（第一次） 資料 說明 本 導學用于學員在實際授課 之 前 ，了解授課方向及重難點。 同時 還 附上部分知識點 的詳細解讀。每個班型導學共由 4 次書面資料構成。此次發布的為第一次導學，后面的第二次導學 ， 將于 2013 年 12 月 5 日發布。在 2013 年 12 月 20 日，公司 還 會發布 相應班型的詳細授課大綱，敬請關注。 2014 年寒假物理競賽 集訓二 導學 知識框架 . 3 重點難點 . 4 知識梳理 . 5 一、 運動學 . 5 1. 運動的合成與分解 . 5 2. 相對運動 . 5 3. 直線運動 . 5 4. 曲線運動 . 5 5. 剛體平動 . 7 6. 剛體繞定軸轉動 . 7 7. 微元法 . 7 8. 等效法 . 7 二、 靜力學 . 8 1. 力的種類與特性 . 8 2. 力的合成與分解 . 8 清北學堂集中 培訓課程 導學資料 （ 2014 年寒假集中培訓 課程 使用 ） 清北學堂 3. 共點力平衡 . 8 4. 一般平衡 . 8 5. 液體壓強與浮力 . 9 6. 液體表面張力 . 9 7. 虛功原理 . 9 8. 摩擦角 . 9 例題選講 . 10 鞏固習題 運動學 . 14 鞏固練習 靜力學 . 16 參考答案 運動學 . 19 參考答案 靜力學 . 21 清北學堂 知識框架 運動學 質點（組）運動學 運動的合成與分解 相對運動 直線運動 曲線運動 剛體運動學 剛體平動 剛體繞定軸轉動 運動學經典方法 微元法 等效法 靜力學 靜力學基礎 力的種類與特性 力的合成與分解 平衡 共點力平衡 一般平衡 流體靜力學 液體壓強與浮力 液體表面張力 靜力學經典方法 虛功原理 摩擦角 清北學堂 重點難點 質點（組）運動學中理論部分內容多為高考物理考綱范圍內容，在競賽中非常基本，因此需要熟練掌握。雖然該部分難點較少，但需要靈活使用多種解題技巧。 對曲線運動的一般描述引入曲率半徑概念，在解題中有時會用到，需要掌握。 剛體運動學部分在高考物理中涉及較少，接受上存在一定難度。 在求解運動學問題時常使用的幾種方法在運動學部分應作為重點及難點掌握。 靜力學中的平衡問題在競賽中屬重點，對物體的平衡分析也是競賽中靜力學的難點。 在求解靜力學問題時常使用的幾種方法在靜力學部分也應作為重點及難點掌握。 清北學堂 知識梳理 一、 運動學 1. 運動的合成與分解 運動的合成包括位移、 速度 和 加速度 的合成，遵守矢量合成法則 平行四邊形法則。 在進行速度分解時，應根據 實際的運動效果 選擇將速度分解為何種方向的分量。 2. 相對運動 我們一般把質點對地或對地面上靜止物體的運動稱為絕對運動，質點對運動參照系的運動稱相對運動，而運動參照系對地的運動稱牽連運動。以速度為例這三種速度分別稱 絕對速度 、 相對速度 、 牽連速度 ，且有 牽連相對絕對 vvv 。 3. 直線運動 （ 1） 勻速直線運動 vts 常數v 0a （ 2） 勻變速直線運動 1) 勻變速直線運動的一般規律 atvvt 0 20 21 attvs asvvt 2202 2) 自由落體運動 gtvt 221gts 3) 豎直拋體運動 1 豎直下拋運動的規律：規定 拋出點為原點 ，豎直 向下為正方向 ，公式為 gtvvt 0 20 21 gttvs 2 豎直上拋運動的規律：規定 拋出點為原點 ，豎直 向上為正方向 ，公式為 gtvvt 0 20 21 gttvs 4. 曲線運動 （ 1） 拋體運動 1) 平拋運動 分位移、位移公式： tvx 0 221gty )21()( 22022 gttvyxs 02arctan vgt ， s 為位移， 清北學堂 為位移 s 和 x 軸方向夾角。