1,3.1.2 空間向量的數乘運算,/,2,1.理解向量數乘運算的含義及運算律,能夠進行向量的數乘運 算. 2.掌握向量共線與共面定理,能運用定理證明一些幾何問題.,/,3,課 前 熱 身 (學生用書P63),4,1.與平面向量一樣,實數與空間向量a的乘積a仍然是一個 _,稱為_. 當0時,a與a方向_; 當0時,a與a方向_; 當=0時,a是一個_. a的長度是a的長度的_倍.,向量,向量的數乘運算,相同,相反,0,|,5,2.數乘運算律: 分配律:_;_. 結合律:(a)=_. 3.空間向量共線的充要條件是:對空間任意兩個向量a、 b(b0),ab的充要條件是_. 4.空間任意兩個向量都_.平行于同一平面的向量 叫做_.,(a+b)=a+b,(+)a=a+a,()a,a=b,共面,共面向量,1.正確應用共線向量及共線向量定理 (1)空間共線向量與平面共線向量的定義完全一樣,當我們說a、b共線時,表示a、b兩條有向線段所在直線既可能是同一直線,也可能是平行直線;當我們說ab時,也具有同樣的意義. (2)用共線向量定理證明兩直線平行是常用方法,但是要注意,向量平行與直線平行是有區別的,直線平行不包括共線的情況.如果應用共線向量定理判斷a、b所在的直線平行,還需說明a(或b)上有一點不在b(或a)上.,7,8,2.共面向量定理的理解 (1)空間一點P位于平面MAB內的充分必要條件是存在有序實 數對(x,y),使 滿足這個關系式的點P都在 平面MAB內;反之,平面MAB內的任一點P都滿足這個關系式. 這個充要條件常用以證明四點共面.,9,(2)共面向量的充要條件給出了平面的向量表示式,說明任意 一個平面可以由兩個不共線的平面向量表示出來,它既是判 斷三個向量是否共面的依據,又是已知共面條件的另一種形 式,可以借此已知共面條件轉化為向量式,以方便向量運算.另 外,在許多情況下,可以用“若存在有序實數組(x,y,z)使得對于 空間任意一點O,有 且x+y+z=1成立, 則P、A、B、C四點共面作為判定空間上四個點共面的依據.,10,題型一 空間向量的概念 例1:給出以下命題: 用分別在兩條異面直線上的兩條有向線段表示兩個向量, 則這兩個向量一定不共面; 已知空間四邊形ABCD,則由四條線段AB、BC、CD、DA 分別確定的四個向量之和為零向量; 若三個向量共面,則這三個向量的起點和終點一定共面.,11,其中正確命題的序號是_. 解析:在空間,用有向線段表示的向量仍然是自由向量,而任意 兩個向量總是共面向量,故命題錯誤;空間四邊形的四條邊 確定的四條線段中每條線段都可以確定兩個方向相反的向量, 當它們不是首尾相接時,這四個向量的和就不是零向量,故命 題錯誤;命題就是空間共面向量定理,所以是正確的;命題 也是錯誤的,向量的共面與點的共面是不同的兩個概念,若 其中兩個向量是平行向量,12,第三個向量與其中一個向量有相同的起點,則這三個向量一 定是共面向量,但這三個向量的起點與終點卻可以不共面.,13,變式訓練1:下列說法正確的是( ) A.以三個向量為三條棱一定可以作成一個平行六面體,答案:B,14,題型二 空間向量的數乘運算,15,16,17,18,19,20,題型三 共線問題,21,22,規律技巧:(1)判定兩向量共線就是找x使a=xb,要充分運用空 間向量運算法則結合空間圖形,化簡得出a=xb,從而得出ab. (2)要證明空間圖形中的兩直線平行可以先證明兩直線所在的 向量平行,然后觀察圖形找出在一直線上有一點不在另一直 線上,則兩直線平行.,23,變式訓練3:射線AB、AC、AD不共面,連接BC、CD、DB,取 AB、BC、CD、DA的中點E、F、G、H,如圖,試判斷四邊形 EFGH的形狀,并用向量證明.,24,25,題型四 共面問題 例4:如右圖,兩個全等的正 方形ABCD、ABEF,在其對角 線AE、BD上(不含端點)分 別取點M、N,使AM=DN.求 證:MN平面BCE. 分析:可將直線與平面的平行轉化成向量的共面,然后結合線 面平行的判定定理證明.,26,27,規律技巧:將要證的直線與平面平行的問題轉化成向量共面 的問題,從而使繁瑣地幾何證明問題巧妙地轉化成向量的運 算,體現了向量良好的工具性.,28,變式訓練4:如右圖,ABCD-ABCD中,點E是上底面 ABCD的中心, 求下列各式中的x、y、z的值:,29,30,技 能 演 練 (學生用書P65),31,基礎強化 1.滿足下列條件,能說明空間不重合的三點A、B、C共線的 是( ),答案:C,32,2.下列命題中正確的是( ) A.若a與b共線,b與c共線,則a與c共線 B.向量a、b、c共面,即它們所在的直線共面 C.零向量沒有確定的方向 D.若ab,則存在唯一的實數,使a=b 解析:當b=0時,a與c不一定共線,所以A錯.由共面向量的定義知,B錯.當a與b是非零向量時,D正確.但命題中沒有非零向量這個條件,所以D錯. 答案:C,33,3.下列條件中使點M與點A、B、C一定共面的是( ),答案:C,34,4.下列結論中,正確的個數是( ) 若a、b、c共面,則存在實數x、y,使a=xb+yc 若a、b、c不共面,則不存在實數x、y,使a=xb+yc 若a、b、c共面,b、c不共線,則存在實數x、y,使a=xb+yc 若a=xb+yc,則a、b、c共面 A.0 B.1 C.2 D.3 解析:正確,錯誤. 答案:D,35,答案:A,36,37,38,7.向量a與b不共線,存在惟一一對非零實數m、n,使 c=m