流體力學龐勝華E mail pang96210 第一章緒論第一節流體力學的任務 發展概況和研究方法一 任務 研究流體平衡和機械運動規律及其在工程中應用 三個含義 研究對象 流體 液體 氣體 研究內容 平衡和機械運動 研究目的 應用于工程 二 研究方法理論分析方法 側重于理論分析 實驗方法 原型觀測 模型觀測和模擬試驗 數值計算方法 三 基本概念1 連續介質 1753年歐拉提出把流體當作是由密集質點構成的 內部無空隙的連續體來研究 連續介質基礎上認為流體具有均勻等向性 2 無粘性流體為簡化分析 在某些粘性不起作用或不起主要作用時 或為了研究方便 暫時忽略流體的粘性 3 不可壓縮流體不計壓縮性和熱脹性 密度可視為常數的流體 稱為不可壓縮流體 如氣體在大多數情況下可以看成不可壓縮流體 接近或超過音速時才必須用可壓縮模型 第二節作用于流體上的力按作用方式將作用于流體上的力分為質量力和表面力1 質量力作用于每一個流體質點上 與質量成比例的力 作用在單位質量流體上的力稱為單位質量力 以f表 單位質量力在三個坐標軸方向上的分力 流體力學中常見的質量力有兩種 1 重力 其單位質量力為g 方向與重力加速度一致 重力在三個坐標軸方向上單位質量力的分力 2 慣性力 其單位質量力為a 方向與加速度相反 2 表面力 作用于流體的表面 與作用的面積成比例的力 稱為表面力 表面力可以是作用于流體的邊界面 液體與固體或氣體的接觸面 上的壓力 切力 也可以是一部分流體質點作用相鄰的另一部分流體質點的壓力 切力 作用在單位面積上的表面力稱為應力 單位為N m2 壓強 作用在單位面積上的壓力 稱為平均壓強 切應力 作用在單位面積上的切力 稱平均切應力 壓強與切應力的單位均為帕斯卡 以Pa表示 第三節流體的主要物理性質1 易流性流體在靜止時不能承受切力 不能抵抗剪切變形 流體的這種性質稱為易流性 同時 流體也不能抵抗拉力 而抗壓能力卻很強 2 質量與密度質量是物體慣性大小的量度 以m表示 密度 非均質流體 3 重量與容重容重重量是質量和重力加速度的乘積 即容重與密度的關系4 水的容重為9 807 1000 9807N m 4 粘滯性粘滯性即流體內部質點間或流層間因相對運動而產生內摩擦力以反抗相對運動的性質 這種內摩擦力也稱為粘滯力 粘性是流體固有屬性 是運動流體產生能量損失根源 牛頓內摩擦定律 1 與流速梯度成正比 2 與接觸面積A成正比 3 與流體的種類有關 4 與流體的壓力無關 其公式為 單位面積上的內摩擦力 即切應力 du dy為速度梯度 它實際上是流體微團的剪切變形速率 闡明如下 在運動流體中取一小方塊流體微團abcd 方塊下表面速度為u 經dt后 該流體成為a b c d 剪切變形為d d tg dudt dy 即du dy d dt由此可知 du dy速度梯度就是角變形速率 思考題下面關于流體粘性的說法中 不正確的是 A 粘性是流體的固有屬性B 粘性是運動狀態下 流體有抵抗剪切變形速率能力的量C 流體的粘性具有傳遞運動和阻滯運動的雙重性2 理想流體有無能量損失 為什么 D 流體的粘度隨溫度的升高而增大 無 因為理想流體 0 沒有切應力 例 一塊可動平板與另一塊不動平板之間為某種液體 兩塊板相互平行 它們之間的距離h 0 5mm 若可動平板以v 0 25m s的水平速度向右移動 為了維持這個速度需要每m2面積上的作用力為2N 求這二平板間液體的粘度 思考題 已通過很窄間隙 高為h 如圖所示 其間有一平板隔開 平板向右拖曳速度為v 一邊液體的動力粘性系數為 1 另一邊液體動力粘性系數為 2 計算板的放置位置y 求 1 平板兩邊切應力相同 2 要求拖曳平板的阻力最小 牛頓內摩擦定律適用條件 只能適用于牛頓流體 5 壓縮性和熱脹性流體受壓 體積縮小 密度增大的性質 稱為流體的壓縮性 流體受熱 體積膨脹 密度減小的性質 稱為流體的熱脹性 1 液體的壓縮性和熱脹性液體的壓縮性 一般用壓縮系數來表示 或 壓縮系數的倒數稱為流體的體積模量或體積彈性系數即 注意 1 E越大 越不易被壓縮 當E 時 表示該流體絕對不可壓縮 2 流體的 E隨溫度和壓強變化 3 流體的種類不同 其 和E值不同 4 在一定溫度和中等壓強下 水的體積彈性模量變化不大 2 氣體的壓縮性和熱脹性氣體具有顯著的壓縮性和熱脹性 當溫度不過低 壓強不過高時 氣體的密度 壓強和溫度三者之間的關系 服從理想氣體狀態方程 即 例 使水的體積減小0 1 及1 時 應增大壓強各為多少 EV 2000MPa 解 例 圓柱容器中的某種可壓縮流體 當壓強為1MPa時體積為1000cm3 若將壓強升高到2MPa時體積為995cm3 試求它的壓縮系數解 1 比較重力場 質量力只有重力 中 水和水銀所受的單位質量力f水和f水銀的大小 A f水f水銀D 不一定2 試問自由落體和加速度a向x方向運動狀態下的液體所受的單位質量力大小 fx fy fz 分別為多少 B f水 f水銀 自由落體 fx fy fz 0加速運動 fx a fy 0 fz g 3 靜止的流體受到哪幾種力的作用 4 理想流體受到哪幾種力的作用 重力與壓應力 無法承受剪切力 重力與壓應力 因為無粘性 故無剪切力 本章小結 1 流體力學的任務是研究流體的宏觀機械運動 提出了流體的易流動性概念 即流體在靜止時 不能抵抗剪切變形 在任何微小切應力作用下都會發生變形或流動 