消去參數 t ，得軌跡方程： 2202 xvgy 分速度、速度公式： 0vvx gtvy 222022 tgvvvv yx 0arctan vgt ， 為速度 v 與 x 軸方向夾角。 加速度： 0xa gay 在 自然坐標系 中 ，加速度：2220 0c o s tgvgvga n 222022s intgv tgga r 2) 斜拋運動 分速度公式： cos0vvx gtvv y sin0 ， 斜上拋運動 ， 斜下拋運動 。 分位移公式： tvx cos0 20 21s in gttvy ， 斜上拋運動 ， 斜下拋運動 。消去參數 t ，得軌跡方程： 2220 c o s2ta n xvgxy ， 斜上拋運動 ， 斜下拋運動 。 斜上拋運動 的幾個 特征量 ：飛行時間gvT sin2 0 射高gvH 2sin220 射程gvs 2sin20 （ 2） 圓周運動 1) 勻速圓周運動 線速度、角速度的公式和關系為： tsv t rv ， s 為弧長， 為圓心角 切向加速度 0ra ，法向加速度 rrvan 22 ， 指向圓心 。 2) 變速圓周運動 加速度 不指向圓心 ，加速度可分解為 向心 和 切向 兩個分量，即 rn aaa 22 rn aaa nraatan （ 3） 一般曲線運動 每一光滑平面曲線中任何一個 無限小部分 均可屬于某一 圓 ，此圓稱為曲線在該部位的 曲率圓 ，其半徑稱為 曲率半徑 ，常記為 ，運動速度 v 及向心加速度 na 與曲率半徑 間有關清北學堂 系式： 2n va 5. 剛體平動 剛體上 任意一條直線 在各個時刻位置 彼此平行 稱之為剛體的平動。其特點為：剛體上 任意兩點的運動軌跡相似 。因此，剛體的平動可用其內任一質點的運動來代表。其公式同質點（組）運動公式。 6. 剛體繞定軸轉動 剛體繞定軸轉動特點是剛體上的 各點 都在 與轉軸垂直的平面內做圓周運動 ，各點做圓周運動的 半徑可以不相等 ，但各點的 轉過的角度都相同 。 轉動涉及的運動學變量為 角位移 、角速度 、 角加速度 ： 20 21 ttrs 0rv ra )(2 0202 7. 微元法 微元法本質上是 從部分 出發 求解整體 的思維方式。即將復雜問題分解為 無限小 的 “微元體” 或 “元過程” ，在這樣的“微元體”或“元過程”上可使用較簡單的物理規律，而每一“微元體”或“元過程”上 遵從 相同 的物理 規律 ，通過一定的數學或物理方法將“微元體”或“元過程” 疊加合成 為待求解問題的解。 由于 分解的微元無限小 ，因而在“微元體”或“元過程”中 變化的量可以視為常數 ，如勻加速直線運動中的“元過程”可視為勻速直線運動。 8. 等效法 若某物理過程中 一些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同 ，則前一些因素與后一些因素是 等效的 ，可以 互相代替并不影響最后結果 ，這種方法就是等效法。等效思維的實質是在效果相同的情況下，將 較為復雜的實際問題 變換為 簡單的熟悉問題 。 清北學堂 二、 靜力學 1. 力的種類與特性 （ 1） 重力 重力是由 地球引力 引起的，實際上 除了地球兩極 ，萬有引力有兩個分量， 一個提供物體隨地球自轉的向心力 ， 另一個為重力 ，方向并不是豎直向下。但通常計算中認為重力方向豎直向下 ，作用在物體 重心 上。重力為 非接觸力 。 （ 2） 彈力 彈力由 形變 引起，為 接觸力 。產生必要條件為 相互接觸且有形變 。 1) 輕繩、輕桿、輕彈簧 輕繩 受力， 只能產生 拉力 ，方向 沿繩子且指向繩子收縮的方向 。 輕桿 受力，有 拉伸 、 壓縮 、 彎曲 、 扭轉 形變，與之對應，桿的彈力 方向具有多向性 。 