高等數學期末復習1、求函數的定義域：1）含有平方根的：被開方數0，2）含分式的：分母0含對數的：真數0例： 1.函數 的定義域是 )1ln(92xy2、函數的對應規律例：設 求2134,fxxf解：由于 中的表達式是 x+1，可將等式右端表示為 x+1 的形式2)(2)1()()(22 xfxf或：令 )(43112 ftttftxt則3、判斷兩個函數是否相同：定義域相同及對應規律相同例：1、下列各函數對中， （ B ）中的兩個函數相同A、 B、2(),yx2,1xyC、 D、2ln,l22sinco,xy4、判斷函數的奇偶性：若 ，則 為偶函數；若 ，則 為奇函數，fxfffxffx也可以根據一些已知的函數的奇偶性，再利用“奇函數 奇函數、奇函數 偶函數仍為奇函數；偶函數 偶函數、偶函數偶函數、奇函數奇函數仍為偶函數”的性質來判斷。奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于 y 軸對稱。例：下列函數中， （ A ）是偶函數 A B3sinfx31fxC Dxacos5、無窮小量：極限為零的變量。性質：無窮小量和有界變量的積仍是無窮小量例 1）: 當 時，下列變量為無窮小量的是（ B ）0A、cosx B、ln(1+x) C、x+1 D、 xe2） 0 0limsnx6、函數在一點處極限存在的充要條件是左右極限存在且相等( D )0lixA、1 B、1 C、 1 D、不存在230)1ln(92 xx 且7、極限的計算：對于“ ”形01sin2)10xl） 利 用 重 要 極 限約 去 零 因 子 后 再 計 算例 1） 21)1(1000 linxlinxlinxxx2） =(3silm)si(l121 xx )1(sin)3(li1xx )1(sinlm)3(li1xx48、導數的幾何意義： ；處 的 切 線 的 斜 率在 點表 示 曲 線 00)(fyf)(, 00 xfyxy 處 的 切 線 方 程在 點 （曲 線例：曲線 在 處的切線斜率是 1)(xf)2,(解： =21f )1(2, xy故 切 線 方 程 為 ：9、導數的計算：復合函數求導原則：由外向內，猶如剝筍，層層求導例 1）設 ，求 sinlxyy解： 2coi2例 2）設 ，求 dysxye解; 21(in)2xdd10、判斷函數的單調性： 的 區 間 。系 式 的 區 間 為 單 調 遞 增函 數 單 調 遞 增 ， 滿 足 關:0y的 區 間 。系 式 的 區 間 為 單 調 遞 減函 數 單 調 遞 減 ， 滿 足 關:例：.函數 的單調減少區間是 1)(2xy ），故 單 調 減 少 區 間 是 （ 1012 11、應用題的解題步驟：1）根據題意建立函數關系式，2）求出駐點（一階導數=0 的點） ，3）根據題意直接回答例 1） 求曲線 上的點，使其到點 的距離最短xy2)0,2(A解：曲線 上的點到點 的距離公式為2 ),(2)(yxd與 在同一點取到最小值，為計算方便求 的最小值點，將 代入得2 2dxy2xd2)(2令 )()(2令 得 可以驗證 是 的最小值點，并由此解出 ，即曲線 上的點 和點0d1x1x2d2yxy2)2,1(到點 的距離最短)2,1(),(A2）某制罐廠要生產一種體積為 V 的無蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為多少時用料最省？解：設容器的底半徑為 ，高為 ，則其表面積為rhS2因為Vhr22r所以 rS22V由 ，得唯一駐點 ，此時 ，由實際問題可知，當底半徑 和高 時可使用0S3r3h3Vr3h料最省12、不定積分與原函數的關系:設 ，則稱函數 是 的原函數., FxfFxfcxFdf)()(例 1）若 的一個原函數為 ，則 （ B ）1A、 B、 C、 D 、lnx32x21x解： 32)(1)(ff 2）已知 ，則 （答案：C）sinxfdcfA. B. C. D.sinxosxcosx解： fxxf )(cos)(i)13、性質： ,fdxdfc例 1） （ B ） xx)(32A. B. C. D. )(3xf)(32xf)(1xf)(31xf例 2） +Cdtantan14、不定積分的計算：1）湊微分；2）分部積分1） 常用湊微分： ),1(),(ln1),(1),(1 2xdxdxxdxbx 2d cossicos),(e例 1）若 ，則 （ B ） cxFf)()(xfdA. B. C. D. )()(2cF)2( cxF)(1解： xdxfdxf 1例 2）計算 e2解： )1(d21xxcx1e例 3)計算 lnsi解; cxddx )os(ln)(li2） 分部積分的常見類型： xddvxdxeenxncoscossini的 形 式 。湊 成、把，再根據分部積分公式 計算的 形 式湊 成把 vxdxnl uu例 1）計算 e解： cexdexexdxx xx )()(例 2）計算不定積分 3cos解： cxxdxxxxd 3os1sin3sin3i1)(sin1)(13cos例 3）計算 dd )()l(1)l(lln)ln(= cxxxx)1()115、定積分的牛頓萊布尼茲公式：設 F（x）是 f(x)的一個原函數，則 )()(xFdfbaab)(aF例：若 是 的一個原函數，則下列等式成立的是（ B ）FxfA. B. adx xafdFxC. D. bfbbba16、奇偶函數在對稱區間上的積分：若 是奇函數，則有fx0afxd若 是偶函數，則有 022aa afxdfxd例 1)： 12x分析： 為奇函數，所以 02112xd例 2） 1xd分析： 為偶函數 故： 112100|xx17、定積分的計算：1）湊微分，2）分部積分；定積分的湊微分和不定積分的計算相同。例 1） 計算12xed解：利用湊微分法， ，得21x1112 2|xxede例 2） 計算定積分 21解：利用湊微分法， ，得dx222111|x xeee定積分的分部積分與不定積分的計算基本相同：定積分的分部積分公式： babavduudv例 1） 計算 120xe解： 0121012)(2