2.9 函數模型及其應用,知識梳理,考點自測,1.常見的函數模型 (1)一次函數模型:f(x)=kx+b(k,b為常數,k0); (2)二次函數模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a0); (3)反比例函數模型:f(x)= (k為常數,k0); (4)指數型函數模型:f(x)=abx+c(a,b,c為常數,a0,b0,b1); (5)對數型函數模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數,m0,a0,a1); (6)冪型函數模型:f(x)=axn+b(a,b,n為常數,a0);,知識梳理,考點自測,2.指數、對數、冪函數模型的性質比較,單調遞增,單調遞增,單調遞增,y軸,x軸,知識梳理,考點自測,知識梳理,考點自測,1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)冪函數增長比一次函數增長更快. ( ) (2)在(0,+)內,隨著x的增大,y=ax(a1)的增長速度會超過并遠遠大于y=x(0)的增長速度. ( ) (3)指數型函數模型,一般用于解決變化較快,短時間內變化量較大的實際問題. ( ) (4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,當x(4,+)時,恒有h(x)0,b1)增長速度越來越快的形象比喻. ( ),知識梳理,考點自測,2.(教材例題改編P123例1)一個工廠生產一種產品的總成本y(單位:萬元)與產量x(單位:臺)之間的函數關系是y=0.1x2+10x+300 (0x240,xN),若每臺產品的售價為25萬元,生產的產品全部賣出,則該工廠獲得最大利潤(利潤=銷售收入-產品成本)時的產量是( ) A.70臺 B.75臺 C.80臺 D.85臺,B,解析:根據題意知銷售收入是25x, 所以利潤是w=25x-(0.1x2+10x+300),即w=-0.1x2+15x-300, 所以當x=75時,wmax=-0.1752+1575-300=262.5(萬元).,知識梳理,考點自測,3.(教材例題改編P123例2)在某個物理實驗中,測量得變量x和變量y的幾組數據,如下表,則x,y最適合的函數是( ),A.y=2x B.y=x2-1 C.y=2x-2 D.y=log2x,D,解析:根據x=0.50,y=-0.99,代入計算,可以排除A;根據x=2.01,y=0.98,代入計算,可以排除B,C;將各數據代入函數y=log2x,可知滿足題意.故選D.,知識梳理,考點自測,4.(教材例題改編P97例2)某公司為了業務發展制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案,在銷售額x為8萬元時,獎勵1萬元,在銷售額x為64萬元時,獎勵4萬元.若公司擬定的獎勵模型為y=alog4x+b.某業務員要得到8萬元獎勵,則他的銷售額應為 萬元.,1024,知識梳理,考點自測,5.(教材例題改編P102例3)某市出租車收費標準如下:起步價為8元,起步里程為3 km(不超過3 km按起步價付費);超過3 km但不超過8 km時,超過部分按每千米2.15元收費;超過8 km時,超過部分按每千米2.85元收費,另每次乘坐需付燃油附加費1元.現某人乘坐一次出租車付費22.6元,則此次出租車行駛了 km.,9,考點一,考點二,考點三,考點四,二次函數模型,考點一,考點二,考點三,考點四,考點一,考點二,考點三,考點四,思考生活中常見的哪些問題涉及的兩個變量之間的關系是二次函數關系? 解題心得在現實生活中,很多問題涉及的兩個變量之間的關系是二次函數關系,如面積問題、利潤問題、產量問題等.構建二次函數模型,利用二次函數的圖象與單調性解決.,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓練1(2017河南洛陽月考)為了維持市場持續發展,壯大集團力量,某集團在充分調查市場后決定從甲、乙兩種產品中選擇一種進行投資生產,打入國際市場.已知投資生產這兩種產品的有關數據如下表(單位:萬美元):,其中年固定成本與年生產的件數無關,a為常數,且6a8.另外,當年銷售x件乙產品時需上交0.05x2萬美元的特別關稅,假設所生產的產品均可售出.,考點一,考點二,考點三,考點四,(1)寫出該集團分別投資生產甲、乙兩種產品的年利潤y1,y2與生產相應產品的件數x(xN*)之間的函數關系式; (2)分別求出投資生產這兩種產品的最大年利潤; (3)如何決定投資可使年利潤最大?,解 (1)y1=(10-a)x-20(1x200,xN*), y2=-0.05x2+10x-40(1x120,xN*). (2)10-a0,y1為增函數, 當x=200時,y1取得最大值1 980-200a,即投資生產甲產品的最大年利潤為(1 980-200a)萬美元. y2=-0.05(x-100)2+460(1x120,xN*), 當x=100時,y2取得最大值460,即投資生產乙產品的最大年利潤為460萬美元.,考點一,考點二,考點三,考點四,(3)為研究生產哪種產品年利潤最大,我們采用作差法比較: 由(2)知生產甲產品的最大年利潤為(1 980-200a)萬美元,生產乙產品的最大年利潤為460萬美元, (1 980-200a)-460= 1 520-200a,且6a8, 當1 520-200a0,即6a7.6時,投資生產甲產品200件可獲得最大年利潤; 當1 520-200a=0,即a=7.6時,生產甲產品200件或生產乙產品100件均可獲得最大年利潤; 當1 520-200a0,即7.6a8時,投資生產乙產品100件可獲得最大年利潤.,考點一,考點二,考點三,考點四,分段函數模型 例2(2017江蘇如東一中月考)國慶期間,某旅行社組團去風景區旅游,若每團人數在30或30以下,飛機票每張收費900元;若每團人數多于30,則給予優惠:每多1人,機票每張減少10元,直到達到規定人數75為止.