輕彈簧 受力，有 壓縮 和 拉伸 形變，能產生 拉力 和 壓力 ，方向 沿彈簧的軸線方向 。 2) 面與面、點與面接觸 面與面、點與面接觸時，彈力方向 垂直于面 （若是曲面則 垂直于切面 ）， 指向受力物體 。 判斷形變的存在至關重要，對于不能明確是否產生形變的，可采用 假設法 判斷物體間是否具有 相對運動趨勢 或 相對運動 。它們的大小，可通過 牛頓定律 和 力平衡條件 來確定。 （ 3） 摩擦力 摩擦力由 相對運動趨勢 或 相對運動 產生，為 接觸力 。產生必要條件為 有相互作用彈力及相對運動趨勢或相對運動 。 滑動摩擦力 Nf ， 為滑動摩擦系數。靜摩擦力 sms ff 0 ， Nfsm 0 為最大靜摩擦力， 0 為靜摩擦系數。實際上 0 ，但一般認為 0 。 摩擦力可以通過判斷相對運動或相對運動趨勢確定存在，有時也需要通過 假設法 判斷。 2. 力的合成與分解 力的合成與分解遵循平行四邊形法則。 力的分解可根據其 作用效果 分解為兩個或多個 效果單一 的力。 3. 共點力平衡 共點力平衡條件為 合力為零 ，即 0i iF ，分量形式為 0i ixF ， 0i iyF 。 物體受三個 不平行 的力作用平衡時，三力必為共點力。 4. 一般平衡 （ 1） 物體受力平衡的一般條件 物體一般的受力平衡條件為 合力為零且合力矩為零 ，即 0i iF ， 0i iM 。合力矩為零的含義是對 任意轉軸（支點） 合力矩為零。 （ 2） 平衡分類 物體的平衡可分為 穩定平衡 、 不穩定平衡 和 隨遇平衡 三類。 穩定平衡：當物體 稍稍偏離 平衡位置時，有力或力矩使其回到平衡位置。 不穩定平衡：當物體 稍稍偏離 平衡位置時，有力或力矩使其偏離繼續增 大。 隨遇平衡：當物體偏離平衡位置時，它所受的力或力矩不發生變化，能在新的位置上再次平衡。 清北學堂 平衡類型的判斷方法有 受力（力矩）分析法 、 重心升降法 和 支面判斷法 。 受力（力矩）分析法：偏離平衡位置時，所受外力指向平衡位置，穩定平衡；外力背離平衡位置，不穩定平衡；外力為零，隨遇平衡。 重心升降法：偏離平衡位置時，重心升高，穩定平衡；重心降低，不穩定平衡；重心高度不變，隨遇平衡。 支面判斷法：有支面物體平衡時 重力作用線過支面 。偏離平衡位置時，重力作用線仍過支面，穩定平衡；重力作用線不過支面，不穩定平衡。 5. 液體壓強與浮力 靜止液體的壓強與 液體密度和深度成正比 ，即 ghP ， 為液體密度， h 為深度。 浸在靜止液體中物體受到液體對它各個方向總壓力的 合力 ，其大小就等于被物體所 排開的液體受的重力 。 gVF ，式中 V 為物體浸沒在液體部分的體積， 為液體密度。浮力的方向是 豎直向上 的，浮力的大小 與物體的重量無關 ， 與物體在液體中 深度無關 。 6. 液體表面張力 液體與其他相物體 交界面 處會產生表面張力， LF ， 為表面張力系數， L 為交界面長度。表面張力 垂直于交界面 。 7. 虛功原理 假設平衡物體偏離平衡位置移動 無限小位移 ，該過程中物體所受作用力對其做功，虛功原理得到的結論是 外力做功代數和為零 ，即 0i ii sF。 8. 摩擦角 設靜摩擦力因數為 s ，則摩擦角定義為 s arctan 。 摩擦角 幾何意義 ：最大靜摩擦力 smf 與支持力 N 的合力 mR 與接觸面法線間的夾角。 全反力 ：物體受到的摩擦力 f 與支持力 N 的合力 R 叫 支持面對物體 的全反力。當 R 與法線夾角 時，靜摩擦力不超過最大靜摩擦力。因此在 的范圍內斜向下推物體，無論力多大物體都不會滑動，這就是 “自鎖現象” 。 清北學堂 例題選講 例 1. 一只兔子沿直線以恒定速度sm5u 奔跑。某時一只狐貍發現了這只兔子，便以恒定的速度 sm4v 開始 追它。狐貍奔跑時速度方向始終對準兔子。