同時又引入了連續介質模型假設 把流體看成沒有空隙的連續介質 則流體中的一切物理量 如速度u和密度 都可看作時空的連續函數 可采用函數理論作為分析工具 2 流體的壓縮性 一般可用體積壓縮率和體積彈性模量E來描述 通常情況下 壓強變化不大時 都可視為不可壓縮流體 3 粘性是流體的主要物理性質 它是流動流體抵抗剪切變形的一種性質 流體粘性大小用動力粘度 或運動粘度v來反映 其中溫度是粘度的影響因素 4 牛頓內摩擦定律它表明流體的切應力大小與速度梯度或角變形率或剪切變形速率成正比 這是流體區別于固體 固體的切應力與剪切變形大小成正比 的一個重要特性 5 作用于流體的力 質量力和表面力 最常見的質量力是重力和慣性力 表面力常分為垂直于表面的壓力和平行于表面的切力 第二章流體靜力學本章討論流體靜平衡的力學規律 重點在于研究靜止流體中的壓強分布規律和總作用力計算方法 流體靜止指流體質點之間或流層之間無相對運動 它分為絕對靜止和相對靜止 注意 流體在靜止狀態下沒有內摩擦力 此時理想流體和實際流體一樣 處于靜止狀態下的流體質點之間不存在相對運動 因而流體的粘性不顯示出來 不存在切應力 靜止流體中也不會有拉應力 而只有壓應力 流體質點間或質點與邊界之間的相互作用只能以壓應力的形式來體現 因為這個壓應力發生于靜止流體中 所以稱為流體靜壓強 以區別于運動流體中的壓應力 稱為動壓強 第一節流體靜壓強特性兩個特性 1 靜止液體壓強垂直指向作用面 2 靜止液體中任一點的靜壓強與作用的方位無關 或者說作用于同一點上各方向的靜壓大小相等 理論證明靜壓具有各向同性證明 作微小四面體MABC 四面體正交的三個面分別與坐標軸垂直 各邊長分別為dx dy dz 作用在四面體上流體靜壓強分別為px py pz和pn 四面體所受的單位質量力分別為X Y Z y 現分析在X方向力的平衡 整理得 因此靜止流體中任一點上的壓強大小與通過該點的作用方位無關 僅是該點坐標的連續函數 即 第二節流體平衡微分方程 一 流體平衡微分方程在靜止流體中 取六面體微團dx dy dz 并取坐標 如圖 X軸表面力的合力為 微小六面體在表面力和質量力共同作用下處于平衡狀態 所以作用力在X軸方向的分量之和等于零 即 化簡得 同理得 上式即為流體的平衡微分方程式 又稱歐拉平衡方程式 它表明處于平衡狀態的流體 對于單位質量的流體來說 質量力分量X Y Z和表面力分量 是對應相等的 二 流體平衡微分方程的綜合式 把歐拉方程各式分別乘以dx dy和dz得 dp Xdx Ydy Zdz 三 等壓面 1 定義流體中壓強相等的點所組成的面稱等壓面 該等壓面可能是平面 也可能是曲面 在等壓面上有dp 0 靜止流體中等壓面為水平面 旋轉流體中等壓面為旋轉拋物面 2 等壓面性質1 不同密度流體的分界面必為等壓面 2 在靜止流體中質量力與等壓面正交 證明 在平衡液體中任取一等壓面 質點M質量為dm 在質量力F作用下沿等壓面移動ds 力F沿ds移動所做的功可寫作矢量F與ds的乘積 因J F ds 0 也即質量力必須與等壓面正交 注意 1 靜止流體質量力僅為重力時 等壓面必定是水平面 2 靜止流體與大氣接觸的自由表面為等壓面 3 不同流體的交界面是等壓面 思考題 1 相對平衡的流體的等壓面是否為水平面 為什么 什么條件下的等壓面是水平面 2 圖中哪個斷面為等壓面 A C C 斷面 不一定 相對平衡的流體有慣性力 質量力只有重力作用下的靜止流體的等壓面是水平面 B B B 斷面 第三節重力作用下流體的壓強分布規律 所受質量力只有重力的流體常稱為靜止重力流體 分析 作用于單位重量流體上的質量力在各坐標軸方向上的分量分別為X 0 Y 0 Z g 因此 dp Xdx Ydy Zdz gdz dz 對于不可壓縮均勻流體 積分上式得 p z C1或z p C式中C為積分常數 由邊界條件確定 對于靜止流體中的任意兩點 上式可寫為 或p2 p1 z1 z2 p1 h 上二式均稱為流體靜力學基本方程 把上式應用于液面與液面下任一點 可得 z p z0 p0 常數或p p0 z0 z p0 h上式也稱為水靜力學基本方程 式中h z0 z 表示該點在自由面以下的淹沒深度稱為淹深 p0 自由面上的氣體壓強 1 以上各式均僅適用于均質的連續介質 2 僅在重力作用下 靜止流體中某一點的靜水壓強隨深度按線性規律增加 3 任意點壓強由兩部分組成 一部分為自由表面壓強p0 另一部分為液體質量產生的壓強 h 4 自由表面下深度h相等的各點壓強均相等 只有重力作用下的同一連續連通的靜止流體的等壓面是水平面 5 證明帕斯卡原理 施加于靜止液體邊界上的壓強 將等值的傳遞到液體中的每一點 6 推廣 已知某點的壓強和兩點間的深度差 即可求另外一點的壓強值 a b c 淹深相同的各點靜壓強相等 只適用于質量力只有重力的同一種連續介質 對不連續液體或一個水平面穿過了兩種不同介質 位于同一水平面上的各點壓強并不相等 二 流體靜力學基本方程的物理意義和幾何意義1 幾何意義 方程各項量綱均為長度 可用幾何高度表示 在流體力學中 方程中的z 稱為位置水頭 p 壓強水頭 z p 測壓管水頭 在靜止流體中 測壓管水頭等于常數 2 能量意義 Z 單位重量流體的重力勢能 簡稱位能 p 單位重量流體的壓力勢能 簡稱壓能 如圖 在壓強p作用下 該處的液體被升高一個高度hp