至今，人們還只知F0，F1，F2，F3，F4這樣5個數是素數由于除此而外還未發現其他素數，于是人們產生了一個與費馬的猜想大相徑庭的猜想，形如22i1的素數只有有限個但對此也未能加以證明 當然，形如Fi=22i+1的素數被稱為費馬素數由于素數分解的艱難，不僅對形如Fi=22i+1的數的一般結論很難做出，而且具體分解某個Fi也不是一件簡單的事 更加令人驚奇的事情發生在距歐拉發現F5不是素數之后的60多年，一位德國數學家高斯，在他僅20歲左右之時發現，當正多邊形的邊數是費馬素數時是可以尺規作圖的，他發現了更一般的結論：正n邊形可尺規作圖的充分且必要的條件是n=2k（2的k次冪）或 2kp1p2ps，（1，2s為右下角標） 其中，p1，p2，ps是費馬素數 正7邊形可否尺規作圖呢？否！因為7是素數，但不是費馬素數 倒是正17邊形可尺規作圖，高斯最初的一項成就就是作出了正17邊形根據高斯的理論，還有一位德國格丁根大學教授作了正257邊形 就這樣，一個懸而未決兩千余年的古老幾何問題得到了圓滿的解決，而這一問題解決的過程是如此的蹊蹺，它竟與一個沒有猜對的猜想相關連 正17邊形被用最簡單的圓規和直尺作出來了，而正多邊形可以換個角度被視為是對圓的等分，那么這也相當于僅用圓規和直尺對圓作了17等分，其圖形更覺完美、好看高斯本人對此也頗為欣賞，由此引導他走上數學道路(他早期曾在語言學與數學之間猶豫過)，而且在他逝后的墓碑上就鐫刻著一個正17邊形圖案 高斯把問題是解決得如此徹底，以致有了高斯的定理，我們對于早已知道如何具體作圖的正三邊形、正五邊形，還進而知道了它們為什么能用尺規作圖，就因為3和5都是費馬素數(3=F0，5F1)；對于很久以來未找到辦法來作出的正七邊形，乃至于正11邊形、正 13邊形，現在我們能有把握地說，它們不可能由尺規作圖，因為7、11、13都不是費馬素數；對于正