湖北省咸寧市中考 2013 年數學試卷 一、選擇題（共 8 小題，每小題 3 分，滿分 24 分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1（ 3 分）（ 2013咸寧）如果溫泉河的水位升高 0.8m 時水位變化記作 +0.8m，那么水位下降0.5m 時水位變化記作（ ） A 0m B 0.5m C 0.8m D 0.5m 考點 ： 正數和負數 分析： 首先根據題意，明確 “正 ”和 “負 ”所表示的意義，再根據題意作答即可 解答： 解： 水位升高 0.8m 時水位變化記作 +0.8m， 水位下降 0.5m 時水位變化記作 05m； 故選 D 點評： 此題考查了正數和負數，解題關鍵是理解 “正 ”和 “負 ”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示 2（ 3 分）（ 2013咸寧） 2012 年，咸寧全面推進 “省級戰略，咸寧實施 ”，經濟持續增長，全市人均 GDP 再攀新高，達到約 24000 元將 24000 用科學記數法表示為（ ） A 2.4104 B 2.4103 C 0.24105 D 2.4105 考點 ： 科學記數法 表示 較大的數 分析： 科學記數法的表示形式為 a10n 的形式，其中 1|a| 10， n 為整數確定 n 的值時，要看把原數變成 a 時，小數點移動了多少位， n 的絕對值與小數點移動的位數相同當原數絕對值 1 時， n 是正數；當原數的絕對值 1 時， n 是負數 解答： 解：將 24000 用科學記數法表示為 2.4104 故選 A 點評： 此題考查科學記數法的表示方法科學記數法的表示形式為 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 為整數，表示時關鍵要正確確定 a 的值以及 n 的值 3（ 3 分）（ 2013咸寧）下列學 習用具中，不是軸對稱圖形的是（ ） A B C D 考點 ： 軸對稱圖形 分析： 根據軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿著某條直線折疊，兩邊能夠重合的圖形是軸對稱圖形，對各選項判斷即可 解答： 解： A、是軸對稱圖形，不合題意，故本選項錯誤； B、是軸對稱圖形，不合題意，故本選項錯誤； C、不是軸對稱圖形，符合題意，故本選項正確； D、是軸對稱圖形，不合題意，故本選項錯誤； 故選 C 點評： 本題考查了軸對稱圖形的知識，屬于基礎題，判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸 4 （ 3 分）（ 2013咸寧）下列運算正確的是（ ） A a6a2=a3 B 3a2b a2b=2 C （ 2a3） 2=4a6 D （ a+b） 2=a2+b2 考點 ： 同底數冪的除法；合并同類項；冪的乘方與積的乘方；完全平方公式 分析： 根據同底數冪的除法、合并同類項、冪的乘方及完全平方公式，結合各選項進行判斷即可 解答： 解： A、 a6a2=a4，原式計算錯誤，故本選線錯誤； B、 3a2b a2b=2a2b，原式計算錯誤，故本選線錯誤； C、（ 2a3） 2=4a6，計算正確，故本選線 正確； D、（ a+b） 2=a2+2ab+b2，計算錯誤，故本選線錯誤； 故選 C 點評： 本題考查了同底數冪的除法、合并同類項、冪的乘方運算，屬于基礎題，掌握各部分的運算法則是關鍵 5（ 3 分）（ 2013咸寧）如圖，過正五邊形 ABCDE 的頂點 A 作直線 l BE，則 1 的度數為（ ） A 30 B 36 C 38 D 45 考點 ： 平行線的性質；等腰三角形的性質；多邊形內角與外角 分析： 首先根據多邊形內角和計算公式計算出每一個內角的度數，再根據等腰三角形的性質計算出 AEB，然后根據平行線的性質可得答案 解答： 解： ABCDE 是正五邊形， BAE=（ 5 2） 1805=108， AEB=（ 180 108） 2=36， l BE， 1=36， 故選： B 點評： 此題主要考查了正多邊形的內角和定理，以及三角形內角和定理，平行線的性質，關鍵是掌握多邊形內角和定理：（ n 2） 180 （ n3）且 n 為整數） 6（ 3 分）（ 2013咸寧）關于 x 的一元二次方程（ a 1） x2 2x+3=0 有實數根，則整數 a 的最大值是（ ） A 2 B 1 C 0 D 1 考點 ： 根的判別式 分析： 根據方程有實數根，得到根的判別式的值大于等于 