郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 1 頁 1993 年全國碩士研究生入學統一考試年全國碩士研究生入學統一考試 數學試題參考解答及評分標準數學試題參考解答及評分標準 數數 學（試卷一）學（試卷一） 一、填空題：一、填空題：(本題共本題共 5 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 15 分分) (1) 函數 )0() 1 2()( 1 xdt t xF x 的單調減少區間為 1 (0, ) 4 .(答 1 (0, 4 也對) (2) 由曲線 22 3212 0 xy z 繞y軸旋轉一周得到的旋轉面在點（0,2, 3）處的指向外側 的單位法向量為 1 0, 2, 3 5 (3) 設函數 2 ( )f xxxx的傅里葉級數展開式為 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 則其中系數 3 b的值為 3 2 (4) 設數量場 222 lnuxyz，則()div gradu 222 1 xyz (5) 設 n 階矩陣 A 的各行元素之和均為零，且 A 的秩為 n-1，則線性方程組 AX=0 的通解為 1,1,1 T k 二、選擇題：二、選擇題：(本題共本題共 5 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 15 分分) (1) 設 sin 234 0 ( )sin( ) , ( ) x f xt dt g xxx ， 則當 x0 時，( )f x是( )g x的 （B） (A) 等價無窮小 （B）同階但非等價無窮小 （C）高階無窮小 （D）低階無窮小 (2) 雙紐線 22222 )(yxyx所圍成的區域面積可用定積分表示為 （A） (A) 24 0 2cos d (B) 44 0 2cos d (C) 2 d 4 0 2cos (D) 2 1 4 0 2 2cos d (3) 設直線 1 8 2 5 1 1 : 1 zyx l與 32 6 : 2 zy yx l ， 則 1 l與 2 l的夾角為 (C) (A) 6 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 設曲線積分ydyxfydxexf x L cos)(sin)( 與路徑無關，其中( )f x具有一階連續 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 2 頁 導數， 且(0)0f， 則( )f x等于 (B) (A) 2 xx ee (B) 2 xx ee (C) 1 2 xx ee (D) 2 1 xx ee (5) 已知 Q= 963 42 321 t ，P 為三階非零矩陣，且滿足 PQ = 0，則 (C) (A) 6t 時 P 的秩必為 1 (B) 6t 時 P 的秩必為 2 (C) 6t 時 P 的秩必為 1 (D) 6t 時 P 的秩必為 2 三、三、(本題共本題共 3 小題，每小題小題，每小題 5 分，滿分分，滿分 15 分分) (1) 求 21 lim(sincos )x x xx . 解：解：因 0 21ln(sin2cos ) lim ln(sincos )lim xt tt x xxt 2 分 0 2cos2sin lim2 sin2cos t tt tt , 4 分 所以原式 2 e. 5 分 (2) 求 dx e xe x x 1 . 解：解：令 1 x ue ，則 2 2 2 ln(1), 1 u xudxdu u ，從而 22 2 (1)ln(1)2 (1) 1 x x xeuuu dxdu uu e 2 分 2 2 ln(1)u du 2 22 2 4 2 ln(1)2 ln(1)44 1 u uuduuuuarctguC u 4 分 214141 xxx x eearctg eC . 5 分 (3) 求微分方程 22 yxyyx滿足初始條件1 1 x y的特解. 解一解一： 2 2 yxy y x ，令yxu，有 22 ,2xuuuu xuuu. 2 分 分離變量得 2 2 dudx uux ，積分得 1 1ln( 2)ln ln 2 uuxC 即 2 2u Cx u ，亦即 2 2yx Cx y . 4 分 由 1 1 x y 得1C ，故所求特解為 2 2yx x y ，即 2 2 1 x y x . 5 分 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 3 頁 解二解二 2 2 22 111 1,1, xx yzx zxzzz yyyxx 令有, 2 分 解得 3 11 () 2 zxdxCCx xx 4 分 即 2 2 1 2 x y Cx ，由 1 1 x y 得 1 2 C ，故所求特解為 2 2 1 x y x 5 分 四、四、(本題滿分本題滿分 6 分分) 計算 dxdyzyzdzdxxzdydz 2 2 ，其中是由曲面 22 yxz 與 22 2yxz 所圍立體的表面外側. 