p 因此作用在液體上壓強具有作功能力 因此 流體靜力學基本方程的物理意義是 靜止流體中任一點單位位能與單位勢能之和為常數 思考題 1 盛有液體的敞口容器作自由落體時 容器壁面AB上的壓強分布如何 2 在靜止流體中 各點的測壓管水頭是否相等 dp fxdx fydy fzdz 0 p c 自由液面上p 0 p 0 相等 第四節壓強的計量單位和表示方法 一 三種計量單位 1 從壓強的基本定義出發 用單位面積上的力表示2 用大氣壓的倍數來表示國際上規定一個標準大氣壓 溫度為0 緯度為45 時海平面上壓強 用atm表示 相當于760mm水銀柱底部所產生的壓強 即1atm 1 013 105pa 一個工程大氣壓相當于735mm水銀柱或10m水柱底部所產生的壓強1at 9 8 104pa 0 1Mpa 3 用液柱高度表示常用水柱高度或水銀柱高度表示 一個工程大氣壓相應的水銀柱高度為h 9 8 104 133 28 103 0 735mHg二 兩種表示方法 1 絕對壓強 設想沒有大氣存在的絕對真空狀態作為零點計量的壓強 稱為絕對壓強 總是正的 以p 表示 2 相對壓強 以當地大氣壓作為壓強的零點起算的壓強值 稱為相對壓強 以p表示 二者關系 p p pa 相對壓強可正可負 當流體中某點的絕對壓強小于大氣壓時 流體中就出現了真空 以真空壓度pv表示 即pv pa p p用液柱高度表示真空壓強的大小 幾種壓強的關系 圖示如下 例 一封閉水箱 見圖 自由面上氣體壓強為85kN m2 求液面下淹沒深度h為1m處點C的絕對靜水壓強 相對靜水壓強和真空度 解 C點絕對靜水壓強為C點的相對靜水壓強為相對壓強為負值 說明C點存在真空 真空度為 思考題 1 如圖所示的密閉容器中 液面壓強p0 9 8kPa A點壓強為49kPa 則B點壓強為 在液面下的深度為 2 露天水池水深5m處的相對壓強為 A 5kPaC 147kPaD 205kPa3 如圖 下述兩個靜力學方程哪個正確 39 2kPa 3m B 49kPa 4 僅在重力作用下 靜止液體中任意一點對同一基準面的單位勢能為 A 隨深度增加而增加C 隨深度增加而減少D 不確定 5 試問圖示中A B C D點的壓強高度 測壓管水頭 以D點所在的水平面為基準面 A B C D 6 某點的真空度為65000Pa 當地大氣壓為0 1MPa 該點的絕對壓強為 A 65000PaB 55000PaD 165000Pa B 常數 C 35000Pa 0m 6m 2m 6m 3m 6m 6m 6m 例 已知一圓筒型密閉容器 各部尺寸如圖 已知壓力表讀數為19 5KN m2 空氣比重為0 0012 油比重為0 85 水銀比重為13 6 試求 1 A B C三點相對壓強 2 容器底面所受總壓力 三 靜壓強分布圖靜壓強分布圖 表示某個承壓面上各點的靜壓強大小和方向的圖 靜水壓強分布繪制原則 1 可根據基本方程來繪制靜壓強分布圖 對于液面為大氣壓 并且計及相對壓強時 p h 當 為常數時 靜壓強p只隨深度h作線性變化 故只需繪出兩端點的壓強 連以直線即可 2 靜水壓強垂直于作用面且為壓應力 靜水壓強分布圖繪制規則 1 按照一定的比例尺 用一定長度的線段代表靜水壓強的大小 2 用箭頭標出靜水壓強的方向 并與該處作用面垂直 受壓面為平面的情況下 壓強分布圖的外包線為直線 當受壓面為曲線時 曲面的長度與水深不成直線函數關系 故壓強分布圖外包線亦為曲線 判斷 下列壓強分布圖中哪個是錯誤的 B 例 A B pa A B C A B C D A B O 第五節流體壓強的量測 1 測壓管 hA PA 2 U形管測壓計 一根兩端開口的U形玻璃管 管內可裝水 酒精或水銀等 不與被測流體相混 U形管一端與待測點處器壁小孔相通 另一端與大氣通 如圖 1 2為等壓面 據流體靜力學基本方程可得 pA a hmpA hm a或 3 U形管真空計 U形管測壓計亦可測量流體中某點的真空壓強 如圖所示 pA Hgh2 1h1pAV Hgh2 1h1 汞柱 4 U形管壓差 比壓 計測量兩點間的壓強差 常用U形管內裝有與待測流體不相混的某種流體 兩端分別與兩待測點A B處的器壁小孔連通 如圖所示 由標尺量出 z h1p 即可求得A B兩點的壓差pA pB 如圖所示 M N為等壓pM pA h hm pN pB z h mhm得 pA pB z m hm將 z zB zA代入上式得pA pB zB zA m hm同除以 并移項得 很有用 請記住 1 壓力表和測壓計上測得的壓強是絕對壓強還是相對壓強 2 判斷 測壓管內液柱的高度就是壓強水頭 3 在如圖所示的密閉容器上裝有U形水銀測壓計 其中1 2 3點位于同一水平面上 其壓強關系為A p1 p2 p3B p1 p2 p3D p2 p1 p3 相對壓強 錯 C p1 p2 p3 4 如圖所示A p0 paC p0 paD 無法判斷5 如圖所示的密封容器 當已知測壓管高出液面h 1 5m 求液面相對壓強p0 用水柱高表示 容器盛的液體是汽油 g 7 35kN m3 A 1 5mC 2mD 11 5m B p0 pa B 1 125m 6 如圖所示水深相差h的A B兩點均位于箱內靜水中 連接兩點的U形汞壓差計的液面高差hm 試問哪個正確 1 2 7 如圖所示兩種液體盛在同一容器中 在容器側壁裝了兩根測壓管 