高等數學期末復習 1、 求函數的定義域： 1）含有平方根的：被開方數 0， 2）含分式的：分母 0 含對數的：真數 0 例： 1.函數)1ln(9 2xxy 的定義域是 2、函數的對應規律 例 ：設 21 3 4 ,f x x x 求 fx 解：由于 f 中的表達式是 x+1，可將等式右端表示為 x+1 的形式 2)(2)1()1(3)1()1( 222 xxxfxxxxxf 或：令 2)(24)1(3)1()(11 222 xxxftttttftxtx 則 3、判斷兩個函數是否相同：定義域相同及對應規律相同 例： 1、下列各函數對中，（ B ）中的兩個函數相同 A、 2( ) ,y x y x B、 2 1 ,11xy y xx C、 2l n , 2 l ny x y x D、 22s i n c o s , 1y x x y 4、判斷函數的奇偶性 ： 若 f x f x ，則 fx為偶函數 ； 若 f x f x ，則 fx為奇函數 ， 也可以根據一些已知的函數的奇偶性，再利用“奇函數 奇函數、奇函數 偶函 數仍為奇函數；偶函數 偶函數、偶函數偶函數、奇函數奇函數仍為偶函數”的性質來判斷。 奇函數的圖像關于 原點對稱，偶函數的圖像關于 y 軸對稱。 例： 下列函數中，（ A ）是偶函數 A 3 sinf x x x B 3 1f x x C xxf x a a D 3 c o sf x x x 5、無窮小量：極限為零的變量。性質：無窮小量和有界變量的積仍是無窮小量 例 1） : 當 0x 時，下列變量為無窮小量的是（ B ） A、 cosx B、 ln(1+x) C、 x+1 D、 xe 2）01lim sinx x x 0 6、函數在一點處極限存在的充要條件是左右極限存在且相等 0limxxx ( D ) A、 1 B、 1 C、 1 D、不存在 7、極限的計算：對于“00”形1s in2)10 xxlinx）利用重要極限約去零因子后再計算 23121330)1l n (0109 2xxxxxxxx且例 1）21111)11(11000 xlinxxxlinxxlinxxx2）)1)(3( )1s in (lim32 )1s in (lim 121 xx xxx x xx )1( )1s in ()3( 1lim 1 xxx )1( )1s in(lim)3(lim 1 11 xxx xx=41141 8、導數的幾何意義： 處的切線的斜率在點表示曲線00 )()( xxfyxf ； )(),)(00000 xxxfyyyxxfy 處的切線方程在點（曲線例： 曲線 1)( xxf 在 )2,1( 處的切線斜率是 解：121)1( xxf= )1(212,21 xy故切線方程為：9、導數的計算：復合函數求導原則：由外向內，猶如剝筍，層層求導 例 1） 設 2sinln xy ，求 y 解： xxxy 2c o ss in 1 22 例 2） 設 2c o s xy x e ，求 dy 解 ； 21( s i n 2 )2 xd y x x e d xx 10、判斷函數的單調性 ： 的區間。系式的區間為單調遞增函數單調遞增，滿足關:0y 的區間。系式的區間為單調遞減函數單調遞減，滿足關:0y 例： .函數 1)1( 2 xy 的單調減少區間是 ），故單調減少區間是（ 110)1(2 xxy 11、應用題的解題步驟： 1）根據題意建立函數關系式， 2）求出駐點（一階導數 =0 的點） ， 3）根據題意直接回答 例 1） 求曲線 xy 22 上的點，使其到點 )0,2(A 的距離最短 解：曲線 xy 22 上的點到點 )0,2(A 的距離公式為 22)2( yxd d 與 2d 在同一點取到最小值，為計算方便求 2d 的最小值點，將 xy 22 代入得 xxd 2)2( 22 令 2)2(2)( 2 xd 令 0)( 2 d 得 1x 可以驗證 1x 是 2d 的最小值點，并由此解出 2y ，即曲線 xy 22 上的點 )2,1( 和點)2,1( 到點 )0,2(A 的距離最短 2） 某制罐廠要生產一種體積為 V 的無蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為多少時用料最省？ 