.課時提升練( 五十四) 變量間的相關關系、統計案例一、選擇題1(2014東營二模 )某商品的銷售量 y(件)與銷售價格 x(元/件)存在線性相關關系，根據一組樣本數據(x i，y i)(i1,2，n) ，用最小二乘法建立的回歸方程為 10x200，則下列結論正確的是 ( )y Ay 與 x 具有正的線性相關關系B若 r 表示變量 y 與 x 之間的線性相關系數，則 r10C當銷售價格為 10 元時，銷售量為 100 件D當銷售價格為 10 元時，銷售量為 100 件左右【解析】 當銷售價格為 10 元時， 1010200100，y 即銷售量為 100 件左右，選 D.【答案】 D2(2014甘肅聯合診斷) 對具有線性相關關系的變量 x，y 有一組觀測數據( xi，y i)(i1,2，8)，其回歸直線方程是 xa，且y 13x1x 2x 3x 82(y 1y 2y 3y 8)6，則實數 a 的值是( )A. B. C. D.116 18 14 12【解析】 依題意可知樣本點的中心為 ，(34，38)則 a，解得 a .38 13 34 18【答案】 B.3(2014湖北高考 )根據如下樣本數據x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0 3.0得到的回歸方程為 bxa，則( )y Aa0，b0 Ba0，b0C a 0，b0 Da0，b0【解析】 作出散點圖如下：觀察圖象可知，回歸直線 bxa 的斜率 b0，當 x0 時，y a0.故 a0，b0.y 【答案】 B4(2014中山四校聯考) 甲、乙、丙、丁四位同學各自對 A、B兩變量的線性相關性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數r 與殘差平方和 m 如下表：甲 乙 丙 丁r 0.82 0.78 0.69 0.85m 106 115 124 103則哪位同學的試驗結果體現 A、B 兩變量有更強的線性相關性( )A甲 B乙 C丙 D丁【解析】 由表知相關系數 r 的絕對值越接近于 1，線性相關性.越強，殘差平方和 m 越小，擬合效果越好，故選丁，即 D 答案【答案】 D5(2014江西高考 )某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這 4 個變量的關系，隨機抽查 52 名中學生，得到統計數據如表 1 至表 4，則與性別有關聯的可能性最大的變量是( )表 1成績性別 不及格 及格 總計男 6 14 20女 10 22 32總計 16 36 52表 2視力性別 好 差 總計男 4 16 20女 12 20 32總計 16 36 52表 3智商性別 偏高 正常 總計男 8 12 20女 8 24 32總計 16 36 52.表 4閱讀量性別 豐富不豐富總計男 14 6 20女 2 30 32總計 16 36 52A成績 B視力C智商 D閱讀量 【解析】 A 中，a6，b14，c10， d22，ab20， cd32，ac16，bd36，n52，K2 .52622 1410220321636 131 440B 中，a4，b16，c12， d20，ab20， cd32，ac16，bd36，n52，K2 .52420 1612220321636 637360C 中，a8，b12，c8， d24，ab20，cd32，ac16，bd36，n52，K2 .52824 128220321636 1310.D 中，a14，b6，c2， d30，ab20，cd32，ac16，bd36，n52，K2 .521430 62220321636 3 757160 ，131 44013106373603 757160與性別有關聯的可能性最大的變量是閱讀量【答案】 D6設(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x n，y n)是變量 x 和 y 的 n 個樣本點，直線 l 是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖 936)，以下結論正確的是( )圖 936A直線 l 過點( ， )x yB x 和 y 的相關系數為直線 l 的斜率C x 和 y 的相關系數在 0 到 1 之間D當 n 為偶數時，分布在 l 兩側的樣本點的個數一定相同【解析】 由樣本中心( ， )落在回歸直線上可知 A 正確；xx y和 y 的相關系數表示 x 與 y 之間的線性相關程度，不表示直線 l 的斜率，故 B 錯； x 和 y 的相關系數應在 1 到 1 之間，故 C 錯；分布在回歸直線兩側的樣本點的個數并不絕對平均，無論樣本點個數是奇數還是偶數，故 D 錯【答案】 A.二、填空題7調查了某地若干戶家庭的年收入 x(單位：萬元)和年飲食支出 y(單位：萬元)，調查顯示年收入 x 與年飲食支出 y 具有線性相關關系，并由調查數據得到 y 對 x 的回歸直線方程： 0.254x0.321.y 由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加 1 萬元，年飲食支出平均增加_萬元【解析】 由題意知0.254(x1)0.321 (0.254 x0.321)0.254.