試問圖中所標明的測壓管中水位對否 3 0 對 8 設水銀壓差計與三根有壓水管相連接 已知A B C三點的高程相同 壓差計水銀液面的高程自左肢向右肢分別為0 21m 1 29m 1 78m 試求A B C三點的壓強差 9 已知酒精的重度為8KN m3 h1為0 3m h為0 3m h2為0 25m 求A B壓差 第六節作用在平面上的液體總壓力 一 解析法如圖 在受壓平面上任取一點M 其淹沒深度為h 圍繞M點取一微小面積dA 其上的靜水總壓力dF hdA 整個受壓面面積A上的液體總壓力F 上式表明 作用在任意形狀平面上的液體總壓力等于該平面的淹沒面積與其形心處靜壓強的的乘積 而形心處靜壓強即受壓面平均壓強 方向垂直指向受壓平面由合力矩定理得 由慣性矩代入可得 由平行移軸原理得總作用力作用點為 注意 1 由于過形心C的慣性矩Ic為正值 故yD yc 即壓力作用點低于形心 2 各種圖形的Ic可查有關圖表 3 對于非對稱表面的x向位置 可以此方法推求 例 已知h 2m b 3m h1 1m 求閘門上的靜水總壓力解 hc yc h1 h 2 1 2 2 2A bh 3 2 6 m2 F hcA 9 8 2 6 117 6KNIC bh3 12 3 23 12 2yD yc IC yCA 2 2 2 6 2 1 6 2 17 m 二 圖解法底邊為水平的矩形受壓平面應用圖解法比較方便 設有承受液體總壓力的水平底邊矩形平面A B B A 該平面垂直于紙面 可以繪出矩形平面對稱軸AB的靜壓分布圖ABC dF pdA dF是以dA為底 以p為高柱體體積 F dF pdA 壓強分布圖體積 b即F b作用點通過壓強分布圖的形心 液體總壓力作用線與矩形平面相交的作用點D稱為壓力中心 顯然 在上述情況下 壓力中心D距自由面的深度hD 2 3h 例 已知h 2m b 3m h1 1m 求閘門靜水總壓力解 1 2 h1 h1 h hF b 1 2 h1 h1 h hb 117 6kN設壓力中心距自由面的深度Yd 則 yD 1 2 h1 h1 h h h1 h h 2 h1 1 2 h h 2h 3 h1 可解得yD 2 17m 思考題1 任意形狀平面壁上靜水壓力的大小等于 處靜水壓強乘以受壓面的面積 A 受壓面的中心B 受壓面的重心D 受壓面的垂心2 垂直放置的矩形平板擋水 水深3m 靜水總壓力P的作用點到水面的距離yD為 C 受壓面的形心 2m 3 如圖所示 浸沒在水中的三種形狀的平面物體 面積相同 問 1 哪個受到的靜水總壓力最大 2 壓力中心的水深位置是否同 4 擋水面積為A的平面閘門 一側擋水 若繞通過其形心C的水平軸任轉a角 其靜水總壓力的大小 方向和作用點是否變化 為什么 相同 不相同 大小不變 方向變 作用點變 5 某泄洪隧洞 在進口傾斜設置一矩形平板閘門 見圖 傾角為600 門寬b為4m 門長L為6m 門頂在水面下淹沒深度h1為10m 若不計閘門自重時 問沿斜面拖動閘門所需的拉力T為多少 已知閘門與門槽之間摩擦系數f為0 25 門上靜水總壓力的作用點在哪里 第七節作用在曲面上的液體總壓力 如圖 在曲上任取一點M 其淹沒深度為h 圍繞M點取一微小面積dA 作用在dA上液體總壓力為dF pdA hdAdF垂直于dA 與水平方向成 角 將dF分解為水平分力dFx和鉛直分力dFz 分別為 dFx dFcos pdAcos hdAcos hdAXdFZ dFcos pdAsin hdAsin hdAZ作用在整個曲面上的水平總分力作用在整個曲面上的鉛直總分力 壓力體應由下列周界面所圍成 1 受壓曲面本身 2 液面或液面的延長面 3 通過邊緣向液面或液面的延長面所作的鉛垂面 的方向 當液體和壓力體位于曲面的同側時向下 當液體及壓力體各在曲面的一側時向上 當曲面為凹凸相間的復雜柱面時 可在曲面與鉛垂面相切處將曲面分開 分別繪出各部分的壓力體 總壓力由二力合成定理 曲面所受總壓力的大小為 總壓力F的作用線應通過Fx與Fz的交點K 過K點沿F的方向延長交曲面于D D點即為總壓力F在AB上的作用點 例 如圖 弧形閘門 寬b 3m 半徑r 2 828m 角度 45o 擋水高度h 2m 鉸坐高度H 2m 求作用在弧形閘門上的靜水總壓力 解 水平分力FX hcAX 9 8 103 1 2 2 3 58 8 103N 鉛直分力Fz V ABCb 360 r2 1 2rhcos b 33 52 103N總壓力總壓力與水平面夾角 arctan Fz FX arctan 33 52 103 58 8 103 30 XD rcos 2 828cos30 2 449mZD rsin 2 828sin30 1 414m 靜止液體作用在曲面上的總壓力的計算程序 1 將總壓力分解為水平分力Fx和垂直分力Fz 2 水平分力的計算 3 確定壓力體的體積 4 垂直分力的計算 方向由壓力體確定 5 總壓力的計算 6 總壓力方向的確定 7 作用點的確定 即總壓力的作用線與曲面的交點 判斷 下述結論哪一個是正確的 兩圖中F均為單位寬度上的靜水總壓力 Fx F2 Fx F2 思考題1 一貯水設備如圖所示 在C點測得絕對壓強為196120Pa h 1m R 1m 求作用于半球AB上的總壓力 解 思考題2 如圖所示 由上下兩個半球合成的圓球 直徑d 2m 球中充滿水 當測壓管讀數H 3m時 不計球的自重 