開始時兩者距離減小。 后又不斷增大。已知最近距離為m30L ，求兩者距離最近時，狐貍的加速度。 解： 當狐貍與兔子相距最近時，以兔子為參考系的狐貍相對速度 v 方向與二者連線垂直，由相對運動原理，有 uvv ，矢量關系如圖所示。 當兔子經時間 t 從 AA 時，狐貍從 BB ，有 tuAA ，而 tvBB c o sc o sB B v vu l l u lAA 狐貍軌跡該處（與兔子最近距離）的曲率半徑 lvv ，而 22 vuv ，所以狐貍此時的加速度 2222 sm4.0l vuvlvvva 。 簡析： 本題使用“微元思想”結合曲線運動中“曲率半徑”概念，取最近距離附近的微小運動進行分析，解決了難以整體計算運動過程的問題。此類解題思路及方法值得學習和借鑒。 例 2. 一只螞蟻從螞蟻洞沿直線爬出，已知爬出速度 v 的大小與距螞蟻洞中心的距離 L成反比，當螞蟻到達距螞蟻洞中心的距離 m11L 的 A 點時，速度大小為 scm201 v ，問當螞蟻到達距螞蟻洞中心的距離 m22L 的 B 點時，其速度大小為 2v 是多少？ 螞蟻從 A 點到達 B 點所用的時間 t 是多少？ 解： 由已知可得 螞蟻在距離洞中心上 L 處的速度 v 為 Lkv 1 ，代入已知得： sm2.0sm12.0 22 vLk ，所以當 m22L 時，其速度 sm1.02 v 。 由速度的定義得：螞蟻從 L 到 LL 所 需時間 t 為 LLkvLt 1 （ 1） 類比初速度為零的勻加速直線運動的兩個基本公式 atv tvs 在 t 到 tt 時刻所經位移 s 為 ttas （ 2） 比較 （ 1） 、 （ 2） 兩式可以看出兩式的表述形式相同。 據此可得螞蟻問題中的參量 t 和 L 分別類比為初速度為零的勻加速直線運動中的 s 和 t ，清北學堂 而 k1 相當于加速度 a 。 于是，類比 221ats 可得：在此螞蟻問題中 2121 Lkt 令 1t 對應 1L ， 2t 對應 2L ，則所求時間為2222112121LktLkt 代入已知可得從 A 到 B 所用時間為： s75)(21 212212 LLkttt 。 簡析： 本題實質上是一道微積分的計算題，如果掌握一定的微積分知識，本題求解會十分容易。在物理競賽中有許多題目使用微積分方法進行計算能起到另辟蹊徑的作用。 例 3. 炮彈從具有傾角為 的平斜頂的掩蔽所下向外發射，炮位與斜頂的頂點 A 相距為 d，炮彈發射的初速度為 0v ，求炮彈能發射的最遠距離。 解： 以炮位為坐標原點，平行和垂直于斜頂分別為 x 和 y 軸 ， 炮 彈 運 動 的 加 速 度cosxag sinyag 。在此坐標系中，斜頂的 y 坐標 siny h d 。 若要 炮彈射程最遠，則炮彈軌道要與斜頂相切，應滿足 220 si n ( )si n2 c osvhd g ，即 220 s in ( ) s in 2v g d 若 20 sin 2v gd ，則軌道不可能與斜頂相切，最大射程只需取 4 ，最大射程 20max vL g。 若 20 sinv gd ，則軌道要與斜頂相切，應取 10sin 2sin gd v 。 （ i） 若 4 ，即 2020 sin 22vv gd ，此時最大射程只需應取 4 ，最大射程20max vL g。 （ ii） 若 4 ，即 2020 sin 22vv gd ，此時最大射程需使炮彈軌道與斜頂相切，即應取 10s in 2s in gd v ，此時最大射程為 清北學堂 22 100m a x 0sin 2sin 2 sin 2 ( sin )gdvvL g g v 簡析： 本題需根據炮彈軌道特性建立合適的坐標系，使計算化簡。