解：解： 2 2,2 ,2 , PQRPQR Pxz Qyz Rzzzzz xyzxyz 因故. 根據奧-高公式， 2 2xzdydzyzdzdxz dxdyzdxdydz 2 分 22 3 4 000 sincosddr dr 5 分 2 . 6 分 五、五、(本題滿分本題滿分 6 分分) 求級數 0 2 2 11 n n n nn 的和. 解：解： 2 000 ( 1) (1)11 (1)()() 222 n nn n nnn nn n n , 1 分 其中 1 0 2 112 () 213 n n , 2 分 設 2 2 ( )(1),( 1,1) n n S xn nxx ，則 2 00 2 ( ) 1 xx n n x S x dx dxx x 故 2 3 2 ( )() 1(1) x S x xx 2 3 0 2 (1),( 1,1) (1) n n x n nxx x ， 5 分 于是 0 14 (1)() 227 n n n n ， 6 分 2 0 ( 1) (1)4222 227327 n n n nn 所以. 7 分 六、六、(本題共本題共 2 小題，每小題小題，每小題 5 分，滿分分，滿分 10 分分) (1) 設在0,)上函數( )f x有連續導數，且 f (x)0 k，(0)0f，證明( )f x在 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 4 頁 (0,)內有且僅有一個零點 證證：在0,)上，由( )fxk得 00 ( ) xx fx dxkdx ，即( )(0)f xkxf. 11 (0)(0) 0,( )(0)0 ff xf xkf kk 取有 . 2 分 1010 ( )0,(0)0,(0,),()0f xfxxf x因由題設根據零點定理故必存在使. 4 分 又因( )0fxk，故( )f x嚴格單調增加，( )f x在(0,)內有且僅有一個零點5 分 (2) 設bae，證明 ab ba . 證證: 要證 ab ba ，只需證lnln .baab 令( )lnln (),f xxaax xa 2 分 因為( )ln10(), aa fxaxa xx 所以( )f x在xa時單調增加. 3 分 于是，當ba時，( )( )0f bf a，即有lnlnbaab. 5 分 七、七、(本題滿分本題滿分 8 分分) 已知二次型02332),( 32 2 3 2 2 2 1321 axaxxxxxxxf通過正交變換化成標準形 2 3 2 2 2 1 52yyyf，求參數a及所用的正交變換矩陣. 解：解：二次型f的矩陣 200 03 03 a a A， 1 分 特征方程為 22 200 |03(2)(69)0 03 aa a IA， 2 分 由題設，知A的特征值為 123 1,2,5.將1（或5）代入特征方程，得 2 40,2aa . 又0a ，故取2a .這時 200 032 023 A， 當 1 1時， 由()IA x0， 即 1 2 3 100 0220 022 x x x ， 解得對應的特征向量 1 0 1 1 . 當 2 2時，由(2)IA x0，解得對應的特征向量為 2 1 0 0 . 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 5 頁 當 3 5時，由(5)IA x0，解得對應的特征向量為 3 0 1 1 . 7 分 將 123 , 單位化，得 000 123 010 11 1 ,0 ,1 , 22 101 故所用的正交變換矩陣為 010 1/20 1/2 1/20 1/2 T . 8 分 八、八、(本題滿分本題滿分 6 分分) 設 A 是n m矩陣，B 是m n矩陣，其中nm，I 是 n 階單位矩陣.若 AB = I，證明 B 的列向量組線性無關. 證一：證一：設 12 , n B ，其中(1,2, ) i in是B的列向量. 若 1 122 0 nn xxx，即 1 2 12 (,)0 n n x x BX x ， 2 分 兩邊左乘 A，則得0ABX ，即0I X ，亦即0X . 5 分 所以 12 , n 線性無關. 6 分 證二：證二：因為( )r Bn， 1 分 又( )()( )r Br ABr In， 4 分 故( )r Bn. 5 分 所以 12 , n 線性無關. 6 分 九、九、(本題滿分本題滿分 6 分分) 設物體 A 從點(0,1)出發，以速度大小為常數 v 沿 y 軸正向運 動.物體 B 從點（-1，0）與 A 同時出發，其速度大小為 2v，方向 始終指向 A. 