求下列兩種情況下螺栓群A A所受的拉力 1 上半球固定在支座上 2 下半球固定在支座上 本章小結 水靜力學的核心問題是根據平衡條件來求解靜水中的壓強分布 并根據靜水壓強的分布規律 進而確定作用在平面及曲面上的靜水總壓力 水靜力學研究的靜止狀態 指的是流體內部任何質點以及流體與容器之間均無相對運動 本章主要學習以下內容 1 流體靜壓強的兩個特性 2 壓強的表示方法 a 壓強可分為絕對壓強 相對壓強和真空值 b 可用應力單位 液柱高和大氣壓表示壓強大小 3 等壓面的概念 只有重力作用下的靜止流體的等壓面為水平面應滿足的條件是相互連通的同一種連續介質 4 流體平衡微分方程 5 靜壓強的分布重力作用下靜壓強的分布 6 平面上流體靜壓力 1 解析法 2 圖解法 7 曲面上流體靜壓力與平面上求解總壓力的計算方法相同V 壓力體的體積 壓力體的組成 1 受壓曲面本身 2 通過曲面周圍邊緣所作的鉛垂面 3 自由液面或自由液面的延長線 測試題 1 靜止液體中存在 a 切應力b 壓應力c 切應力和壓應力d 壓應力和拉應力2 相對壓強的起點是 a 絕對真空b 一個標準大氣壓c 當地大氣壓d 液面壓強3 金屬壓力表的讀數值是 a 絕對壓強b 相對壓強c 絕對壓強加當地大氣壓d 相對壓強加當地大氣壓4 靜止流體中任意一點的壓強與 無關 a 點的位置b 作用面的方向c 流體的種類d 重力加速度5 U形水銀測壓計測A點壓強 A點的真空值是 a 63 70b 69 583c 104 37d 2606 靜止的水僅受重力作用時 測壓管水頭線必為 a 水平線b 直線c 斜線d 曲線 7 圖示容器內盛有兩種不同的液體 密度分別為 則有a b c d 8 與牛頓內摩擦定律直接有關的因素是 a 壓強 速度和粘度b 流體的粘度 切應力與角變形率c 切應力 溫度 粘度和速度d 壓強 粘度和角變形 9 如圖 在兩塊相距20mm的平板間充滿流體粘度為0 065 Pa s 的油 如果以1m s速度拉動距上平板5mm 面積為0 5m2的薄板 不計厚度 求需要的拉力 10 矩形平板一側擋水 與水平面夾角 30度 平板上邊與水面齊平 水深h 3m 平板寬b為5m 試求作用在平板上的靜水總壓力 11 如圖一個擋水二向曲面AB 已知d 2m h1 1m h2 4m 曲面寬b 1 5m 求總壓力的大小和方向 第3章流體運動學流體運動學研究運動要素隨時空的變化情況 建立它們之間的關系式 并用這些關系式解決工程上的問題 本章先建立流體運動基本概念 然后依據流束理論從質量守恒定律出發建立連續性方程 為了進一步深入分析流體的運動形態 還需要分析流場中流體微團運動的基本形式 第一節流體運動的描述方法分為拉格朗日法和歐拉法一 拉格朗日法把流體的運動看成由無數個流體質點運動的總和 用質點起始坐標 a b c 作為質點的標志 任意時刻質點的位置坐標是起始坐標和時間變量的連續函數 x x a b c t y y a b c t z z a b c t 式中a b c t稱為拉格朗日變數 流體質點的速度 ux x t x a b c t tuy y t y a b c t t 3 1 uz z t z a b c t t 加速度二 歐拉法以流動的空間作為研究對象 觀察不同時刻各空間點 x y z 上流體質點的運動情況 液體運動的空間稱為流場 通常流速是空間坐標 x y z 和時間t的函數 u u x y z t ux ux x y z t uy uy x y z t 3 2 uz uz x y z t 同樣 a a x y z t p p x y z t 三 流體質點的加速度 質點導數 質點加速度必須按復合函數求導數的法則求導 類似地有 ay az 式中第一項叫時變加速度或當地加速度 第二項叫位變加速度或遷移加速度 注意 恒定流時時變加速度為零 均勻流是遷移加速度為零 第二節歐拉法的基本概念 一 流動的分類1 恒定流和非恒定流以時間為標準 若各空間點上的運動要素 速度 壓強 密度等 皆不隨時間變化的流動稱為恒定流 反之稱為非恒定流 對于恒定流 流場方程為p p x y z t x y z t 3 3 物理量的時變導數為零 即 A t 0 恒定流的歐拉變數少了時間變量t 使問題求解大為簡化 在實際工程中 常把運動參數隨時間變化緩慢的流動按恒定流處理 以求簡化 2 一元 二元 三元流以空間為標準 若各空間點上的運動參數 主要是速度 是三個空間坐標的和時間變量的函數 如稱三元流動 若運動參數在該平面的垂直方向無變化 設該平面圖為XOY 則流動是二元流動 如水流繞過很長的圓柱流動忽略兩端的影響 則流動可視為二元流動 若運動參數只是一個空間坐標的函數 則稱一元流動 v v x t 3 均勻流和非均勻流若遷移加速度為零 即 則流動是均勻流 均勻流的流線是平行的直線 反之稱非均勻流 均勻流具有以下特性 均勻流的過流斷面為平面 且過流斷面的形狀和尺寸沿程不變 均勻流中 同一流線上不同點的流速應相等 恒定均勻流過流斷面上的動壓強分布規律與靜壓強分布規律相同 即同一過流斷面上各點測壓管水頭為一常數 1 漸變流流線雖然不是平行直線 但幾乎近于平行直線 2 急變流流線之間夾角很大或者流線的曲率半徑很小 注意 漸變流動壓強服從靜壓強分布 而急變流動壓強分布特性復雜 通常邊界近于平行直線時 流體往往是漸變流 管道轉彎 斷面突擴或收縮 