變換和操作（b）年級 班 姓名 得分 一、填空題 1對于324和612，把第一個數加上3，同時把第二個數減3，這算一次操作，操作_次后兩個數相等.2. 對自然數n,作如下操作：各位數字相加，得另一自然數，若新的自然數為一位數，那么操作停止，若新的自然數不是一位數，那么對新的自然數繼續上面的操作，當得到一個一位數為止，現對1,2,3,1998如此操作,最后得到的一位數是7的數一共有_個.3. 在1,2,3,4,5,59,60這60個數中,第一次從左向右劃去奇數位上的數；第二次在剩下的數中，再從左向右劃去奇數位上的數；如此繼續下去，最后剩下一個數時，這個數是_.4. 把寫有1,2,3,，25的25張卡片按順序疊齊，寫有1的卡片放在最上面，下面進行這樣的操作：把第一張卡片放到最下面，把第二張卡片扔掉；再把第一張卡片放到最下面，把第二張卡片扔掉；按同樣的方法，反復進行多次操作，當剩下最后一張卡片時，卡片上寫的是_.5. 一副撲克共54張,最上面的一張是紅桃k.如果每次把最上面的4張牌,移到最下面而不改變它們的順序及朝向,那么,至少經過_次移動,紅桃k才會出現在最上面.6. 寫出一個自然數a,把a的十位數字與百位數字相加,再乘以個位數字,把所得之積的個位數字續寫在a的末尾,稱為一次操作.如果開始時a=1999,對1999進行一次操作得到19992，再對19992進行一次操作得到199926，如此進行下去直到得出一個1999位數為止，這個1999位數的各位數字之和是_.7. 黑板上寫有1987個數:1,2,3,，1986，1987.任意擦去若干個數,并添上被擦去的這些數的和被7除的余數,稱為一個操作.如果經過若干次這種操作,黑板上只剩下了兩個數,一個是987,那么,另一個數是_.8.下圖中有5個圍棋子圍成一圈.現在將同色的兩子之間放入一個白子,在異色的兩子之間放入一個黑子,然后將原來的5個拿掉,剩下新放入的5個子中最多能有_個黑子.9. 在圓周上寫上數1,2,4然后在每兩個相鄰的數之間寫上它們的和(于是共得到6個數:1,3,2,6,4,5)再重復這一過程5次,圓周上共出現192個數,則所有這些數的和是_.10. 在黑板上任意寫一個自然數,然后用與這個自然數互質并且大于1的最小自然數替換這個數,稱為一次操作,那么最多經過_次操作,黑板上就會出現2.二、解答題11甲盒中放有1993個白球和1994個黑球，乙盒中放有足夠多個黑球.現在每次從甲盒中任取兩球放在外面,但當被取出的兩球同色時,需從乙盒中取出一個黑球放入甲盒；當被取出的兩球異色時，便將其中的白球再放回甲盒，這樣經過3985次取、放之后，甲盒中剩下幾個球？各是什么顏色的球？0010023412如圖是一個圓盤，中心軸固定在黑板上，開始時，圓盤上每個數字所對應的黑板處均寫著0，然后轉動圓盤，每次可以轉動的任意整數倍，圓盤上的四個數將分別正對著黑板上寫數的位置.將圓盤上的數加到黑板上對應位置的數上,問:經過若干次后,黑板上的四個數是否可能都是1999?13. 有三堆石子,每次允許由每堆中拿掉一個或相同數目的石子(每次這個數目不一定相同),或由任一堆中取一半石子(如果這堆石子是偶數個)放入另外任一堆中,開始時三堆石子數分別為1989,989,89.如按上述方式進行操作,能否把這三堆石子都取光?如行,請設計一種取石子的方案,如不行,說明理由.12111098765432112111098765432114. 如圖,圓周上順次排列著1、2、3、12這十二個數，我們規定：相鄰的四個數a1、a2、a3、a4順序顛倒為a4、a3、a2、a1，稱為一次“變換”（如：1、2、3、4變為4、3、2、1，又如：11、12、1、2變為2、1、12、11）.能否經過有限次“變換”，將十二個數的順序變為9、1、2、3、8、10、11、12（如圖）？請說明理由.答 案 1. 48每操作一次,兩個數的差減少6,經(612-324)6=48次操作后兩個數相等.2. 222由于操作后所得到的數與原數被9除所得的余數相同,因此操作最后為7的數一定是原數除以9余7的數,即7,16,25,，1996，一共有（1996-7）9+1=222（個）3 32第一次操作后，剩下2,4,6,60這30個偶數；第二次操作后，剩下4,8,12,60這15個數（都是4的倍數）；第三次操作后，剩下8,16,24,56這7個數（都是8的倍數）；第四次操作后，剩下16,32,48這3個數；第五次操作后，剩下一個數,是32.4. 19第一輪操作,保留1,3,5,，25共13張卡片；第二輪保留3,7,11,15,19,23這6張卡片；第三輪保留3,11,19這3張卡片；接著扔掉11,3；最后剩下的一張卡片是19.5. 27次因為54,4=108,所以移動108張牌,又回到原來的狀況.又因為每次移動4張牌,所以至少移動1084=27(次).6. 66按照操作的規則,尋找規律知,a=1999時得到的1999位數為:19992668646000.其各位數字和為1+9+9+9+2+6+6+8+6+4 +6=667. 0黑板上的數的和除以7的余數始終不變.(1+2+3+1987)7=282154又1+2+3+1987=1987994=19871427是7的倍數.所以黑板上剩下的兩個數之和為7的倍數.又987=7141是7的倍數,所以剩下的另一個數也應是7的倍數,又這個數是某些數的和除以7的余數,故這個數只能是0.8. 4個提示:因為5個子不可能黑白相間,所以永遠不會得到5個全是黑子.9. 5103記第i次操作后,圓周上所有數的和為ai,依題意,得ai+1=2ai+ai=3ai.又原來三數的和為a0=1+2+4=7,所以a1=3a0=21,a2=3a1=63,a3=3a2=189,a4=3a3=567,a5=3a4=1701,a6=3a5=5103,即所有數的和為5103.10. 2如果寫的是奇數,只需1次操作；如果寫的是大于2的偶數，經過1次操作變為奇數，再操作1次變為2.11. 由操作規則知，每次操作后，甲盒中球數減少一個，因此經過3985次操作后，甲盒中剩下1993+1994-3985=2個球.每次操作白球數要么不變,要么減少2個.因此,每次操作后甲盒中白球數的奇偶性不變；即白球數為奇數.因此最后剩下的2個球中,白球1個,故另一個必為黑球.12. 每次加上的數之和是1+2+3+4=10,所以黑板上的四個數之和永遠是10的整數倍.因此,無論如何操作,黑板上的四個數不可能都是1999.13. 要把三堆石子都取光是不可能的.按操作規則,每次拿出去的石子總和是3的倍數,即不改變石子總數被3除的余數.而1989+989+89=3067被3除余1,三堆石子取光時總和被3除余0.所以,三堆石子都取光