20092010學年度高三數學（人教版A版）第一輪復習資料 空間幾何體一【課標要求】1利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構；2能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會使用材料（如：紙板）制作模型，會用斜二側法畫出它們的直觀圖；3通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；4完成實習作業，如畫出某些建筑的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求）；二【命題走向】近幾年來，立體幾何高考命題形式比較穩定，題目難易適中，解答題常常立足于棱柱、棱錐和正方體位置關系的證明和夾角距離的求解，而選擇題、填空題又經常研究空間幾何體的幾何特征和體積表面積。因此復習時我們要首先掌握好空間幾何體的空間結構特征。培養好空間想能力。預測2010年高考對該講的直接考察力度可能不大，但經常出一些創新型題目，具體預測如下：（1）題目多出一些選擇、填空題，經常出一些考察空間想象能力的試題；解答題的考察位置關系、夾角距離的載體使空間幾何體，我們要想像的出其中的點線面間的位置關系；（2）研究立體幾何問題時要重視多面體的應用，才能發現隱含條件，利用隱蔽條件解題。三【要點精講】1柱、錐、臺、球的結構特征（1）柱棱柱：一般的，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱為底；其余各面叫做棱柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱；側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。底面是三角形、四邊形、五邊形的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側面的母線棱柱與圓柱統稱為柱體；（2）錐棱錐：一般的有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面；各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱。底面是三角錐、四邊錐、五邊錐的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉形成的曲面叫做圓錐的側面。棱錐與圓錐統稱為錐體（3）臺棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側面、側棱、頂點。圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側面、母線、軸圓臺和棱臺統稱為臺體。（4）球以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。（5）組合體由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復雜的幾何體叫組合體。2空間幾何體的三視圖三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。他具體包括：（1）正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長度；（2）側視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度；（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長度和寬度；3空間幾何體的直觀圖（1）斜二測畫法建立直角坐標系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐標系；畫出斜坐標系，在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應的OX,OY,使=450（或1350），它們確定的平面表示水平平面；畫對應圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y軸，且長度變為原來的一半；擦去輔助線，圖畫好后，要擦去X軸、Y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）。（2）平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點四【典例解析】題型1：空間幾何體的構造例19，如圖，已知三棱錐的底面是直角三角形，直角邊長分別為3和4，過直角頂點的側棱長為4，且垂直于底面，該三棱錐的主視圖是（ ）答案 B2. (2009湖南卷理)正方體ABCD的棱上到異面直線AB，C的距離相等的點的個數為（C）A2 B3 C. 4 D. 5 【答案】：C【解析】解析如圖示，則BC中點，點，點，點分別到兩異面直線的距離相等。即滿足條件的點有四個，故選C項（3）正方體ABCD_A1B1C1D1的棱長為2，點M是BC的中點，點P是平面ABCD內的一個動點，且滿足PM=2，P到直線A1D1的距離為，則點P的軌跡是 A.圓 B.雙曲線 C.兩個點 D.直線解析： 點P到A1D1的距離為，則點P到AD的距離為1，滿足此條件的P的軌跡是到直線AD的距離為1的兩條平行直線，又，滿足此條件的P的軌跡是以M為圓心，半徑為2的圓，這兩種軌跡只有兩個交點.故點P的軌跡是兩個點。選項為C。點評：該題考察空間內平面軌跡的形成過程，考察了空間想象能力。例2（07江蘇9）兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有（ ）A1個B2個 C3個D無窮多個解析：由于兩個正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形ABCD中心，有對稱性知正四棱錐的高為正方體棱長的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積，問題轉化為邊長為1的正方形的內接正方形有多少種，所以選D。點評：本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積。正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學會將空間問題向平面問題轉化。題型2：空間幾何體的定義例3（2009四川卷理）如圖，在半徑為3的面上有三點，球心到平面的距離是，則兩點的球面距離是A. B. C. D. 【考點定位】本小題考查球的截面圓性質、球面距，基礎題。（同文9）解析：由知截面圓的半徑，故，所以兩點的球面距離為，故選擇B。解析2：過球心作平面的垂線交平面與，則在直線上，由于，所以，由為等腰直角三角形可得，所以為等邊三角形，則兩點的球面距離是。例42009浙江卷文）設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（ ）A若，則 B若，則 C若，則 D若，則 【命題意圖】此題主要考查立體幾何的線面、面面的位置關系，通過對平行和垂直的考查，充分調動了立體幾何中的基本元素關系【解析】對于A、B、D均可能出現，而對于C是正確的. 點評：對于空間幾何體的定義要有深刻的認識，掌握它們并能判斷它們的性質。題型3：空間幾何體中的想象能力例5（2009北京卷理）（本小題共14分） 如圖，在三棱錐中，底面，點，分別在棱上，且（）求證：平面；（）當為的中點時，求與平面所成的角的大小；（）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由.【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D為PB的中點，DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點E.DAE是AD與平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP為等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，與平面所成的角的大小.