若建立水平豎直坐標系則本題計算繁瑣求解困難。 例 4. 兩個質量分布均勻的球，半徑為 r ，重為 P ，置于兩端開口的圓筒內，圓筒半徑為 R （ rRr 2 ） ， 并豎直放在水平面上（如圖 1）。設所有接觸面均光滑，為使圓筒不致于傾倒，圓筒的最小重量 Q 為多少 ？ 如果換成有底的圓筒，情況又如何？ 解： 球 2Q 受力如圖 2，由共點力平衡條件得 22 )22()2(22c o t rRr rRPPN 球 1Q 受到向右的支持力 NN ，兩力構成力偶， 對圓筒 有 22 )22()2( rRrNQR ，可得 PR rRQ )(2 若 換成 有底 的筒 ，則不會翻。 簡析 ： 本題 受力分析中使用到了力偶的概念。 等大、反向不在一直線上的兩個力 構成力偶 ，力偶矩 為力與力偶臂（兩平行力之間的距離）的乘積，因而 力偶矩與轉軸的具體位置無關 。 例 5. 如圖所示，一個半徑為 R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其 A 端固定在球面的頂點， B 端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長度的質量為 .試求鐵鏈 A 端受的拉力 T 。 解： 設 A 點受到水平拉力的作用下移動一小段距離為 l 則 拉力做功 lTW 。拉動的圖 1 圖 2 清北學堂 效果可看做 B 端 長為 l 的鐵鏈被搬到了 A 端， 重力 做功 gRlW )( 。由虛功原理可知，外力做功代數和為零，即 ： gRllT )( ， 易得 gRT 。 簡析： 本題使用虛功原理求解 A 點所受拉力，過程非常簡潔，若使用其他方法則求解過程均十分繁瑣。虛功原理在靜力學求解受力時非常有用，需要熟練掌握。 清北學堂 鞏固習題 運動學 1.有兩個斜拋物體從地面拋出，他們的初速度大小相同，方向斜向上，與水平地面所成的角度分別為 45 和 45 ，在空氣阻力可以忽略不計的情況下，他們的水平射程之比是（ ） A ( c o s sin ) : ( c o s sin ) B. ( c o s sin ) : ( c o s sin ) C 1: 1 D. sin2 :cos2 2.一塊足夠長的白板，位于水平桌面上，處于靜止狀態一石墨塊（可視為質點）靜止在白板上石墨塊與白板間有摩擦，滑動摩擦系數為 突然，使白板以恒定的速度 v0 做勻速直線運動，石墨塊將在板上劃下黑色痕跡經過某一時間 t，令白板突然停下，以后不再運動在最后石墨塊也不再運動時，白板上黑色痕跡的長度可能是（已知重力加速度為 g，不計石墨與板摩擦劃痕過程中損失的質量）（ ） A B C D 3.若質點作直線運動的速度 v 隨時間 t 變化的圖線如圖 2-31 所示，則該質點的位移 s（從 t=0 開始）隨時間 t 變化的圖線可能是圖 2-32 中的哪一個？（ ） 4歷史上有些科學家曾把在相等位移內速度變化相等的單向直線運動稱為 “勻變速直線運動 ”（現稱 “另類勻變速直線運動 ”）， “另類加速度 ”定義為 A（ vt v0） /s，其中 v0 和 vt 分別表示某段位移 s 內的初速和末速。 A 0 表示物體做加速運動， A 0 表示物體做減速運動。而現在物理學中加速度的定義式為 a（ vt v0） /t，下列說法正確的是（ ） A若 A 不變，則 a 也不變 B若 A 0 且保持不變，則 a 逐漸變大 C若 A 不變，則物體在中間位置處的速度為（ vt v0） /2 D若 A 不變，則物體在中間位置處的速度為 （ vt2 v02） /2 5第一次從高為 h 處水平拋出一個球 ,其水平射程為 s，第二次用跟第一次相同的速度從另一處水平拋出另一小球，水平射程比前一次多了 s，不計空氣阻力，則第二次拋出點的高度為 _ 。 