0，且二次項系數不為 0，即可求出整數 a 的最大值 解答： 解：根據題意得： =4 12（ a 1） 0，且 a 10， 解得： a， a1， 則整數 a 的最大值為 0 故選 C 點評： 此題考查了根的判別式，一元二次方程的定義，弄清題意是解本題的關鍵 7（ 3 分）（ 2013咸寧）如圖，正方形 ABCD 是一塊綠化帶，其中陰影部分 EOFB， GHMN都是正方形的花圃已知自由飛翔的小鳥 ，將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（ ） A B 12 C D 考點 ： 相似三角形的應用；正方形的性質；幾何概率 分析： 求得陰影部分的面積與正方形 ABCD 的面積的比即可求得小鳥在花圃上的概率； 解答： 解：設正方形的 ABCD 的邊長為 a， 則 BF=BC=， AN=NM=MC=a， 陰影部分的面積為（） 2+（ a） 2= a2， 小鳥在花圃上的概率為 = 故選 C 點評： 本題考查了正方形的性質及幾何概率 ，關鍵是表示出大正方形的邊長，從而表示出兩個陰影正方形的邊長，最后表示出面積 8（ 3 分）（ 2013咸寧）如圖，在平面直角坐標系中，以 O 為圓心，適當長為半徑畫弧，交x 軸于點 M，交 y 軸于點 N，再分別以點 M、 N 為圓心，大于 MN 的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點 P若點 P 的坐標為（ 2a， b+1），則 a 與 b 的數量關系為（ ） A a=b B 2a+b= 1 C 2a b=1 D 2a+b=1 考點 ： 作圖 基本作圖；坐標與圖形性質；角平分線的性質 分析： 根據作圖過程可得 P 在第 二象限角平分線上，有角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得 |2a|=|b+1|，再根據 P 點所在象限可得橫縱坐標的和為 0，進而得到a 與 b 的數量關系 解答： 解：根據作圖方法可得點 P 在第二象限角平分線上， 則 P 點橫縱坐標的和為 0， 故 2a+b+1=0， 整理得： 2a+b= 1， 故選： B 點評： 此題主要考查了每個象限內點的坐標特點，以及角平分線的性質，關鍵是掌握各象限角平分線上的點的坐標特點 |橫坐標 |=|縱坐標 | 二、填空題（共 8 小題，每小題 3 分，滿分 24 分） 9（ 3 分）（ 2013咸寧） 3 的倒數為 13 考點 ： 倒數 分析： 根據倒數的定義：若兩個數的乘積是 1，我們就稱這兩個數互為倒數 解答： 解： （ 3） （ 13） =1， 3 的倒數是 13 故答案為 13 點評： 本題主要考查倒數的定義，要求熟練掌握需要注意的是： 倒數的性質：負數的倒數還是負數 ，正數的倒數是正數， 0 沒有倒數 倒數的定義：若兩個數的乘積是 1，我們就稱這兩個數互為倒數 10（ 3 分）（ 2013咸寧）化簡 + 的結果為 x 考點 ： 分式的加減法 分析： 先把兩分數化為同分母的分數，再把分母不變，分子相加減即可 解答： 解：原式 = = =x 故答案為： x 點評： 本題考查的是分式的加減法，即把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經過通分，異分母分式的加減就轉化為同分母分式的加減 11（ 3 分）（ 2013咸寧）如圖是正方體的一 種平面展開圖，它的每個面上都有一個漢字，那么在原正方體的表面上，與漢字 “香 ”相對的面上的漢字是 泉 考點 ： 專題：正方體相對兩個面上的文字 分析： 正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據這一特點作答 解答： 解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形， “力 ”與 “城 ”是相對面， “香 ”與 “泉 ”是相對面， “魅 ”與 “都 ”是相對面 故答案為泉 點評： 本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題 12（ 3 分）（ 2013咸寧）已知 是二元一次方程組 的解，則 m+3n 的立方根為 2 考點 ： 二元一次方程組的解；立方根 分析： 將 代入方程組 ，可得關于 m、 n 的二元一次方程組，解出 m、 n 的值，代入代數式即可得出 m+3n 的值，再根據立方根的定義即可求解 解答： 解：把 代入方程組 ， 得： ，解得 ， 則 