試建立物體 B 的運動軌跡所滿足的微分方程，并寫出 初始條件. 解：解：設在時刻t，B 位于點( , )x y處，則 (1)dyyvt dxx ， 2 分 兩邊對x求導得 2 2 ( ) d ydt xv xdx 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 6 頁 由 2 21 () dsdydx v dtdxdt ，得 2 1 1 () 2 dtdy dxvdx ， 代入(*)式得到所求的微分方程為 2 2 2 1 1 ()0 2 d ydy x xdx . 5 分 其初始條件為 11 0, 1 xx yy . 6 分 十、十、填空題填空題 (本題共本題共 2 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 6 分分) (1) 一批產品共有 10 個正品和 2 個次品，任意抽取兩次，每次抽一個，抽出后不放回，則 第二次抽出的是次品的概率為1/6. (2) 設隨機變量X服從(0,2)的均勻分布，則隨機變量 2 YX在（0，4）內概率分布密度 ( ) Y fy 1 4 y 十一、十一、(本題滿分本題滿分 6 分分) 設隨機變量X的概率分布密度為 1 ( ),. 2 x f xex (1)求X的數學期望 EX 和方差 DX； (2)求X與X的協方差;并問X與X是否不相關？ (3)問X與X是否相互獨立？為什么？ 解：解：(1) ( )0EXxf x dx ， 1 分 22 0 ( )02 x DXx f x dxx e dx . 2 分 (2) cov(,|)(|)|( )00XXE XXEX E Xx x f x dx ， 3 分 故X與X不相關. 4 分 (3) 對給定0a ， 顯然|XaXa， 故,|P Xa XaPXa. 又易見1P Xa，|0PXa，所以|P XaPXaPXa， 因此,|P Xa XaP XaPXa，因此 X 與X不獨立. 6 分 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 7 頁 數數 學（試卷二）學（試卷二） 一一 三三、 【 同數學一 第一 三題 】 四、四、(本題共本題共 3 小題，每小題小題，每小題 6 分分，滿分，滿分 18 分分) (1) 設),( 3 x y xyfxz ，f具有連續二階偏導數，求 2 2 , y z y z 及 yx z 2 解解: 42 12 z x fx f y . 2 分 2 53353 11122122111222 2 2 z x fx fx fxfx fx fxf y . 3 分 2 3422 1111222122 42 z x fx yfx yfxfx yfyf x y 34 121122 42x fxfx yfyf . 6 分 (2) 【 同數學一 第四題 】 (3) 已知 3 R的兩個基為 1 1 1 1 ， 1 0 1 2 ， 1 0 1 3 ； 1 2 1 1 ， 4 3 2 2 ， 3 4 3 3 . 求由基 3, 2, 1 到基 3, 2, 1 的過渡矩陣. 解：解：設由基 123 , 到基 123 , 的過渡矩陣為C， 則 1,2,31,2,3 C 1 分 故 1 1,2,31,2,3 C ，其中 1 1 1,2,3 111 100 11 1 010 11 0 22 11 1 22 3 分 于是 234 010 101 C . 5 分 五五九、九、 【 同數學一 第五 九題 】 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 8 頁 數數 學（試卷學（試卷三三） 一、填空題：一、填空題：(本題共本題共 5 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 15 分分) (1) 0lnlim 0 xx x . (2) 函數( )yy x由方程0sin 222 xyeyx x 所確定，則 dx dy = 222 22 2 cos() 2 cos()2 x yexxy yxyxy . (3) 【 同數學一 第一（1）題 】 (4) 2 coscos tgx dxc xx . (5) 已知曲線( )yf x過點 1 (0,) 2 ，且其上任一點( , )x y處的切線斜率為 2 ln(1)xx，則 ( )f x 22 (1)ln(1) 1/2xx. 