202vg 0vt 20 12v t gt 20vg圖 2 圖 3 清北學堂 6物體 A 以初速度 1v 豎直向上拋出，經過時間 T 后，物體 B 在同一地點以初速度 2v 豎直向上拋出 .若 21 vv ，則欲使兩物體盡早相遇（從物體 A 拋出時算起）， T 的取值為 _，相遇點離地面的高度為 _。 7. 老鼠離開洞穴沿直線前進，它的速度與到洞穴的距離成反比 .當它進行到洞穴距離為 1d 的甲處時，速度為 1v ，則它進行到離洞穴距離為 2d 的乙處時的速度為 _，老鼠從甲到乙用去的時間為 _。 8以初速度 0v ，拋射角為 斜向上拋出一小球，小球將沿一拋物線運動。如有一小飛蟲也沿此拋物線以恒定的速率 0v 勻速飛行，求當他飛到最大高度一半處時的加速度。 9. 一只蝸牛從地面開始沿豎直電桿上爬，它上爬的速度 v 與它離地面的高度 h 之間滿足關系式 v hllv0 ，其中常數 l 20cm， 0v 2cm/s。求它上爬 20cm 所用的時間。 10.一飛機相對于空氣以恒定速率 v 沿正方形軌道飛行，在無風天氣其運動周期為 T若有恒定小風沿平行于正方形的一對邊吹來，風速為 )1( kkV v 求飛機仍沿原正方形（對地）軌道飛行時周期要增加多少 11. 如圖所示， M 是水平放置的半徑足夠大的圓盤，繞過其圓心的豎直軸 勻速轉動，以經過 O 水平向右的方向作為 x 軸的正方向。在圓心 O 正上方距盤面高為 h 處有一個正在間斷滴水的容器，在 t 0 時刻開始隨傳送帶沿與 x 軸平行的方向做勻速直線運動，速度大小為 v。已知容器在 t 0 時滴下第一滴水，以后每當前一滴水剛好落到盤面上時再滴一滴水。問： （ 1）每一滴水經多長時間滴落到盤面上？ （ 2）要使每一滴水在盤面上的落點都位于一條直線上，圓盤轉動的最小角速度 。 （ 3）第二滴水與第三滴水在盤面上的落點間的最大距離 s。 OOh O v x M O 清北學堂 鞏固練習 靜力學 1.如圖所示，光滑半球形容器固定在水平面上， O 為球心，一質量為 m 的小滑塊，在水平力F 的作用下靜止 P 點。設滑塊所受支持力為 FN。 OF 與水平方向的夾角為 0。下列關系正確的是（ ） A tanmgF B. tanF mg C. tanN mgF D. tanNF mg 2.如圖所示， 型均勻桿總長為 3L，在豎直平面內可繞水平軸 O 轉動，若在桿的右端 A 點加一方向豎直向下的力 F，使桿順時針緩慢轉動，在 AB 桿由水平轉過090的過程中，以下說法中正確的是（ ） A. 力 F 不變 B. 力 F 變大 C. 力 F 的力矩變小 D. 力 F 的力矩先變大后變小 3. 如圖所示，均勻的直角三角板 ABC 重為 20N，在 C 點有固定的轉動軸， A 點用豎直的線AD 拉住，當 BC 處于水平平衡位置時 AD 線上的拉力大小為 F。后將一塊凹槽口朝下、重為 4N 的木塊卡在斜邊 AC 上，木塊恰能沿斜邊 AC 勻速下滑，當木塊經過 AC 的中點時細線的拉力大小變為 F，則下述正確的是（ ） A F=10N B. F10N C. F=2N D. F=4N 4如圖所示，質量不計的桿 O1B 和 O2A 長度均為 L， O1 和 O2 為光滑固定轉軸， A 處有一凸起物擱在 O1B 的中點， B 處用繩系在 O2A 的中點，此時兩短桿便組成一根長桿，今在 O1B桿的 C點（ C為 AB的中點）懸掛一重量為 G的物體，則 A處受到的支撐力大小為 _，B 處繩的拉力大小為 _. C A D B 清北學堂 5如圖所示，質量為 m 的小球放在傾角為 的光滑斜面上，小球被與水平成 角的細線系住，斜面體位于光滑水平面上，用水平力 F 緩慢地向左推物體， 角將減小，當 =_時細線拉力最小，此時 F=_。 