m+3n= +3=8， 所以 = =2 故答案為 2 點評： 本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組及立方根的定義等知識，屬于基礎題，注意 “消元法 ”的運用 13（ 3 分）（ 2013咸寧）在數軸上，點 A（表示整數 a）在原點的左側，點 B（表示整數 b）在原點的右側若 |a b|=2013，且 AO=2BO，則 a+b 的值為 671 考點 ： 數軸；絕對值；兩點間的距離 分析： 根據已知條件可以得到 a 0 b然后通過取絕對值，根據兩點間的距離定義知 ba=2013， a= 2b，則易求 b=671所以 a+b= 2b+b= b= 671 解答： 解：如圖， a 0 b |a b|=2013，且 AO=2BO， b a=2013， a= 2b， 由 ，解得 b=671， a+b= 2b+b= b= 671 故答案是： 671 點評： 本題考查了數軸、絕對值以及兩點間的距離根據已知條件得到 a 0 b 是解題的關鍵 14（ 3 分）（ 2013咸寧）跳遠運動員李剛對訓練效果進行測試， 6 次跳遠的成績如下： 7.6，7.8， 7.7， 7.8， 8.0， 7.9（單位： m）這六次成績的平均數為 7.8，方差為 如果李剛再跳兩次，成績分別為 7.7， 7.9則李剛這 8 次跳遠成績的方差 變大 （填 “變大 ”、 “不變 ”或 “變小 ”） 考點 ： 方差 分析： 根據平均數的定義先求 出這組數據的平均數，再根據方差公式求出這組數據的方差，然后進行比較即可求出答案 解答： 解： 李剛再跳兩次，成績分別為 7.7， 7.9， 這組數據的平均數是 =7.8， 這 8 次跳遠成績的方差是： S2= （ 7.6 7.8） 2+（ 7.8 7.8） 2+2（ 7.7 7.8） 2+（ 7.8 7.8） 2+（ 8.0 7.8） 2+2（ 7.9 7.8） 2= ， ， 方差變大； 故答案為：變大 點評： 本題考查方差的定義，一般地設 n 個數據， x1， x2， xn 的平均數為，則方差 S2= （ x1）2+（ x2） 2+（ xn） 2，它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立 15（ 3 分）（ 2013咸寧）如圖，在 Rt AOB 中， OA=OB=3 ， O 的半徑為 1，點 P 是AB邊上的動點，過點 P作 O的一條切線 PQ（點 Q為切點），則切線 PQ的最小值為 2 考點 ： 切線的性質；等腰直角三角形 分析： 首先連接 OP、 OQ，根據勾股定理知 PQ2=OP2 OQ2，可得當 OP AB 時，線段 OP 最短，即線段 PQ 最短，然后由勾股定理即可求得答案 解答： 解：連接 OP、 OQ PQ 是 O 的切線， OQ PQ； 根據勾股定理知 PQ2=OP2 OQ2， 當 PO AB 時，線段 PQ 最短， 在 Rt AOB 中， OA=OB=3 ， AB= OA=6， OP= =3， PQ= = =2 故答案為： 2 點評： 本題考查了切線的性質、等腰直角三角形的性質以及勾股定理此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當 PO AB 時，線段 PQ 最短是關鍵 16（ 3 分）（ 2013咸寧） “龜兔首次賽跑 ”之后，輸了比賽的兔子沒有氣餒，總結反思后，和烏龜約定再賽一場圖中的函數圖 象刻畫了 “龜兔再次賽跑 ”的故事（ x 表示烏龜從起點出發所行的時間， y1 表示烏龜所行的路程， y2 表示兔子所行的路程）有下列說法： “龜兔再次賽跑 ”的路程為 1000 米； 兔子和烏龜同時從起點出發； 烏龜在途中休息了 10 分鐘； 兔子在途中 750 米處追上烏龜 其中正確的說法是 （把你認為正確說法的序號都填上） 考點 ： 函數的圖象 分析： 結合函數圖象及選項說法進行判斷即可 解答： 解：根據圖象可知： 龜兔再次賽跑的路程為 1000 米，故 正確； 兔子在烏龜跑了 40 分鐘之后開始跑，故 錯誤； 烏龜在 30 40 分鐘時的路程為 0，故這 10 分鐘烏龜沒有跑在休息，故 正確； y1=20x 200（ 40x60）， y2=100x 4000（ 40x50），當 y1=y2 時，兔子追上烏龜， 此時 20x 200=100x 4000， 解得： x=47.5， y1=y2=750 米，即兔子在途中 750 米處追上烏龜，故 正確 綜上可得 正確 故答案為： 點評： 本題考查了函數的圖象，讀函數的圖象時首先要理解橫縱坐標表示的含義，理解問題敘述的過程，有一定難度 