為急變流 思考題 1 只有當過流斷面上各點的實際流速均相等時 水流才是均勻流 該說法是否正確 為什么 2 恒定流 均勻流等各有什么特點 不對 均勻流是指運動要素沿程不發生改變 而不是針對一過流斷面 恒定流是指各運動要素不隨時間變化而變化 恒定流時流線跡線重合 且時變加速度等于0 均勻流是指各運動要素不隨空間變化而變化 均勻流時位變加速度等于0 1 在水位恒定的情況下 加速度如何 2 在水位變化的情況下 加速度如何 問題 均勻流是 A 當地加速度為零C 向心加速度為零D 合加速度為零 B 遷移加速度為零 例3 1 已知速度場為 1 t 2s時在 2 4 點上的加速度是多少 2 恒定流還是非恒定流 3 均勻流還是非均勻流 解 1 得ax 4m s2類似地可求得ay 6m s2 2 速度場隨時間變化 所以是非恒流 因為 3 無遷移加速度 所以是均勻流 二 流管過水斷面 元流和總流 1 流管 流束在流場中任取不與流線重合的封閉曲線 過曲線上各點作流線 所構成的管狀表面稱為流 流管內的液流稱為流束 因為流線不能相交 所以流體不能由流管壁出入 對于恒定流流管 流束不隨時間變化 2 過流斷面在流束上與流線正交的橫斷面稱為過水斷面 流線相互平行時 過流斷面是平面 否則是曲面 3 元流和總流元流是過流斷面無限小的流束 元流斷面上各點的運動參數 如z u p均相同 總流是過水斷面為有限大的流束 是由無數元流構成 斷面上的運動參數一般情況下是不相同的 4 流量 斷面平均流速 1 流量 單位時間通過某一過流斷面的流體體積稱為體積 質量 流量 通常所說的流量一般指體積流量 用Q表示 質量流量用Qm表示 對于均質不可壓縮的流體 密度為常數 則質量流量為 3 4 2 斷面平均流速定義 如果過流斷面上各點的流速都等于 此時所通過的流量與實際上流速為不均勻分布時所通過的流量相等 則流速 就稱為斷面平均流速 3 5 3 6 3 7 而質量流量 或 三 流線和跡線 1 流線的概念流線是某一確定時刻在流場中所作的空間曲線 上每一點處質點在該時刻的速度矢量 都與曲線相切2 流線的性質一般情況下流線不相交 恒定流時 流線的形狀和位置不隨時間而改變 恒定流時流體質點運動的跡線與流線相重合 流線簇的疏密反映了速度的大小 3 流線方程設m為流線上的一點 流速為u 沿流線方向取一微元段dr x y z軸分量分別為ux uy uz和dx dy dz 根據流線定義有 則流線方程為 3 8 4 跡線某一流體質點在運動過程中 不同時刻所流經的空間點連成的線稱為跡線 即流體質點運動時所走過的軌跡線 式中 時間t是自變量 而x y z是t的因變量 3 9 則跡線方程為 例3 2 已知速度場 2 跡線方程及t 0時過 0 0 點的跡線 解 1 流線微分方程 積分得 所得流線方程是直線方程 不同時刻 t 0 1 2 的流線是三組不同斜率的直線族 如圖所示 2 跡線方程積分得 y 由t 0 x 0 y 0 確定積分常數 c1 0 c2 0得再消去t 即得t 0且過 0 0 點的跡線方程為 因為uy是時間t的函數 所以本流動為非恒定流 因此流線與跡線不重合 思考題 已知流體的速度分布為 求t 1時過 0 0 點的流線及t 0時位于 0 0 的質點軌跡 流體運動亦必須遵循質量守恒定律 1 流體的連續性微分方程在流場中取微小直角六面體 六面體的各邊分別與直角坐標系各軸平行 邊長分別為dx dy dz M點坐標假定為x y z 在某一時刻t M點的流速為u 密度為 則dt時間內 X向流出與流入微小六面體的質量差 即X向凈流出質量為 第二節流體運動的連續性方程 同理 Y Z向凈流出為 dt時間內六面體的總凈流出質量為 C dx 根據質量守恒原理 dt時間內六面體的總凈流出質量等于該六面體內由密度變化而變化的質量 即對于均質不可壓縮流體 常數 上式化簡為 化簡得 3 11 3 10 例3 3 已知試求滿足連續性方程的uz表達式 思考題 已知試問流動是否滿足連續性條件 2 有二種的二元液流 其流速可表示為 1 ux 2y uy 3x 2 ux 0 uy 3xy 試問這兩種液流是不可壓縮流嗎 解 1 符合不可壓縮流的連續性方程 是不可壓縮流 2 不符合不可壓縮流的連續性方程 所以不是 3 已知不可壓縮流體運動速度u在x y兩個軸方向的分量為ux 2x2 y uy 2y2 z且z 0處 有uz 0 試求z軸方向的速度分量uz 解對不可壓縮流體連續性方程為將已知條件代入上式 有4x 4y 0即積分可得uz 4 x y z f x y 又當z 0時 uz 0 故有f x y 0因此uz 4 x y z 2 總流的連續性方程斷面平均流速沿流向如何變化 用質量守恒定律來分析 如右圖所示 在dt時段內 流進1 1斷面的流體質量為流出2 2斷面的流體質量為根據質量守恒定律得 消去dt得此即可壓縮流體恒定流的連續性方程 當流體為不可壓縮時 則此即不可壓縮流體恒定流的連續性方程 顯然 沿任一元流 上述方程也成立 即可壓縮流體 3 13 3 12 或 或 不可壓縮流體 3 11 3 12 3 14 都是不可壓縮恒定流連續性方程式的各種形式 方程表明 在不可壓縮流體一元流動中 平均流速與斷面積成反比 推廣到任意斷面 3 14 3 15 流速之比與斷面積成反比 連續性方程確立了總流各斷面平均流速沿流向的變化規律 只要總流流量已知 