6、如圖所示，把三條質量均為 M、長度均為 L 的均勻薄鐵皮一端擱在碗口上的三等分的點，另一端擱在其他鐵皮的中點，保持平衡 .此時，碗口對每條鐵片的的彈力大小為 _，兩鐵皮間的相互作用的彈力大小為 _. 7.兩根等長的細線，一端拴在同一懸點 O 上，另一端各系一個小球，兩球的質量分別為 m1和 m2 ，已知兩球間存在大小相等、方向相反的斥力而使兩線張開一定角度，分別為 45和30，如圖所示。則 m1 : m2為多少？ 8.底邊為 a ，高度為 b 的勻質長方體物塊置于斜面上，斜面和物塊之間的靜摩擦因數為 ，斜面的傾角為 ，當 較小時，物塊靜止于斜面上，如果逐漸增大 ，當 達到某個臨界值0 時，物塊將開始滑動或翻倒。試分別求出發生滑動和翻倒時的 ，并說明在什么條件下出現的是滑動情況，在什么條件下出現的是翻倒情況。 a b F清北學堂 9.如圖所示， 兩本書 A 和 B，逐頁交叉后疊放在一起，平放在光滑的水平桌面上。設書的每張紙質量為 5g，每本書均為 200 張紙，紙與紙之間的動摩擦因數 =0.3。問至少需用多大的水平力，才能將它命拉開？ （取 210 /g m s ） 10如圖所示，整個裝置處于靜止狀態， PQ 為水平放置的光滑細長桿，質量均為 m 的兩小球 A、 B 穿于其上 .兩球用長度均為 L 的輕線結于 O 點，A、 B 球間桿上有一勁度系數為 K 的被壓縮的輕彈簧（在彈性限度內），這時彈簧的長度也為L.E 為質量不計的光滑定滑輪，質量為 m/2 的 C 球用輕繩跨過定滑輪與置于水平地面上質量為 2m 的 D 球相連，求彈簧的原長？ A B 清北學堂 參考答案 運動學 1.C 2.AC 3.B 4.BC 5. h(s+ s)2/s2 6. )2/(,/)( 22222121 gvgvvvv 7. 1212 vddv ， )11(2 1221 vvddt 8 解析：此拋物線的最大高度 2 2 2 200si n si n2 2 4vv HHhgg 小球在此高度（ h）處時， y 方向的速度 2200 2s in 2 s in2yv v g h v 此處軌道的切線方向與水平方向的夾角為 2ta n ta n2yxvv 小球的法向加速度 222 c o sc o s c o s 1 c o sn va 而 2 2 2 2 2 2 2 200 11c os si n 1 c os22xyv v v v v 軌道此處的曲率半徑 33222 2222 1 1 c o s 1 c o s2c o s 2 c o s 2 2 c o so ov vvg gg 故小飛蟲飛到此處的加速度為 2332 2222 2 c o s c o s11 c o s 1 s in2v g ga 9. 解：因蝸牛運動的時間是由每一小段時間 1hthvv 累加而成。即 1thv ，故可作出 1 hv 圖象。利用圖象面積可得時間 t 。由 0lvv lh ，得011(1 )hv v l，故 1 hv 圖象為一條直線，圖像與坐標軸圍成的面積即為所求的時間，即hvlv hvhvvtt )1(121)11(210000 。 代入數據得 15ts 。 清北學堂 10.解：設正方形邊長為 L，則無風時 4/TL v 。 在有風天氣為使飛機仍在正方形軌道上飛行，飛機在每條邊上的航行方向（相對于空氣的速度方向）和飛行時間均須作相應調整，如圖（圖中風速從左向右） 令 L=(v+V ) t1=(v-V ) t2=v t3 其中 v 2+V 2 =v 2 則新的運動周期為 2232122 VvVvVv LLLtttT 222 211211 kkkkkLv 4/3 2