江西省上饒市2025屆高三第二次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】由，所以；由，所以.所以.故選：D2.已知復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則（）A2 B.5 C.4 D.1【答案】C【詳解】由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，得，即，則，所以.故選：C3.命題“”的否定為（）A.“” B.“”C.“” D.“”【答案】D【詳解】因?yàn)椋侨Q量詞命題，所以其否定為存在量詞命題，即，故選：D.4.已知向量，若，則（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【詳解】由，得，而，所以.故選：C5.已知為等差數(shù)列，，則（）A.12 B. C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為.則，，所以.所以.故選：A6.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，，變形得，因?yàn)椋裕援?dāng)，即時(shí)，，所以，故選：D．7.下列選項(xiàng)中，曲線與在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一樣的是（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】依題意，，，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程解的個(gè)數(shù)，對(duì)于A，，由，得或，當(dāng)時(shí)，由，得，方程有4個(gè)解，共7個(gè)；對(duì)于B，，由，得或，當(dāng)時(shí)，，共5個(gè)；對(duì)于C，，由，得或，當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)解，方程有4個(gè)解，共7個(gè)；對(duì)于D，，由，得或，當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)解，方程有4個(gè)解，共7個(gè)，所以交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一樣的是.故選：B8.若不等式恒成立，則的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】設(shè)，則，.原不等式可化為：.因?yàn)椋裕?當(dāng)時(shí)，，所以在恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，，所以成立；當(dāng)時(shí)，，所以在上恒成立，所以.綜上可得：.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若正實(shí)數(shù)滿足，則（）A.的最大值是 B.的最小值是9C.的最大值是 D.的最小值是【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；對(duì)于D，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D錯(cuò)誤.故選：ABC10.若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【詳解】對(duì)于A，令，得；令，得，因此，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因此，B正確；對(duì)于C，令，即，得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，原等式兩邊求導(dǎo)得，令，得，D正確.故選：BD11.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.直線與曲線沒有交點(diǎn)B.已知點(diǎn)，則曲線上存在點(diǎn)，使得C.若過點(diǎn)的直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是D.點(diǎn)是曲線上在第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)向直線與直線作垂線，垂足分別為，則【答案】BCD【詳解】曲線，當(dāng)時(shí)，曲線，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一部分，當(dāng)時(shí)，曲線，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線在第四象限的部分，其漸近線方程為，焦點(diǎn)為，，當(dāng)時(shí)，曲線，表示焦點(diǎn)在軸上雙曲線第二象限的部分，其漸近線方程為，當(dāng)時(shí)，曲線，不表示任何圖形，對(duì)于A，由，解得，直線與曲線交于點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足時(shí)，，B正確；對(duì)于C，觀察圖形知，直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，直線的斜率，其方程為，由消去得，由，得，而此時(shí)，直線過點(diǎn)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，直線與（）交于2點(diǎn)，而曲線（）的漸近線為，直線與直線相交，則直線與曲線（）必有1個(gè)交點(diǎn)；由消去得，由，得，而此時(shí)，因此當(dāng)時(shí)，直線與曲線（）交于2點(diǎn)，與曲線（）必有1個(gè)交點(diǎn)，從而過點(diǎn)直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是，C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，則，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前4項(xiàng)的和為________．【答案】##0.8【詳解】數(shù)列中，由，得，而，則，所以.故答案為：13.已知曲線與直線有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)b的取值范圍是______.【答案】【詳解】曲線即，表示以為圓心，以1為半徑的一個(gè)半圓，直線表示斜率為1的一組平行線，當(dāng)直線過時(shí)，，當(dāng)直線和半圓相切時(shí)，由，解得或（舍去），要使曲線與直線有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，則b滿足，故答案為：.14.