或任一斷面的流速已知 即可由連續性方程確定任一斷面的平均流速 3 16 分叉流的總流連續性方程或 qv1 qv2 qv3問題 變直徑管的直徑d1 320mm d2 160mm 流速 1 1 5m s 2為 A 3m sB 4m sD 9m s C 6m s 斷面為 50 50 cm2的送風管 通過四個 40 40 cm2的送風口 a b c d 向室內輸送空氣 送風口氣流平均速度均為5m s 求通過送風管1 1 2 2 3 3各斷面的流速和流量 解 每一送風口流量第斷面流量 例3 4 第斷面流速 1 空氣以平均速度v0 2m s流入斷面面積為40 40cm2的送風管 然后經四個斷面面積為10 10cm2的排氣孔流出試問每排氣孔的平均出流流速為 A 8m sB 4m sC 2m sD 1m s2 恒定流指的是 A 物理量不變流動 B 各空間點上物理量不隨時間變化流動 C 空間各點物理量相同的流動 D 無粘性的流動 思考題 第四節有旋運動和無旋運動判斷有旋運動和無旋運動 第四章理想流體動力學和恒定平面勢流 任務 運動規律及工程中應用 理想流體的動壓強特點 總是沿著作用面的內法線方向 大小與其作用面的方位無關證明 根據 4 1 第一節歐拉運動微分方程 在運動理想流體中取一微小平衡六面體 三個邊長dx dy dz O 為微小平行六面體的中心 其速度為u 壓強為p 單位質量力的分力分別為X Y Z 表面力 質量力 根據得 y 化簡得 上式即是理想流體運動微分方程式 又稱為歐拉運動微分方程式 方程含ux uy uz p4個未知量 聯立連續性方程式即可求解 4 2 例 4 1 理想流體速度場為 1 流動是否可能 2 流線方程 3 等壓面方程解 1 滿足連續性方程 流動可以實現 2 由得積分得當a b同號為雙曲線 當a b異號為橢圓 3 不計質量力X Y Z 0 由歐拉運動微分方程得 上式分別乘以dx dy 相加得 積分得令p 常數 即得等壓面方程等壓面是一組以坐標原點為中心的圓 第二節理想流體恒定元流的伯努利方程 一 理想流體元流的伯努利方程流體運動微分方程式為 將上式分別乘以dx dy dz 相加得 A 設流動滿足以下條件 1 作用在流體上的質量力只有重力 Xdx Ydy Zdz gdz a 2 不可壓縮流體均質流動 p p x y z 即3 恒定流 流線與跡線重合 則 將式 a b c 代入 A 式或 對于同一流線上的任意兩個點 4 3 上式即是元流的伯努利方程 其應用條件是 1 理想流體 2 恒定流動 3 質量力只有重力 4 沿元流 流線 5 不可壓縮均質流體 二 伯努利方程的意義1 幾何意義 Z 位置高度 又稱位置水頭 理想流體的伯努利方程表明沿同一元流上 沿同一流線 各斷面的總水頭相等 總水頭線是水平線 2 能量意義 Z 單位重量液體所具有的重力勢能 位能 沿同一元流 流線 單位重量流體機械能守恒 例4 2 有一貯水裝置如圖所示 貯水池足夠大 當閥門關閉時 壓強計讀數為2 8個大氣壓強 而當將閥門全開 水從管中流出時 壓強計讀數是0 6個大氣壓強試求當水管直徑d 12cm時 通過出口的體積流量 解當閥門全開時列1 1 2 2截面的伯努利方程當閥門關閉時 根據壓強計的讀數 應用流體靜力學基本方程求出H值 則 代入到上式所以管內流量 m3 s 三 伯努利方程的應用 畢托管測量點流速 應用伯努利方程 通過測量點壓強的方法間接地測出點速度的大小 如圖 列A B點伯努利方程加系數C修正 4 4 4 4 四 由動能定理推導理想流體恒定元流的伯努利方程設不可壓縮無粘性恒定元流如圖所示 在元流上 取1 2兩斷面 其高程 面積 流速和壓強分別為z1 dA1 u1 p1 和z2 dA2 u2 p2 考察1 2斷面元流段的流體 經dt時段后流至1 2 位置 在這個時段內 外力對元流段做的功應等于動能的增加 即w外 Eu 作用在元流段上的外力做功有 側面上壓力 因與位移正交而不做功1 1斷面的壓力做正功2 2斷面的壓力做負功重力做功 1 1 段重量為的流體由1 1 移至2 2 過程中重力做功為因此外力總做功 重力做功 壓力做功 元流段動能增加 因是恒定流1 2段的動能不變 故動能增加即等于2 2 與1 1 動能的差 即由功能原理得 方程兩邊同除以dt 并按腳標分列等式兩邊 4 5 上式稱為總能量方程 表示全部流量能量平衡方程 將上式除以 得單位重量的能量方程 或簡稱為單位能量方程 這就是理想不可壓縮流體恒定元流能量方程 或稱伯努利方程 推廣到元流的任意斷面 4 6 常數 4 7 第五章實際流體的動力學基礎 第一節粘性流體的運動方程 N S方程1 運動微分方程 2 動水壓強 3 應用條件 牛頓流體 均質不可壓縮流體 第二節恒定元流的伯努利方程 能量方程 實際流體具有粘性 流動時 粘性流體克服阻力作功而消耗了一部分流體自身的機械能 產生能量損失 也叫水頭損失 設流體由1 1斷面流到2 2斷面的單位重量的能量損失為hw 則粘性流體元流的伯努利方程可寫為 5 1 第三節恒定總流的伯努利方程 能量方程 將元流伯努利方程的各項在整個總流斷面上積分 可得總流的伯努利方程 要積分就得知道各種能量在整個斷面上的分布規律 一 漸變流及其性質1 定義 質點遷移加速度很小 流線近似是平行的直線的流動 2 漸變流性質 a 過水斷面近于平面 斷面上各點速度方向近于一致 