三、解答題（共 8 小題， 滿分 72 分） 17（ 10 分）（ 2013咸寧）（ 1）計算： +|2 |（ 12） 1 （ 2）解不等式組： 考點 ： 解一元一次不等式組；實數的運算；負整數指數冪 分析： （ 1）此題涉及到二次根式的化簡、絕對值、負整數指數冪，根據各知識點計算后，再計算有理數的加減即可； （ 2）分別計算出兩個不等式的解集，再根據大小小大中間找確定不等式組的解集即可 解答： 解：（ 1）原式 =2 +2 2= （ 2）解不等式 x+63x+4，得； x1 解 不等式 x 1，得： x 4 原不等式組的解集為： 1x 4 點評： 此題主要考查了二次根式的化簡、絕對值、負整數指數冪，以及解一元一次不等式組，關鍵是掌握解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到 18（ 7 分）（ 2013咸寧）在咸寧創建 ”國家衛生城市 “的活動中，市園林公司加大了對市區主干道兩旁植 “景觀樹 ”的力度，平均每天比原計劃多植 5 棵，現在植 60 棵所需的時間與原計劃植 45 棵所需的時間相同，問現在平均每天植多少棵樹？ 考點 ： 分式方程的應用 分析： 設現在平均每 天植樹 x 棵，則原計劃平均每天植樹（ x 5）棵根據現在植 60 棵所需的時間與原計劃植 45 棵所需的時間相同建立方程求出其解即可 解答： 解：設現在平均每天植樹 x 棵，則原計劃平均每天植樹（ x 5）棵依題意得： ， 解得： x=20， 經檢驗， x=20 是方程的解，且符合題意 答：現在平均每天植樹 20 棵 點評： 本題是一道工程問題的運用題，考查了工作總量 工作效率 =工作時間的運用，列分式方程解實際問題的運用，解答時根據植 60 棵所需的時間與原計劃植 45 棵所需的時間相同建立方程是關鍵 19（ 8 分）（ 2013咸寧）如圖，在平面直角坐標系中，直線 y=2x+b（ b 0）與坐標軸交于A， B 兩點，與雙曲線 y=（ x 0）交于 D 點，過點 D 作 DC x 軸，垂足為 G，連接 OD已知 AOB ACD （ 1）如果 b= 2，求 k 的值； （ 2）試探究 k 與 b 的數量關系，并寫出直線 OD 的解析式 考點 ： 反比例函數綜合題 分析： （ 1）首先求出直線 y=2x 2 與坐標軸交點的坐標，然后由 AOB ACD 得到 CD=DB，AO=AC，即可求出 D 坐標，由點 D 在雙曲線 y=（ x 0）的圖象上求出 k 的值； （ 2）首先直線 y=2x+b 與坐標軸交點的坐標為 A（， 0）， B（ 0， b），再根據 AOB ACD得到 CD=DB， AO=AC，即可求出 D 坐標，把 D 點坐標代入反比例函數解析式求出 k 和b 之間的關系，進而也可以求出直線 OD 的解析式 解答： 解：（ 1）當 b= 2 時， 直線 y=2x 2 與坐標軸交點的坐標為 A（ 1， 0）， B（ 0， 2） AOB ACD， CD=DB， AO=AC， 點 D 的坐標為（ 2， 2） 點 D 在雙曲線 y=（ x 0）的圖象上， k=22=4 （ 2）直線 y=2x+b 與坐標軸交點的坐標為 A（， 0）， B（ 0， b） AOB ACD， CD=OB， AO=AC， 點 D 的坐標為（ b， b） 點 D 在雙曲線 y=（ x 0）的圖象上， k=（ b） （ b） =b2 即 k 與 b 的數量關系為： k=b2 直線 OD 的解析式為： y=x 點評： 本題主要考查反比例函數的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質以及反比例函數圖象的特征，此題難度不大，是一道不錯的中考試題 20（ 8 分）（ 2013咸寧）如圖， ABC 內接于 O， OC 和 AB 相交于點 E，點 D 在 OC 的延長線上，且 B= D= BAC=30 （ 1）試判斷直線 AD 與 O 的位置關系，并說明理由； （ 2） AB=6 ，求 O 的半徑 考點 ： 切線的判定；解直角三角形 分析： （ 1）連接 OA，求出 AOC=2 B=60，根據三角形內角和定理求出 OAD，根據切線判定推出即可； （ 2）求出 AEC=90，根據垂徑定理求出 AE，根據銳角三角函數的定義即可求出 AC，根據等邊三角形的性質推出即可 解答： 解：（ 1）直線 AD 與 O 相切理由如下： 如圖，連接 OA B=30， AOC=2 B=60， OAD=180 AOD D=90， 即 OA AD， OA 