2.1.1 合情推理,第二章 2.1 合情推理與演繹推理,學習目標 1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理. 2.了解合情推理在數學發現中的作用.,題型探究,問題導學,內容索引,當堂訓練,問題導學,知識點一 推理,1.推理的概念與分類 (1)根據一個或幾個 得出一個判斷，這種思維方式就是推理. (2)推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(或假設)，叫做 ；一部分是由已知推出的判斷，叫做 . (3)推理一般分為 與 . 2.合理推理 前提為真時，結論 的推理，叫做合情推理.常用的合情推理有 和 .,已知事實(或假設),前提,結論,合情推理,演繹推理,可能為真,歸納推理,類比推理,知識點二 歸納推理,思考,(1)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導電，猜想：一切金屬都能導電. (2)統計學中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體. 以上屬于什么推理？,答案,答案 屬于歸納推理.符合歸納推理的定義特征.,歸納推理 (1)定義：根據一類事物的部分對象具有某種性質，推出這類事物的 都具有這種性質的推理，叫做歸納推理(簡稱歸納)，歸納是從 到 的過程. (2)歸納推理的一般步驟 通過觀察個別情況發現某些 ； 從已知的 中推出一個明確表述的 命題(猜想).,梳理,所有對象,特殊,一般,相同性質,一般性,相同性質,知識點三 類比推理,思考,由三角形的性質：三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形面積等于高與底乘積的 . 可推測出四面體具有如下性質： (1)四面體任意三個面的面積之和大于第四個面的面積， (2)四面體的體積等于底面積與高乘積的 . 該推理屬于什么推理？,答案,答案 類比推理.,類比推理 (1)定義：根據兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性，推測其中一類事物具有與另一類事物 的性質的推理，叫做類比推理(簡稱類比). (2)類比推理的一般步驟 找出兩類事物之間的 或 ； 用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個 的命題(猜想).,梳理,類似(或相同),相似性,一致性,明確,題型探究,例1 (1)觀察下列等式：,類型一 歸納推理,命題角度1 數、式中的歸納推理,據此規律，第n個等式可為 _.,解析 等式左邊的特征：第1個有2項，第2個有4項，第3個有6項，且正負交錯， 故第n個等式左邊有2n項且正負交錯，應為 ；,等式右邊的特征：第1個有1項，第2個有2項，第3個有3項， 故第n個等式右邊有n項，且由前幾個等式的規律不難發現，第n個等式右邊應為 .,答案,解析,答案,解析,又fn(x)fn1(fn1(x)，,引申探究 在本例(2)中，若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改為“fn(x)f(fn1(x)”，其他條件不變，試猜想fn(x) (nN)的表達式.,解答,又fn(x)f(fn1(x)，,(1)已知等式或不等式進行歸納推理的方法 要特別注意所給幾個等式(或不等式)中項數和次數等方面的變化規律；要特別注意所給幾個等式(或不等式)中結構形成的特征；提煉出等式(或不等式)的綜合特點；運用歸納推理得出一般結論. (2)數列中的歸納推理：在數列問題中，常常用到歸納推理猜測數列的通項公式或前n項和. 通過已知條件求出數列的前幾項或前n項和；根據數列中的前幾項或前n項和與對應序號之間的關系求解；運用歸納推理寫出數列的通項公式或前n項和公式.,反思與感悟,答案,解析,答案,解析,例2 如圖，第n個圖形是由正n2邊形“擴展”而來(n1,2,3，)，則第n個圖形中頂點的個數為 A.(n1)(n2) B.(n2)(n3) C.n2 D.n,命題角度2 幾何中的歸納推理,答案,解析,解析 由已知圖形我們可以得到： 當n1時，頂點共有1234(個)， 當n2時，頂點共有2045(個)， 當n3時，頂點共有3056(個)， 當n4時，頂點共有4267(個)， ， 則第n個圖形共有頂點(n2)(n3)個， 故選B.,圖形中歸納推理的特點及思路 (1)從圖形的數量規律入手，找到數值變化與數量的關系. (2)從圖形結構變化規律入手，找到圖形的結構每發生一次變化后，與上一次比較，數值發生了怎樣的變化.,反思與感悟,答案,解析,跟蹤訓練2 黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規律拼成若干個圖案，則第n個圖案中有黑色地面磚的塊數是_.,5n1,解析 觀察圖案知，從第一個圖案起，每個圖案中黑色地面磚的個數組成首項為6，公差為5的等差數列， 從而第n個圖案中黑色地面磚的塊數為6(n1)55n1.,類型二 類比推理,解答,解 對平面凸四邊形：,(1)類比推理的基本原則是根據當前問題的需要，選擇適當的類比對象，可以從幾何元素的數目、位置關系、度量等方面入手.由平面中相關結論可以類比得到空間中的相關結論. (2)平面圖形與空間圖形的類比如下：,反思與感悟,跟蹤訓練3 (1)若數列an(nN)是等差數列，則有數列bn (nN)也是等差數列；類比上述性質，相應地：若數列cn是等比數列，且cn0，則有數列dn_ (nN)也是等比數列.,答案,解析,(2)如圖所示，在ABC中，射影定理可表示為abcos Cccos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊.類比上述定理，寫出對空間四面體性質的猜想.,解答,解 如圖所示，在四面體P-ABC中，設S1，S2，S3，S分別表示PAB，PBC，PCA，ABC的面積，依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大小. 我們猜想射影定理類比推理到三維空間， 其表現形式應為SS1cos S2cos S3cos .,當堂訓練,1.有一串彩旗，代表藍色，代表黃色.兩種彩旗排成一行： ， 那么在前200個彩旗中黃旗的個數為 A.111 B.89 C.133 D.67,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 觀察彩旗排列規律可知，顏色的交替成周期性變化，周期為9，每9個旗子中有3個黃旗.則200922余2，則200個旗子中黃旗的個數為223167.故選D.,2.下列平面圖形中，與空間的平行六面體作為類比對象較合適的是 A.三角形 B.梯形 C.平行四邊形 D.矩形,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 因為平行六面體相對的兩個面互相平行，類比平面圖形，則相對的兩條邊互相平行，故選C.,3.觀察下列各式：112，23432，3456752，4567891072，可以得到的一般結論是 A.n(n1)(n2)(3n2)n2 B.n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2 C.n(n1)(n2)(3n1)n2 D.n(n1)(n2)(3n1)(2n1)2,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 觀察容易發現根據n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.,2,3,4,5,1,解析,答案,5.在長方形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為，cos2cos21，則在立體幾何中，給出類比猜想并證明.,解答,2,3,4,5,1,于是類比到長方體中，猜想其體對角線與共頂點的三條棱所成的角分別為，則cos2cos2cos21.,證明如下：,2,3,4,5,1,規律與方法,1.用歸納推理可從具體事例中發現一般規律，但應注意，僅根據一系列有限的特殊事例，所得出的一般結論不一定可靠，其結論的正確與否，還要經過嚴格的理論證明. 2.進行類比推理時，要盡量從本質上思考，