b 恒定漸變流過流斷面上的動壓強按靜壓強規律分布 即斷面上勢能為常數 證明 在均勻流或漸變流中任一斷面取微小柱體 其軸向為n 與重力方向交角為 柱體兩端面高程為z1和z2 壓強為p1 p2 作用在液柱上的力在n向的分力 1 液柱自重在n向分力 2 液柱兩端水壓力在n向分力 液柱側面水壓力正交于n軸 無分力 液柱側面與流向正交 無切向力 因此n向的力平衡方程式為 即 或 恒定均勻流或漸變流斷面上壓強分布與靜水壓強分布規律近似相同 1 求圖中A點壓強 例5 1 求圖5 1中A點壓強 解 A B同靜壓分布 例5 2 求A點壓強 解 A B C同靜壓分布 注意 A E D壓強相等嗎 二 總流的伯努利方程假定總流為恒定流 過流斷面1 1 2 2為漸變流斷面 其面積分別為A1 A2 在總流內任取一元流 相應的微元面積 位置高度 壓強分別為dA1 z1 p1 u1和dA2 z2 p2 u2 由元流的伯努利方程得 0 以乘以上式 即得單位時間通過元流兩過流斷面的能量關系 對總流過流斷面進行積分 式中出現三種積分 處理如下 式中 是考慮到斷面平均速度計算的動能與實際動能的差異而引入的動能校正系數 勢能積分 動能積分 取決于過流斷面上的流速分布情況 水頭損失積分為總流單位重量液體由第一個斷面流到第二個斷面的平均機械能損失 稱總流的水頭損失 以上三種積分結果代入原式 經化簡得此即粘性流體的恒定總流的伯努利方程 5 2 如用表示斷面全部單位機械能 則斷面間能量方程可表示為 三 總流伯努利方程的應用條件恒定流 只有重力 不可壓縮 漸變流斷面 無分叉 無外加能量等 四 總流伯努利方程的意義能量均指斷面上的單位重量流體所具有的平均能量 是過流斷面上單位重量流體的平均勢能 又稱測壓管水頭 對于漸變流斷面則等于常數 可取斷面上任一點為代表 過流斷面上單位重量流體的平均機械能 又稱總水頭 五 實際流體恒定總流能量方程的圖示實際流體恒定總流能量方程中共包含了四個物理量 位置水頭Z 平均壓強水頭 流速水頭 水頭損失 稱為測壓管水頭 流體力學中 習慣把單位重量流體所具有總機械能稱為總水頭用表示 實際流體恒定總流各項水頭沿程變化可用幾何曲線表示 稱為相應的各種水頭線 實際流體總流的總水頭線和測壓管水頭線 實際流體總流的總水頭線必定是一條逐漸下降的線 而測壓管水頭線則可能下降 也可能上升 甚至可能是一條水平線 總水頭線坡度 總水頭線沿流程的降低值與流程長度之比 也稱水力坡度 常用J來表示 恒正 測壓管水頭線坡度 可正可負 注意 1 理想流動流體的總水頭線為水平線 2 實際流動流體的總水頭線恒為下降曲線 3 測壓管水頭線可升 可降 可水平 4 若是均勻流 則總水頭線平行于測壓管水頭線 5 總水頭線和測壓管水頭線之間的距離為相應段的流速水頭 能量方程的解題步驟 三選一列 1 選擇基準面 基準面可任意選定 但應以簡化計算為原則 例如選自由液面 p 0 2 選擇計算斷面 計算斷面應選擇均勻流斷面或漸變流斷面 并且應選取已知量盡量多的斷面 3 選擇計算點 管流通常選在管軸上 明渠流通常選在自由液面 同一方程必須采用相同的壓強 4 列能量方程解題注意與連續性方程的聯合使用 思考題 實際流體在等直管道中流動 在過流斷面1 2上有A B C點 則下面關系式成立的是 A C D B 第四節能量方程的應用 例5 3 如圖 以d 100mm的水管從水庫引水 已知H 4m 恒定 水頭損失為hw 3mH2O 求qV 解 以過管出口中心的水平面為基準面 列1 1與2 2的能量方程 v1 0 v2待求取 將各項代入伯努利方程得 例5 4 文透里流量計 d1 100mm d2 50mm 文透里流量系數 求qv 解 以0 0為基準面 列1 1與2 2能量方程 略去水頭損失項 再由連續方程式中 K取決于流量計的結構尺寸 稱為儀器常數 本題可算k 0 009 m2 5 s 考慮水頭損失影響 若改用水銀壓差計 設讀數差為 H 則以代入計算即可 第五節有能量輸入 出 的伯努利方程水泵揚程 水泵對單位重量流體所做的水功 即單位重量流體經過水泵后所增加的能量 以H表示 對水池斷面1 1與水箱斷面2 2列能量方程為 5 3 水泵提供的能量用來增加水能和克服阻力做功 第六節恒定流動量方程在方程中 有時需要求解液流對邊界的動水作用力 如鎮墩 消滅槍噴頭等 這類力不同于靜水壓力 不能用靜水壓力公式計算 而且邊界上的壓強分布復雜 也不能用能量方程求解 但可以用動量方程求解 水力學的動量方程可以用物理學中的動量方程推導 動量定律 作用在物體上的沖量等于這個物體動量的增量 即式中 動量如圖 在恒定流中取漸變流斷面1 1 2 2為控制斷面 經dt后1 2水體流至1 2 因是恒定流 1 2段動量不變 故 而同理這就是恒定總流的動量方程 它表明作用于液流上的合外力等于液體單位時間內動量增量 5 4 式中 總流動量方程是一個矢量方程式 在直角坐標系中的影形式為 5 6 5 5 動量方程的解題步驟1 選控制體 兩個漸變流斷面之間的水體 2 選坐標系 選定坐標軸的方向 確定各作用力及流速的投影的大小和方向 3 作計算簡圖 分析受力 標出全部作用力的方向 4 列動量方程解題 將各作用力及流速在坐標軸上的投影代入動量方程求解 計算壓力時 壓強采用相對壓強 注意與能量方程及連續性方程聯合使用 對于分叉水流 如圖動量方程應用條件 恒 漸