（）AE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP為二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，.在棱PC上存在一點E，使得AEPC，這時，故存在點E使得二面角是直二面角.【解法2】如圖，以A為原煤點建立空間直角坐標系， 設，由已知可得 . （），BCAP.又，BCAC，BC平面PAC.（）D為PB的中點，DE/BC，E為PC的中點，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點E.DAE是AD與平面PAC所成的角，.與平面所成的角的大小.（）同解法1.例6（2009全國卷文）（本小題滿分12分）. 如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分別為AA1、B1C的中點，DE平面BCC1（）證明：AB=AC （）設二面角A-BD-C為60,求B1C與平面BCD所成的角的大小解析：本題考查線面垂直證明線面夾角的求法，第一問可取BC中點F，通過證明AF平面BCC1,再證AF為BC的垂直平分線，第二問先作出線面夾角，即證四邊形AFED是正方形可證平面DEF平面BDC，從而找到線面夾角求解。此題兩問也可建立空間直角坐標系利用向量法求解。解法一：（）取BC中點F，連接EF，則EF，從而EFDA。ACBA1B1C1DE連接AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF/DE。又DE平面，故AF平面，從而AFBC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=AC。（）作AGBD，垂足為G，連接CG。由三垂線定理知CGBD，故AGC為二面角A-BD-C的平面角。由題設知，AGC=600. 設AC=2，則AG=。又AB=2，BC=，故AF=。由得2AD=，解得AD=。故AD=AF。又ADAF，所以四邊形ADEF為正方形。因為BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF。連接AE、DF，設AEDF=H，則EHDF，EH平面BCD。連接CH，則ECH為與平面BCD所成的角。. 因ADEF為正方形，AD=，故EH=1，又EC=2，所以ECH=300，即與平面BCD所成的角為300.解法二：（）以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系Axyz。設B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），則（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。（）設平面BCD的法向量則又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 則y=1, z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角為60知，=60，故 ，求得 于是 ， ， 所以與平面所成的角為30題型4：斜二測畫法例7畫正五棱柱的直觀圖，使底面邊長為3cm側棱長為5cm。解析：先作底面正五邊形的直觀圖，再沿平行于Z軸方向平移即可得作法：（1）畫軸：畫X，Y，Z軸，使XOY=45（或135），XOZ=90。（2）畫底面：按X軸，Y軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE。（3）畫側棱：過A、B、C、D、E各點分別作Z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA，BB，CC，DD，EE。（4）成圖：順次連結A，B，C，D，F，加以整理，去掉輔助線，改被遮擋的部分為虛線點評：用此方法可以依次畫出棱錐、棱柱、棱臺等多面體的直觀圖。例8是正ABC的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若的面積為，那么ABC的面積為_。解析：。點評：該題屬于斜二測畫法的應用，解題的關鍵在于建立實物圖元素與直觀圖元素之間的對應關系。特別底和高的對應關系。題型5：平行投影與中心投影例9（1）如圖，在正四面體ABCD中，E、F、G分別是三角形ADC、ABD、BCD的中心，則EFG在該正四面體各個面上的射影所有可能的序號是（ ） A B C D（2）（2009寧夏海南卷理）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側棱的長都是地面邊長的倍，P為側棱SD上的點。 （）求證：ACSD； （）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（）在（）的條件下，側棱SC上是否存在一點E， 使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。解法一： （）連BD，設AC交BD于O，由題意。在正方形ABCD中，所以,得. ()設正方形邊長，則。又，所以, 連，由（）知,所以, 且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小為。 （）在棱SC上存在一點E，使由（）可得，故可在上取一點,使,過作的平行線與的交點即為。連BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二： （）；連,設交于于，由題意知.以O為坐標原點，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標系如圖 設底面邊長為，則高。 于是 故 從而 ()由題設知，平面的一個法向量，平面的一個法向量，設所求二面角為，則,所求二面角的大小為 （）在棱上存在一點使. 由（）知是平面的一個法向量， 且 設 則 而 即當時， 而不在平面內，故例10多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點A在平面內，其余頂點在的同側，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是： 3； 4； 5； 6； 7以上結論正確的為_（寫出所有正確結論的編號）ABCDA1B1C1D1A1解析：如圖，B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4，則D、A1的中點到平面的距離為3，所以D1到平面的距離為6；B、A1的中點到平面的距離為，所以B1到平面的距離為5；則D、B的中點到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A1的中點到平面的距離為，所以C1到平面的距離為7；而P為C、C1、B1、D1中的一點，所以選。點評：該題將計算蘊涵于射影知識中，屬于難得的綜合題目題型6：三視圖例11（1）畫出下列幾何體的三視圖（2）解析：這二個幾何體的三視圖如下（2）如圖，設所給的方向為物體的正前方，試畫出它的三視圖（單位：cm）點評：畫三視圖之前，應把幾何體的結構弄清楚，選擇一個合適的主視方向。一般先畫主視圖，其次畫俯視圖，最后畫左視圖。畫的時候把輪廓線要畫出來，被遮住的輪廓線要畫成虛線。物體上每一組成部分的三視圖都應符合三條投射規律。例12某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀解析：該幾何體為一個正四棱錐分析：三視圖是從三個不同的方向看同一物體得到的三個視圖。點評：主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現物體的長和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長要相等。左視圖和 俯視圖共同反映物體的寬要相等。據此就不難得出該幾何體的形狀五【思維總結】1.幾種常凸多面體間的關系2.一些特殊棱柱、棱錐、棱臺的概念和主要性質名稱棱柱直棱柱正棱柱圖 形定 義有兩個面互相平行，而其余每相鄰兩個面的交線都互相平行的多面體側棱垂直于底面的棱柱底面是正多邊形的直棱柱側棱平行且相等平行且相等平行且相等側面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形對角面的形狀平行四邊形矩形矩形平行于底面的截面的形狀與底面全等的多邊