二、選擇題：二、選擇題：(本題共本題共 5 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 15 分分) (1) 當 x0時， 變量 xx 1 sin 1 2 是 ( D) (A) 無窮小 (B) 無窮大 (C) 有界的，但不是無窮小量 (D) 無界的,但不是無窮大 (2) 設( )f x 1,2 1, 1 1 2 x x x x ，則在點1x 處函數( )f x ( A ) (A) 不連續 (B) 連續，但不可導 (C) 可導，但導數不連續 (D) 可導，且導數連續 (3) 已知( )f x 2 01 112 xx x ， 設 1 ()()02 x Fxftd tx ， 則( )F x為 (D) (A) 21 10 3 1 3 xx xx (B) 21 10 3 1 3 1 3 xx xx (C) 211 10 3 1 3 xx xx (D) 211 10 3 1 3 1 3 xx xx (4) 設常數0k ， 函數k e x xxf)ln()(在 , 0內零點個數為 ( B ) 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 9 頁 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (5) 若( )()f xfx ， 且在, 0內0)( xf,0)( xf,則( )f x在0 ,內 (C) (A) 0)( , 0)( xfxf (B) 0)( , 0)( xfxf (C) 0)( , 0)( xfxf (D) 0)( , 0)( xfxf 三、三、(本題共本題共 5 小題，每小題小題，每小題 5 分，滿分分，滿分 25 分分) (1) 設 2 sin ()yf x，其中f具有二階導數，求 2 2 dx yd . 解：解： 22 2()cos () dy xfxf x dx , 2 分 2 222222222 2 2()cos ()2()cos ()2() sin () d y fxf xx fxf xxfxf x dx 22222222 2 ()cos () 4 ()cos () () sin ()fxf xxfxf xfxf x. 5 分 (2) 求 2 lim(100) x xxx . 解：解：原式 2 100 lim 100 x x xx 1 分 2 100 lim 100 11 x x 4 分 50 . 5 分 (3) 求 dx x x 4 0 2cos1 . 解：解：原式 44 2 00 1 tan 2cos2 x dxxdx x 1 分 44 0 0 1sin ( tan) 2cos x xxdx x 3 分 4 0 11 (lncos)ln2 2 484 x . 5 分 (4) 求 dx x x 0 3 1 解：解：原式 3 0 1 1 (1) x dx x 1 分 232 0 0 1111 lim (1)(1)12(1) b b dx xxxx 3 分 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 10 頁 1 2 . 5 分 (5) 求微分方程0)cos2() 1( 2 dxxxydyx滿足初始條件1 0 x y的特解. 解：解：原方程可化為 22 2cos 11 dyxx y dxxx 1 分 此一階線性微分方程的通解為 22 22 11 2 cos (), 1 xx dxdx xx x yeedxC x 3 分 即 2 sin 1 xC y x . 4 分 由 0 1 x y ，得1C ，故滿足初始條件的特解是 2 sin1 1 x y x . 5 分 四、四、(本題滿分本題滿分 9 分分) 設二階常系數線性微分方程 x eyyy 的一個特解為 xx exey1 2 .試確 定常數,并求該方程的通解. 解一：解一：由題設特解知原方程的特征根為 1 和 2， 2 分 所以特征方程為(1)(2)0rr，即 2 320rr，于是 3,2 5 分 將 1 x yxe代入方程得(2)3(1)2 xxxx xexexee，即1 7 分 從而原方程的通解為 2 12 xxx ycec exe. 9 分 解二解二: 將 2 (1) xx yex e代入原方程得 2 (4 2)(3 2)(1) xxxx eexee, 2 分 比較同類項的系數，有 420 32 10 ，解方程組得=-3, =2, =-1. 5 分 即原方程為32 x yyye ，它對應的齊次方程的特征方程為 2 320rr， 解之得特征根 12 1,2rr，故齊次方程的通解為 2 12 xx Ycec e. 7 分 由題設特解知，原方程的通解為 22 12 (1) xxxx ycec eex e, 即 2 34 xxx yc ec exe 9 分 五、五、(本題滿分本題滿分 9 分分) 設平面圖形 A 由xyx2 22 與xy 所確定，求圖形 A 繞直 線2x 旋轉一周所得旋轉體的體積. 解：解：A 的圖形如下圖所示. 取y為積分變量,它的變化區間為0,1， 易見 A 的兩條邊界曲線方程 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 11 頁 分別為 2 11(01)xyxyy 及 . 