如圖，球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，球缺的體積公式是．已知正方體棱長(zhǎng)為1，則該正方體與以為球心，為半徑的球的公共部分的體積為________．【答案】【詳解】依題意，正方體與以為球心，為半徑的球的公共部分是球體的，去掉3個(gè)不含點(diǎn)的正方體的面所在平面截球所得球缺的，球的體積，高為的球缺體積，所以所求公共部分的體積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．（1）求角；（2）若，，且，求的面積．【答案】（1）（2）【小問1詳解】由正弦定理：，所以，所以，得.因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以.又，所以.【小問2詳解】如圖：因?yàn)椋詾榈闹匦?延長(zhǎng)交與點(diǎn)，則為中點(diǎn).因?yàn)椋?因?yàn)椋裕储僭谥校捎嘞叶ɡ淼茫孩谟散佗诘茫?所以.16.如圖（1），四邊形ABCD中，，分別為的中點(diǎn)，現(xiàn)以AC為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（如圖（2）），且．（1）證明：平面平面ACD；（2）若為PD上的一點(diǎn)，平面ACM與平面ACD的夾角為，求點(diǎn)到平面ACM的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）.【小問1詳解】在中，由，得，在中，，而，由余弦定理，得，則，即，由，得，則，又平面，因此平面，而平面，所以平面平面.【小問2詳解】連接，由分別為的中點(diǎn)，得，由（1）得平面，由，得，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，由點(diǎn)在PD上，令，設(shè)平面的法向量，則，取，得，而平面的法向量，則，解得，于是，而，則點(diǎn)到平面的距離，所以點(diǎn)到平面的距離為.17.已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：當(dāng)時(shí)成立．【答案】（1）；（2）證明見解析.【小問1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為.【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋坏仁剑?dāng)時(shí)，，則，令函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，；當(dāng)時(shí)，，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則存在，使得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，則；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此，，則，所以當(dāng)時(shí)，成立.18.已知雙曲線過點(diǎn)，其右焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，過作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線交的右支于兩點(diǎn)．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作兩條漸近線平行線交漸近線于，四邊形OEPG的面積是否為定值？若是求出該定值，若不是請(qǐng)說明理由；（3）在軸上是否存在定點(diǎn)，使恒成立，若存在求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）是定值，定值為；（3）存在定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為.【小問1詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)，雙曲線的漸近線，點(diǎn)到漸近線的距離，又，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】雙曲線：的漸近線為，由在雙曲線上，得，即，過點(diǎn)與直線平行的直線方程為，由，解得，得交點(diǎn)，依題意，四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)到直線的距離，所以四邊形的面積為定值.【小問3詳解】假設(shè)存在點(diǎn)，由（1）知，，由直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線的方程為，由消去得，設(shè)，，解得或，由，得，而，于是，則平分，因此直線的斜率互為相反數(shù)，即，，解得，所以在軸上存在定點(diǎn)，使恒成立.19.“三門問題”亦稱為蒙提霍爾問題，問題名字來自1970年美國(guó)的一個(gè)電視游戲節(jié)目主持人蒙提·霍爾.游戲中，參賽者會(huì)看見三扇關(guān)閉了的門，其中一扇門后面有一輛跑車，另外兩扇門后面則各藏有一只山羊，選中后面有車的那扇門可獲獎(jiǎng)贏得該跑車，主持人知道跑車在哪一扇門.當(dāng)參賽者選定了一扇門但未去開啟它的時(shí)候，節(jié)目主持人會(huì)開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出一只山羊.主持人隨后會(huì)問參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)閉的門.當(dāng)時(shí)大部分的觀眾和參與者都支持不換門，認(rèn)為換不換門獲獎(jiǎng)概率是一樣的.然而當(dāng)時(shí)智商最高的瑪麗蓮·沃斯·莎凡特給出了正確答案：應(yīng)該換門.（1）請(qǐng)用所學(xué)概率知識(shí)解釋瑪麗蓮·沃斯·莎凡特給出的答案；（2）證明：當(dāng)跑車門數(shù)不變，山羊門數(shù)增加，游戲中的參與者在主持人打開一扇山羊門后，換門都比不換門中獎(jiǎng)概率更高；（3）如果有扇門，其中一扇門后有10萬獎(jiǎng)金，其他門后什么都沒有，主持人知道哪一扇門后面有獎(jiǎng)金.當(dāng)參與者選中一扇門后（未打開），主持人問參與者是否愿意投入5000元，幫他在剩余的門中打開一扇沒有獎(jiǎng)金的門，并允許參與者換門.問當(dāng)門數(shù)滿足什么條件時(shí)，參與者投入5000元是值得的？【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析