解：設容器的底半徑為 r ，高為 h ，則其表面積為 rhrS 2 2 因為 Vhr 2 2rVh 所以 rVrS 2 2 222 rVrS 由 0S ，得唯一駐點3 Vr ，此時3 Vh，由實際問題可知，當底半徑3 Vr 和高3 Vh時可使用料最省 12、 不定積分與原函數的關系 : 設 F x f x ，則稱 函數 Fx是 fx的原函數 ., cxFdxxf )()( 例 1） 若 fx的一個 原函數為 1x， 則 fx （ B ） A、 lnx B、 32x C、 1x D 、21x 解：322)(11)(xxfxxxf 2） 已知 s i nx f x d x x c ，則 fx （答案： C） A. sinxxB. sinxx C. cosxxD. cosxx 解：x xxfxxxxf c o s)(c o s)( s in)( 13、性質： ,f x d x f x f x d x f x c 例 1） xxfxx d)(dd 32（ B ） A. )( 3xf B. )( 32 xfx C. )(31 xfD. )(31 3xf例 2） xx d)(tan tanx +C 14、不定 積分的計算： 1）湊微分； 2）分部積分 1） 常用湊微分： ),1(1),( l n1),1)(11),(1 21 xddxxxddxxxddxxbaxdadx ),(21 xddxx )( c o ss i n),( s i nc o s),( xdx d xxdx d xeddxe xx 例 1）若 cxFxxf )(d)( ，則 xxfx d)(1 （ B ） A. cxF )( B. cxF )(2 C. cxF )2( D. cxFx )(1 解： cxFxdxfdxxfx )(2)()(2)(1 例 2） 計算 xxx de21 解： )1(de 121xdexx xx cx 1e 例 3)計算 xx x dlnsin 解 ； cxxdxdxx x )c o s ( l n)( l n)s i n ( l nlns i n2） 分部積分的常見類型：x d xxdvx d xx d xdxex d xxdxexnxnxnc o sc o ss i ns i n 的形式。湊成、把 的形式湊成把 dvdxxx d xx nn ln ，再根據分部積分公式 vduuvudv 計算 例 1） 計算 dxxe x 解： cexedxexeexdxdxedxxe xxxxxxx )()( 例 2） 計算不定積分 xxx d3cos 解： cxxxx dxxxxxdxxdxx dxx 3c os313s i n313s i n3s i n31)3( s i n31)3(3c os313c os例 3）計算 dxxxxxdxx xxxxxdxxdxx 1 1)1()1l n (1)1l n ()1l n ()1l n ()1l n (= cxxxxdxxxx 1ln)1l n ()111()1l n (15、定 積分的牛頓萊布尼茲公式：設 F（ x）是 f(x)的一個原函數，則 )()( xFdxxfba ab )()( aFbF 例： 若 Fx是 fx的一個原函數，則下列等式成立的是（ B ） A. xa f x d x F xB. xa f x d x F x F aC. ba F x d x f b f aD. ba f x d x F b F a 16、奇偶函數在對稱區間上的積分： 若 fx是奇函數，則有 0aa f x dx 若 fx是偶函數，則有 0022aaf x d x f x d x f x d x 例 1)： 1 21 2 1x dxx 分析： 22 1xx 為奇函數，所以 1 21 2 1x dxx 0 例 2） 11 xdx 分析： xQ 為偶函數 故： 11 210102 | 1x d x x d x x 17、定積分的計算： 1）湊微分， 2）分部積分； 定積分的湊微分和不定積分 的計算相同。 例 1） 計算 1221xe dxx解： 利用湊微分法，211d x dxx ，得 1 1122 212111 |x xxe d x e d e e exx 例 2） 計算定積分 21xe dxx解： 利用湊微分法， 1 2d x d xx ，得 22 22111 2 2 | 2x xxe d x e d x e e ex 定積分的分部積分與不定積分的計算基本相同： 定積分的分部積分公式： baba v duabuvudv 例 1） 計算 1 20 xxe dx解： 0121210121)(21)2(21 221022102102102 xxxxxx eedxexeexdxdxedx