2 分 于是相應于0,1區間上任一小區間, y ydy的薄片的體積元素為 22222 2(11)(2) 2 1(1) dVyydyyydy， 5 分 于是所求體積為 1 22 0 2 1(1) Vyydy 6 分 1 3 2 0 1(1) 2 1arcsin 223 yy yy 8 分 1 2 () 43 2 2 23 9 分 六、六、(本題滿分本題滿分 9 分分) 作半徑為 r 的球的外切正圓錐，問此圓錐的高 h 為何值時， 其體積 V 最小，并求出該最小值. 解：解：設圓錐底面圓半徑為 R，如圖所示 SCh, OCODr,BCR. 因 2 2 2 ,R 2 () BCCDRrrh SCSDh hhr hrr 故從而 = . 2 分 于是圓錐體積為 22 2 ( )(2) 332 rh V hR hrh hr .4 分 22 2 4 (h)=,(h)04 ,0(). 3 (2 ) rhrh hr h hr 因V故解V得舍去 7分 由于圓錐的最小體積一定存在,且h=4r是( )V h在(2r,+ )內的唯一駐點， 所以當h=4r時，V 取最小值 223 (4 )8 (4 ) 3 (42 )3 rrr Vr rr . 9 分 七、七、(本本題滿分題滿分 9 分分) 設0x ，常數ae，證明： xa a axa . 證證：因為lnyx是單調增加函數，所以欲證明 xa a axa ，只需證 ln()()lnaaxaxa. 2 分 設( )()lnln(),f xaxaaax 4 分 則在0,)內連續且可導，又有( )ln a fxa ax . 5 分 ln1,1,( )0,( )0,. a afxf x ax 因為故所以函數在內單調增加 7 分 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 12 頁 (0)0,( )0(0),ln()()ln ,()a a x ff xxaaxaxa axa 而所以即. 9 分 八、八、(本題滿分本題滿分 9 分分) 設 fx在0, a上連續，且(0)0f，證明： 2 0 ( ) 2 a Ma f x dx ，其中 0 max( ) x a Mfx . 證一：證一：任取(0, xa，由微分中值定理有( )(0)( ) ,(0, )f xffxx. 3 分 又(0)0f，故( )( ) ,(0, f xfx xa. 所以 000 ( )( )( ) aaa f x dxfxdxfxdx 6 分 0 a Mxdx 2 2 M a 9 分 證二證二：設0, xa，由(0)0f，知 0 ( )( )(0)( ) x ft dtf xff x 4 分 由積分基本性質，并考慮到 0 max( ) x a Mfx ，有 000 ( )( )( ) xxx f xf t dtf t dtMdtMx . 7 分 于是 2 000 ( )( ) 2 aaa Ma f x dxf x dxMxdx . 9 分 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 13 頁 數數 學（試卷學（試卷四四） 一、填空題：一、填空題：(本題共本題共 5 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 15 分分) (1) 5 62 sin 35 53 lim 2 xx x x . (2) 已知 2 32 , 32 x yffxarctgx x 則 0x dx dy 4 3 . (3) 級數 0 2 3ln n n n 的和為 2 2ln3 . (4) 設 4 階方陣 A 的秩為 2, 則其伴隨矩陣 * A的秩為 0 . (5) 設總體 X 的方差為 1，根據來自 X 的容量為 100 的簡單隨機樣本，測得樣本均值為 5， 則 X 的數學期望的置信度近似等于 0.95 的置信區間為 ( 4.804 ,5.196 ) . 二、選擇題：二、選擇題：(本題共本題共 5 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 15 分分) (1) 已知函數 0, 0 0, 1 sin )( 2 x x x x xf, 則 f (x ) 在點x = 0處 ( C ) (A) 極限不存在. (B) 極限存在但不連續. (C) 連續但不可導. (D) 可導. (2) 設( )f x為連續函數，且 ln 1 ( )( ) x x F xf t dt, 則)(x F 等于 ( A ) (A) ) 1 ( 1 )(ln 1 2 x f x xf x (B) ) 1 ()(ln x fxf (C) ) 1 ( 1 )(ln 1 2 x f x xf x (D) ) 1 ()(ln x fxf (3) n階方陣A具有n個不同的特征值是A與對角陣相似的 (B) (A) 充分必要條件 (B) 充分而非必要條件 (C) 必要而非充分條件 (D) 既非充分也非必要條件 (4) 假設事件A和B滿足()1P B A ， 則 (D) (A) A 是必然事件 (B)()0P B A (C) A B (D) A B (5) 設隨機變量 X 的密度函數為)(x,且)( x=)(x,( )F x是 X 的分布函數,則對任 意實數a， 有 (B) (A) 0 ()1( ) a Fax dx (B) 0 1 ()( ) 2 a Fax dx 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 14 頁 (C) ()( )FaF a (D) ()2 ( ) 1FaF a 三、三、(本題滿分本題滿分 5 分分) 設( , )zf x y是由方程0 z y x zyxxe 所確定的二元函數，求dz. 解：解：將方程兩端微分，得()0 z y xz y x dzdydxedxxedzdydx 3 分 整理后得(1)(1)(1) z y xz y xz y xz y x xedzxeedxxedy 4 分 由此，得 1 (1) 1 z y x z y x xe dzdxdy xe . 5 分 四、四、(本題滿分本題滿分 7 分分) 已知 a x x x dxex ax ax 22 4lim，求常數a的值. 解：解：左邊= 2 2 lim(1)x a x a e xa . 2 分 22222 224 xxx a aa x dex exedx 右邊 3 分 222 22 ax a a exde 4 分 2222 222 axx a a a exeedx 5 分 2222 22 aax a a eaee 2222 22 aaa a eaee . 6 分 于是，有 22222 22 aaaa ea eaee ，解得0a 或1a 7 分 五、五、(本題滿分本題滿分 9 分分) 設某產品的成本函數為 2 Caqbqc，需求函數為 1 qdp e ，其中C為成本， q為需求量(即產量)，p為單價，, , , ,a b c d e都是正的常數，且db，求： (1) 利潤最大時的產量及最大利潤； (2) 需求對價格的彈性； (3) 需求對價格彈性的絕對值為 1 時的產量. 解：解：(1) 利潤函數為 22 ()()()()Lpq Cdeq qaqbqcdb qea qc 2 分 兩側同時對q求導，得()2()Ldbea q. 令 L =0 ，得 2() db q ea 3 分 因為2()0Lea ，所以當 2() db q ea 時，利潤最大，且 4 分 2 max () L 4() db c ea . 5 分 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 15 頁 (2) 因為 1 q e ， 所以需求對價格的彈性為 p q q 7 分 1 () deqdeq qeeq . 8 分 (3) 由1，得 2 d q e . 9 分 六、六、(本題滿分本題滿分 8 分分) 假設: (1) 函數)(xfy ( x0) 滿足條件 0)0(f 和1)(0 x exf； (2) 平行于y軸的動直線 MN 與曲線)(xfy 和1 x ey 分別交于點 1 P和 2 P； (3) 曲線)(xfy 、直線 MN 與 x 軸所圍封閉圖形的面積 S 恒等于線段 21P P的長度. 求函數)(xfy 的表達式. 解：解：由題設可得示意圖如下： 由圖可知 0 ( )1( ) x x f x dxef x 3 分 兩端求導，得( )( ) x f xef x 4 分 即( )( ) x f xf xe. 解此一階線性方程，得 1 ( )() 2 xxxxx f xee e dxCeCe , 7 分 因(0)0f，故有 1 C 2 ，因此所求函數為 1 ( )() 2 xx f xee 8 分 七、七、(本題滿分本題滿分 6 分分) 假設函數)(xf在0,1上連續，在1 , 0內二階可導,過點(0,(0)Af與(1,(1)Bf的直 線與曲線( )yf x相交于點( ,( )C c f c，其中01c. 證明：在1 , 0內至少存在一點， 使0)( f. 證一：證一：因為( )f x在0,c上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在 1 (0, ),c使 1 ( )(0) ( ) 0 f cf f c 2 分 由于點 C 在弦 AB 上，故有 ( )(0)(1)(0) (1)(0) 01 0 f cfff ff c ， 1 ( )(1)(0)fff從而. 3 分 同理可證，存在 22 ( ,1),()(1)(0)cfff使, 4 分 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 16 頁 于是有 12 ()()ff ，從而( )fx 在 12 , 上滿足羅爾定理的條件， 所以存在 12 ( ,)(0,1) 使( )0f . 