【答案】 0.2548為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關系，現隨機抽取 50 名學生，得到如下 22 列聯表：理科 文科男 13 10女 7 20已知 P(K23.841) 0.05 ，P( K25.024) 0.025.根據表中數據，得到 k 4.844.501320 107223272030則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性為_【解析】 k4.844 ，這表明小概率事件發生根據假設檢驗的基本原理，應該斷定“是否選修文科與性別之間有關系”成立，并且這種判斷出錯的可能性約為 5%.【答案】 5%9已知 x， y 之間的一組數據如下表：x 2 3 4 5 6y 3 4 6 8 9.對于表中數據，現給出如下擬合直線：y x1；y2x 1；y x ；y x.則根據最小二乘法85 25 32的思想求得擬合程度最好的直線是_( 填序號) 【解析】 由題意知 4， 6，x y ，b 5 i 1 xi xyi y 5 i 1 xi x2 85 ， x ，填.a y b x 25 y 85 25【答案】 三、解答題10某地區甲校高二年級有 1 100 人，乙校高二年級有 900 人，為了統計兩個學校高二年級在學業水平考試中的數學學科成績，采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了 200 名學生的數學成績，如下表：(已知本次測試合格線是 50 分，兩校合格率均為 100%)甲校高二年級數學成績：分組 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100頻數 10 25 35 30 x乙校高二年級數學成績：分組 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100頻數 15 30 25 y 5(1)計算 x， y 的值，并分別估計以上兩所學校數學成績的平均分(精確到 1 分 )(2)若數學成績不低于 80 分為優秀，低于 80 分的為非優秀，根據以上統計數據寫下面 22 列聯表，并回答能否在犯錯誤的概率不.超過 0.05 的前提下認為“兩個學校的數學成績有差異？”甲校 乙校 總計優秀非優秀總計【解】 (1)依題意甲校應抽取 110 人，乙校應抽取 90 人，故 x10， y15，估計甲校平均分為75，5510 6525 7535 8530 9510110乙校平均分為71.5515 6530 7525 8515 95590(2)列 22 列聯表如下：甲校 乙校 總計優秀 40 20 60非優秀 70 70 140總計 110 90 200k 4.714，2004070 207021109060140又因為 4.7143.841，故能在犯錯誤的概率不超過 0.05 的前提下認為“兩個學校的數學成績有差異” 11(2014 鄭州模擬)某種產品的廣告費支出 x 與銷售額 y(單位：萬元) 之間有如下對應數據：x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70.若廣告費支出 x 與銷售額 y 回歸直線方程為 6.5xa(aR )y (1)試預測當廣告費支出為 12 萬元時，銷售額是多少？(2)在已有的五組數據中任意抽取兩組，求至少有一組數據其預測值與實際值之差的絕對值不超過 5 的概率【解】 (1)由題意得 5， x2 4 5 6 85 y50，30 40 50 60 705因為點(5,50) 在回歸直線上，代入回歸直線方程求得 a17.5，所求回歸直線方程為 6.5x17.5，y 當廣告支出為 12 萬元時，銷售額 6.51217.595.5(萬元)y (2)實際值和預測值對應表為x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70y 30.5 43.5 50 56.5 69.5在已有的五組數據中任意抽取兩組的基本事件(30,40)，(30,60)，(30,50)，(30,70)，(40,60)，(40,50)，(40,70) ，(60,50)，(60,70)，(50,70)，共 10 個，兩組數據其預測值與實際值之差的絕對值都超過 5 的有(60,50)，共 1 個，所以至少有一組數據其預測值與實際值之差的絕對值不超過 5的概率為 P1 .110 910.12(2014 西寧模擬)延遲退休年齡的問題，近兩年引發社會廣泛關注，延遲退休年齡似乎已是一種必然趨勢，然而反對的聲音也隨之而起現對我市工薪階層關于“延遲退休年齡”的態度進行調查，隨機抽調了 50 人，他們月收入的頻數分布及對“延遲退休年齡”持反對態度的人數如下表：月收入( 元)1 000，2 000)2 000，3 000)3 000，4 000)4 000，5 000)5 000，6 000)6 000，7 000頻數 5 10 15 10 5 5反對人數4 8 12 5 2 1(1)由以上統計數據填寫下面的 22 列聯表，問能否在犯錯誤的概率不超過 0.01 的前提