每團乘飛機,旅行社需付給航空公司包機費15 000元. (1)寫出飛機票的價格關于人數的函數; (2)每團人數為多少時,旅行社可獲得最大利潤?,考點一,考點二,考點三,考點四,解 (1)設每團人數為x,由題意得0x75(xN*),飛機票價格為y元,因為S=900x-15 000在區間(0,30上為增函數,故當x=30時,S取最大值12 000.又S=-10(x-60)2+21 000,x(30,75,所以當x=60時,S取得最大值21 000. 故當x=60時,旅行社可獲得最大利潤.,考點一,考點二,考點三,考點四,思考分段函數模型適合哪些問題? 解題心得1.在現實生活中,很多問題的兩個變量之間的關系不能用同一個關系式給出,而是由幾個不同的關系式構成分段函數.如出租車票價與路程之間的關系,就是分段函數. 2.分段函數主要是每一段上自變量變化所遵循的規律不同,可以先將其作為幾個不同問題,將各段的規律找出來,再將其合在一起.要注意各段變量的范圍,特別是端點.,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓練2已知某手機公司生產某款手機的年固定成本為40萬元,每生產1萬臺還需另投入16萬元.設該公司一年內共生產該款手機x萬臺并全部銷售完,每萬臺的銷售收入為R(x)萬元,且 (1)寫出年利潤W(單位:萬元)關于年產量x(單位:萬臺)的函數解析式; (2)當年產量為多少萬臺時,該公司在該款手機的生產中所獲得的利潤最大?并求出最大利潤.,考點一,考點二,考點三,考點四,考點一,考點二,考點三,考點四,“對勾”函數模型:y=x+ (a0)的應用 例3某村計劃建造一個室內面積為800 m2的矩形蔬菜溫室,在矩形溫室內,沿左、右兩側與后側內墻各保留1 m寬的通道,沿前側內墻保留3 m寬的空地,當矩形溫室的邊長各為多少時,蔬菜的種植面積最大?最大面積是多少?,考點一,考點二,考點三,考點四,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓練3(2017江西新余一中檢測)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關系 (0x10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元,設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和. (1)求k的值及f(x)的表達式. (2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值.,考點一,考點二,考點三,考點四,考點一,考點二,考點三,考點四,指數型、對數型函數模型 例4某城市現有人口總數為100萬人,如果年自然增長率為1.2%,試解答以下問題: (1)寫出該城市人口總數y(單位:萬人)與年份x(單位:年)的函數關系式; (2)計算10年以后該城市人口總數;(精確到0.1萬人) (3)計算大約多少年以后該城市人口將達到120萬人.(精確到1年) (1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210,log1.0121.215.3),考點一,考點二,考點三,考點四,解 (1)1年后該城市人口總數為y=100+1001.2%=100(1+1.2%), 2年后該城市人口總數為y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2, 3年后該城市人口總數為y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3, x年后該城市人口總數為y=100(1+1.2%)x. 所以該城市人口總數y(單位:萬人)與年份x(單位:年)的函數關系式是y=100(1+1.2%)x. (2)10年后該城市人口總數為100(1+1.2%)10112.7(萬人). 所以10年以后該城市人口總數約為112.7萬人.,考點一,考點二,考點三,考點四,考點一,考點二,考點三,考點四,思考哪些實際問題適合用指數函數模型解決? 解題心得1.在實際問題中,有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數函數模型表示.通常可以表示為y=N(1+p)x(其中N為基礎數,p為增長率,x為時間)的形式.解題時,往往用到對數運算,要注意與已知表格中給定的值對應求解. 2.有關對數型函數的應用題,一般都會給出函數解析式,要求根據實際情況求出函數解析式中的參數,或給出具體情境,從中提煉出數據,代入解析式求值,然后根據值回答其實際意義.,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓練4聲強級Y(單位:分貝)由公式 給出,其中I為聲強(單位:W/m2). (1)平常人交談時的聲強約為10-6 W/m2,求其聲強級. (2)一般常人能聽到的最低聲強級是0分貝,求能聽到的最低聲強為多少? (3)比較理想的睡眠環境要求聲強級Y50分貝,已知熄燈后兩位同學在宿舍說話的聲強為510-7 W/m2,問這兩位同學是否會影響其他同學休息?,考點一,考點二,考點三,考點四,考點一,考點二,考點三,考點四,1.解函數應用問題的步驟(四步八字) (1)審題:弄清題意,分清條件和結論,理順數量關系,初步選擇數學模型; (2)建模:將自然語言轉化為數學語言,將文字語言轉化為符號語言,利用數學知識,建立相應的數學模型; (3)解模:求解數學模型,得出數學結論;