6 分 八、八、(本題滿分本題滿分 10 分分) k 為何值時，線性方程組 42 4 321 2 321 321 xxx kxkxx kxxx 有唯一解、無解、有無窮多組解? 在 有解情況下，求出其全部解. 解：解： 2 114114 110228 1124(1)(4) 00(4) 2 kk kkk kk k k A， 1 分 當1k 和 4 時，有 2 2 2 100 1141 224 014010 21 22 001001 11 kk kk kkk k kk kk A， 2 分 這時方程組有唯一解： 22 123 2242 , 111 kkkkk xxx kkk . 4 分 當1k 時，有( )2( )3RRAA，方程組無解. 6 分 當4k 時，有 11441030 01140114 00000000 A，( )( )23RRnAA，故方 程組有無窮多組解.這時，得同解方程組 13 23 3, 4 xx xx . 8 分 令 3 xc，得方程組的全部解： 3 4 c xc c 或 03 41 01 xc .其中c為任意常數.10 分 九、九、(本題滿分本題滿分 9 分分) 設二次型 222 1231231 22 31 3 ( ,)222f x x xxxxx xx xx x經正交變換 X = P Y 化成 f 2 3 2 2 2yy ，其中 T xxxX 321 ,和 T yyyY 321 ,是三維列向量，P 是 3 階正交 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 17 頁 矩陣. 試求常數, . 解：解：變換前后二次型的矩陣分別為 11000 1,010 11002 AB ， 2 分 二次型可以寫成 T fX AX和 T fY BY， 3 分 由于 T P APB，P為正交矩陣，故 1 P APB ， 5 分 因此| |EAEB，即 1100 1010 11002 ， 6 分 亦即 3222232 3(2)()32， 8 分 故其解0為所求常數. 9 分 十、十、(本題滿分本題滿分 8 分分) 設隨機變量 X 和 Y 同分布,X 的概率密度為( )f x 他其0 20 8 3 2 xx , (1) 已知事件 A=Xa和 B=Ya獨立，且 P(AB)= 3 4 ,求常數a； (2) 求 2 1 X 的數學期望. 解：解：(1) 由條件知( )( )()( ) ( )P AP BP ABP A P B；， 1 分 2 3 ()( )( )()2 ( ) ( ) 4 P A BP AP BP ABP AP A， 3 分 由此得 1 ( ) 2 P A .又由條件知 2 2 233 3311 ( )(8) 8882 aa a P Xaf x dxx dxxa ， 于是有 3 4a . 6 分 (2) 2 2 2 222 0 0 113133 ( ) 884 Ef x dxx dxx Xxx . 8 分 十一、十一、(本題滿分本題滿分 8 分分) 假設一大型設備在任何長為 t 的時間內發生故障的次數 N(t)服從參數為t的泊松分 布. (1) 求相繼兩次故障之間時間間隔 T 的概率分布； (2) 求在設備已經無故障工作 8 小時的情形下,再無故障運行 8 小時的概率 Q . 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 18 頁 解：解：(1) 由于T是非負隨機變量，可見當0t 時，( )0F tP Tt， 1 分 設0t ，則事件Tt與 ( )0N t 等價. 因此，當0t 時，有( ) 1 1 ( )0 1 t F tP TtP TtN te ， 4 分 于是，T服從參數為的指數分布. (2) 16|8QP TT 5 分 16,816 88 P TTP T P TP T 7 分 16 8 8 e e e . 8 分 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1993 年數學試題參考解答及評分標準 1993 年 第 19 頁 數數 學（試卷學（試卷五五） 一、填空題：一、填空題：(本題共本題共 5 小題，每小題，每小題小題 3 分，滿分分，滿分 15 分分) (1) lim1 21 2(1)2 /2 n nn . (2) 已知 2 32 ,arcsin, 32 x yffxx x 則 0x dy dx 3 2 . (3) xx dx 1)2( 2arctan 1 xc. (4) 【 同數學四 第一、 （4）題 】 (5) 設 10 件產品有 4 件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產品中有一件是不合格品， 則另一件也是不合格品的概率為 1 5 二、選擇題：二、選擇題：(本題共本題共 5 小題，每小題小題，