為半徑， AD 是 O 的切線 （ 2） OA=OC， AOC=60， ACO 是等邊三角形， ACO=60， AC=OA， AEC=180 EAC ACE=90， OC AB， 又 OC 是 O 的半徑， AE=AB= 6 =3 ， 在 Rt ACE 中， sin ACE= =sin 60， AC=6， O 的半徑為 6 點評： 本題考查了切線的判定，含 30 度角的直角三角形，銳角三角函數的定義，等邊三角形的性質和判定的應 用，主要考查了學生綜合運用性質進行推理的能力 21（ 8 分）（ 2013咸寧）在對全市初中生進行的體質健康測試中，青少年體質研究中心隨機抽取的 10 名學生的坐位體前屈的成績（單位：厘米）如下： 11.2， 10.5， 11.4， 10.2， 11.4， 11.4， 11.2， 9.5， 12.0， 10.2 （ 1）通過計算，樣本數據（ 10 名學生的成績）的平均數是 10.9，中位數是 11.2 ，眾數是 11.4 ； （ 2）一個學生的成績是 11.3 厘米，你認為他的成績如何？說明理由； （ 3）研究中心確定了一個標準成績，等于 或大于這個成績的學生該項素質被評定為 “優秀 ”等級，如果全市有一半左右的學生能夠達到 “優秀 ”等級，你認為標準成績定為多少？說明理由 考點 ： 用樣本估計總體；加權平均數；中位數；眾數 分析： （ 1）利用中位數、眾數的定義進行解答即可； （ 2）將其成績與中位數比較即可得到答案； （ 3）用中位數作為一個標準即可衡量是否有一半學生達到優秀等級 解答： 解：（ 1）中位數是 11.2，眾數是 11.4 （ 2）方法 1：根據（ 1）中得到的樣本數據的結論，可以估計，在這次坐位體前屈的成績測試中，全市大約有一半學生的 成績大于 11.2 厘米，有一半學生的成績小于 11.2 厘米，這位學生的成績是 11.3 厘米，大于中位數 11.2 厘米，可以推測他的成績比一半以上學生的成績好（ 5 分） 方法 2：根據（ 1）中得到的樣本數據的結論，可以估計，在這次坐位體前屈的成績測試中，全市學生的平均成績是 10.9 厘米，這位學生的成績是 11.3 厘米，大于平均成績 10.9厘米，可以推測他的成績比全市學生的平均成績好（ 5 分） （ 3）如果全市有一半左右的學生評定為 “優秀 ”等級，標準成績應定為 11.2 厘米（中位數）因為從樣本情況看，成績在 11.2 厘米以上 （含 11.2 厘米）的學生占總人數的一半左右可以估計，如果標準成績定為 11.2 厘米，全市將有一半左右的學生能夠評定為 “優秀 ”等級（ 8 分） 點評： 本題考查了加權平均數、中位數及眾數的定義，屬于統計中的基本題型，需重點掌握 22（ 9 分）（ 2013咸寧）為鼓勵大學畢業生自主創業，某市政府出臺了相關政策：由政府協調，本市企業按成本價提供產品給大學畢業生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔李明按照相關政策投資銷售本市生產的一種新型節能燈已知這種節能燈的成本價為每件 10 元，出廠價為每件 12 元， 每月銷售量 y（件）與銷售單價 x（元）之間的關系近似滿足一次函數： y= 10x+500 （ 1）李明在開始創業的第一個月將銷售單價定為 20 元，那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元？ （ 2）設李明獲得的利潤為 w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？ （ 3）物價部門規定，這種節能燈的銷售單價不得高于 25 元如果李明想要每月獲得的利潤不低于 300 元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？ 考點 ： 二次函數的應用 分析： （ 1）把 x=20 代入 y= 10x+500 求出銷售的件數，然后求出政府承擔的 成本價與出廠價之間的差價； （ 2）由利潤 =銷售價成本價，得 w=（ x 10）（ 10x+500），把函數轉化成頂點坐標式，根據二次函數的性質求出最大利潤； （ 3）令 10x2+600x 5000=3000，求出 x 的值，結合圖象求出利潤的范圍，然后設設政府每個月為他承擔的總差價為 p 元，根據一次函數的性質求出總差價的最小值 解答： 解：（ 1）當 x=20 時， y= 10x+500= 1020+500=300， 300（ 12 10） =3002=600， 即政府這個月為他承擔的總差價為 600 元 （ 2）依題 意得， w=（ x 10）（ 10x+500） = 10x2+600x 5000 = 10（ x 30） 2+4000 a= 10 0， 當 x=30 時， w 有最大值 4000 即當銷售單價定為 30 元時，每月可獲得最大利潤 4000 （ 3）由題意得： 10x2+600x 5000=3000， 解得： x1=20， x2=40 a= 10 0，拋物線開口向下， 結合圖象可知：當 20x40 時， w3000 又 x25， 當 20x25 時， w3000 設政府每個月為他承擔的總差價為 p 元， p=（ 12 10） （ 10x+500） = 20x+1000 k= 20 0 p 隨 x 的增大而減小， 當 x=25 時， p 有最小值 500 即銷售單價定為 25 元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為 500 元 點評： 本題主要考查了二次函數的應用的知識點，解答本題的關鍵熟練掌握二次函數的性質以及二次函數最大值的求解，此題難度不大 23（ 10 分）（ 2013咸寧）閱讀理解： 如圖 1，在四邊形 ABCD 的邊 AB 上任取一點 E（點 E 不與點 A、點 B 重合），分別連接 ED，EC，可以把四邊形 ABCD 分成三個三角形， 如果其中有兩個三角形相似，我們就把 E 叫做四邊形 ABCD的邊 AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把 E叫做四邊形 ABCD的邊 AB 上的強相似點解決問題： （ 1）如圖 1， A= B= DEC=55，試判斷點 E 是否是四邊形 ABCD 的邊 AB 上的相似點，并說明理由； （ 2）如圖 2，在矩形 ABCD 中， AB=5， BC=2，且 A， B， C， D 四點均在正方形網格（網格中每個小正方形的邊長為 1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖 2 中畫出矩形ABCD 的邊 AB 上的一個強相似點 E； 拓展探究： （ 3）如圖 3，將矩形 ABCD 沿 CM 折疊，使點 D 落在 AB 邊上的點 E 處若點 E 恰好是四邊形 ABCM 的邊 AB 上的一個強相似點，試探究 AB 和 BC 的數量關系 考點 ： 相似形綜合題 分析： （ 1）要證明點 E 是四邊形 ABCD 的 AB 邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明 ADE BEC，所以問題得解 （ 2）根據兩個直角三角形相似得到強相似點的兩種情況即可 （ 3）因為點 E 是梯形 ABCD 的 AB 邊上的一個強相似點，所以就有相似三角形出現，根據相似三角形的對應線段成比例，可以判斷出 AE 和 BE 的數量關系，從而可求出解 解答： 解：（ 1）點 E 是四邊形 ABCD 的邊 AB 上的相似點 理由： A=55， ADE+ DEA=125 DEC=55， BEC+ DEA=125 ADE= BEC（ 2 分） A= B， ADE BEC 點 E 是四邊形 ABCD 的 AB 邊上的相似點 （ 2）作圖如下： （ 3） 點 E 是四邊形 ABCM 的邊 AB 上的一個強相似點， AEM BCE ECM， BCE= ECM= AEM 由折疊可知： ECM DCM， ECM= DCM， CE=CD， BCE= BCD=30， BE=CE=AB 在 Rt BCE 中， tan BCE= =tan30， ， 點評： 本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，梯形的性質以及理解相似點和強相似點的概念等，從而可得到結論 24（ 12 分）（ 2013咸寧）如圖，已知直線 y=x+1 與 x 軸交于點 A，與 y 軸交于點 B，將 AOB繞點 O 順時針旋轉 90后得到 COD （ 1）點 C 的坐標是 （ 0， 3） 線段 AD 的長等于 4 ； （ 2）點 M 在 CD 上，且 CM=OM，拋物線 y=x2+bx+c 經過點 G， M，求拋物線的解析式； （ 3）如果點 E 在 y 軸上，且位于點 C 的下方，點 F 在直線 AC 上，那么在（ 2）中的拋物線上是否存在點 P，使得以 C， E， F， P 為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長 l；若不存在，請說明理由 考點 ： 二次函數綜合題