第六章 向量空間6.1 定義和例子6.2 子空間6.3 向量的線性相關性6.4 基和維數6.5 坐標6.6 向量空間的同構6.7 矩陣的秩齊次線性方程組的解空間返回教案總目錄6.7矩陣的秩，齊次線性方程組的解空間一、教學思考 1、矩陣的秩與線性方程組解的理論在前面已經有過討論，本節運用向量空間的有關理論重新認識矩陣的秩的幾何意義，討論線性方程組解的結構。2、注意：齊次線性方程組（含個未知量）的解的集合構成的子空間，而非齊次線性方程組的解的集合非也。3、注意具體方法：1）證矩陣的行空間與列空間的維數相等；2）求齊次線性方程組的基礎解系。二、內容要求1、內容：矩陣的秩的幾何意義，齊次線性方程組的解空間。2、要求：理解掌握矩陣的秩的幾何意義，齊次線性方程組的基礎解系的求法。三、教學過程 1、矩陣的秩的幾何意義幾個術語：設，的每一行看作的一個元素，叫做的行向量，用表示；由生成的的子空間叫做矩陣的行空間。類似地，的每一列看作的一個元素，叫做的列向量；由的個列向量生成的的子空間叫做矩陣的列空間。注：的行空間與列空間一般不同，分別是與的子空間；下證其維數相同。引理6.7.1設，1）若，是一個階可逆矩陣，則與有相同的行空間；2）若，是一個階可逆矩陣，則與有相同的列空間。分析：設，是的行向量，是的行向量；只需證這兩組向量等價。由題述關系得： =即的每個行向量都可以由的行向量線性表示；因為可逆，有，同上得每個行向量都可以由的行向量線性表示，這樣這兩組向量等價。定理6.7.2矩陣的行空間的維數等于列空間的維數，等于這個矩陣的秩。證法：設，分別證行、列空間的維數為。由維數的定義及行空間的概念，只需證行（列）空間的生成元的極大無關組含個向量；為此不直接討論，由引理討論討論與有相同行空間的一個矩陣，可結合有關矩陣的結論：存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得。證明：設，則存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得 （1），兩邊右乘得，上式右端中后行全為0，而前行即為的前行；由于可逆，所以它的行向量線性無關，因而它的前行也線性無關，由此得上式右端乘積矩陣的行空間的維數為，由引理的行空間的維數為。由（1）類似得，可得的列空間的維數也為。定義：矩陣的行（列）向量組的極大無關組所含（行（列）空間的維數）向量的個數，叫做矩陣的秩。2、線性方程組的解的結構1）再證線性方程組有解的判定定理：“數域上線性方程組有解的充要條件是它的系數矩陣與增廣矩陣的秩相同。”證明：設線性方程組 （1）令表示（1）的系數矩陣的列向量，則（1）可寫為： （2）必要性）若（1）有解，即存在使（2）成立，即可由線性表示，從而與等價，進而（）=（），即與的列空間相同，由定理。 充分性）若，由定理2即與的列空間維數相同，又因的極大無關組一定是的線性無關組，所以，即，因而可由線性表示，所以（1）有解。2）齊次線性方程組的解空間設 （3）是數域上一個齊次線性方程組，令為其系數矩陣，則（3）可寫為 （4）或；（3）的每一個解都可以看作的一個向量，叫做（3）的一個解向量。令表示（3）的全體解向量構成的集合；首先：因，所以；其次：，有，即。因此作成的一個子空間，這個子空間叫做齊次線性方程組（3）的解空間。注：當僅有零解時，；當有非零解時，上述討論反映了齊次線性方程組的解的兩個重要性質：1）兩解之和為解；2）一解之倍數仍為解。從而有無窮多解，那么這些解是否可用有限個解表出，上知（3）的解集是的一個子空間，從而說明這是可以的，只需求出的一個基即可。下面就來解決這個問題，即求（3）的解空間的一個基。重新回顧解線性方程組的過程：設（3）的系數矩陣的秩為，則可經過一系列（行）初等變換化為，與此相應的齊次線性方程組為：（5），這里是的重新編號。（5）有個自由未知量，依次讓它們取，可得（5）的個解向量：。下面證其是（5）的解空間的一個基。首先：線性無關。事實上設，由下面個分量易得。其次：設是（5）的任一解，代入（5）得：又有恒等式：此個等式即為，即（5）的每個解向量都可以由線性表示，故為（5）的解空間的一個基。注意到（5）與（4）在未知量重新編號后同解，所以重新編排的次序可得（4）的解空間的一個基，從而解決了齊次線性方程組的解的構造問題。并且上述討論也給出了求解空間的具體方法：即通過解方程組的允許變換得到等價組，在等價組中自由未知量是清楚的，給其一組線性無關值，便得等價組的一組解向量，其構成等價組的解空間的一個基，再調整解向量的次序便得。上述討論得：定理6.7.3數域上一個元齊次線性方程組的一切解作成的一個子空間，稱之為這個線性方程組的解空間。若所給方程組的系數矩陣的秩為，則解空間的維數為。定義：一個齊次線性方程組的解空間的一個基，叫做這個方程組的一個基礎解系。注：上述討論給出了齊次線性方程組的基礎解系的存在性及求法；其中自由未知量取值時，只需保證線性無關即可。（例略）3）非齊次線性方程組的解的結構設 （6）是數域上一個元線性方程組。問題當（6）有無窮解時，解的結構如何？為此先引入：把（6）的常數項都換成0，便得一個齊次線性方程組 （7），齊次線性方程組（7）叫做方程組（6）的導出齊次線性方程組。注：任一線性方程組都有唯一的導出齊次線性方程組。為討論上述問題，先討論（6）與其導出齊次線性方程組（7）的解之間的關系。1）（6）的兩個解的差是（7）似的解；事實上，設是（6）的兩個解，有，所以。2）（6）的一個解與（7）的一個解的和是（6）的一個解。（同上）（6）的解的構造：定理6.7.4若（6）有解，則（6）的任一解都可以表示為（6）的一個固定解與（7）的一個解的和。證明：設是（6）的一個固定解，是（