2024~2025學年佛山市普通高中教學質量檢測（二）高三數學2025.4本試卷共4頁，19小題.滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必要填涂答題卷上的有關項目.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應的位置上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區域內；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效.4.請考生保持答題卷的整潔.考試結束后，將答題卷交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數（）A. B.25 C. D.5【答案】B【解析】【分析】應用復數的乘法化簡求值.【詳解】.故選：B2.已知集合，，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】應用集合的并運算求集合即可.【詳解】由題設.故選：B3.已知向量，，若，則實數（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】先利用線性運算坐標公式求得，然后利用向量垂直的坐標運算列式求解即可.【詳解】因為，，所以.若，則，所以，解得.故選：A4.在平面直角坐標系xOy中，曲線C：的周長為（）A.12 B.14 C.16 D.20【答案】D【解析】【分析】曲線C：去絕對值得四條線段，然后根據距離公式分別求出四條線段的長度，即可得解.【詳解】曲線C：等價于或或或.對于表示以和為頂點線段，其長度為，對于表示以和為頂點線段，其長度為，對于表示以和為頂點線段，其長度為，對于表示以和為頂點線段，其長度為，所以曲線C：的周長為.故選：D5.若，則（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用正切和角公式得到，展開要求式子，再代入求出答案.【詳解】因為，則，則，所以，則，所以.故選：D.6.學校舉辦籃球賽，將6支球隊平均分成甲、乙兩組，則兩支最強的球隊被分在不同組的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意結合排列組合公式和古典概型計算公式確定滿足題意的概率值即可.【詳解】由題意可知，兩支最強的球隊被分在不同組的分組組數為：，所有的分組組數為：，結合古典概型計算公式可得滿足題意的概率值為：.故選：C.7.已知函數，命題p：是奇函數，命題q：在上是減函數，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據奇函數的性質求參數值，結合指數等相關的函數性質判斷的區間單調性判斷充分性；根據的單調性，結合指數等相關的函數性質求參數判斷必要性，即可得.【詳解】若的奇函數，則，即恒成立，所以，則，在上單調遞增，所以在上是減函數，充分性成立；若在上是減函數，在上單調遞增，所以，故，此時不一定有，必要性不成立；所以p是q充分不必要條件.故選：A8.已知球O的表面積為，球面上有A，B，C，D四點，，，與平面所成的角均為，若是正三角形，則（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由題意三棱錐為正三棱錐，則正三棱錐的外接球的球心在高線上，作出圖形，根據外接球的表面積求出外接球半徑為，，根據線面角的定義得，根據勾股定理列出關于的等式，解出的值，即可得解.【詳解】由題意三棱錐為正三棱錐，球O為該正三棱錐的外接球，設其半徑為，因為球O的表面積為，所以，設，即正的邊長為，取中點，連接，作，根據正三棱錐的性質可知球心O在上，如下圖所示：根據線面角的定義知，則，因為，，所以，在中，，所以，解得或，即.（若球心O在的延長線上時，，求得，此時）故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.最小正周期為 B.是奇函數C.在上單調遞增 D.最大值為1【答案】BD【解析】【分析】根據三角函數的性質確定的關系判斷A；應用奇偶性定義判斷B；由特殊值判斷C；由，應用換元法及分式不等式的性質求函數的值域判斷D.【詳解】由，顯然不是的周期，A錯；由的定義域為R，且，所以為奇函數，B對；由解析式，易得，顯然在上不是單調遞增，C錯；由，令，則，且，若，則，又在、上都單調遞減，在上，，在上，，所以的最大值為1，D對.故選：BD10.市場監督管理局對9家工廠生產的甲、乙產品進行抽查評分，且得分的平均數分別為77、60，其中A工廠生產的產品得分如下表：分數名次（按高分到低分排名）甲產品754乙產品666則在此次抽查評分中（）A.9家工廠甲產品得分的中位數一定小于平均數B.9家工廠乙產品得分的中位數一定大于平均數C.9家工廠甲產品得分中一定存在極端高分數（高于平均數10分以上）D.9家工廠乙產品得分中一定存在極端低分數（低于平均數10分以上）【答案】ABD【解析】【分析】根據中位數的定義及已知判斷A、B；找到一個特殊數據判斷C；假設乙產品所有評分都為66分，結合平均數得差值，即可判斷D.【詳解】對于甲乙產品，9家工廠抽查評分從低到高的第5位是中位數，由75分是甲產品按高分到低分的第4位，即從低到高的第6位，故中位數小于等于75分，由66分是乙產品按高分到低分的第6位，即從低到高的第4位，故中位數大于等于66分，又甲、乙得分的平均數分別為77分、60分，A、B對；甲產品評分可以為，此時不存在極端高分數，C錯；對于乙產品，假設所有評分都為66分，則分，所以從低到高的前3個評分平均比66分低18分，故必存在極端低分數，D對.故選：ABD11.圓C過拋物線：上的兩點、，則（）A.圓C面積的最小值為B.圓C與拋物線的公共點個數為2或4C.若圓C與拋物線還有另外兩個交點P、Q，則P、Q的縱坐標之和為2D.若圓C與拋物線還有另外兩個交點P、Q，則直線PQ的斜率為2【答案】ACD【解析】【分析】由已知求得拋物線的方程，對于A，圓C以為直徑時，圓的面積最小，求出半徑，可得圓C的面積；對于B，寫出過、、的圓C的方程，與拋物線方程聯立，消元后的方程有3個解，則B錯誤；對于D，寫出直線的方程，設出直線的方程為，設出過、P、Q的曲線方程，由方程中的系數為0，可求得直線PQ的斜率的值；對于C，由直線的方程與聯立，消元后利用韋達定理可得P、Q的縱坐標之和.【詳解】因為點在拋物線：上，所以，解得，所以拋物線的方程為，對于A，因為圓C過拋物線上兩點、，則以為直徑時，圓的面積最小，半徑，此時圓C的面積為，故A正確；對于B，過、、的圓C的方程為，與聯立，得，所以或，解得或，則圓C與拋物線的公共點為，個數為3，故B錯誤；對于D，直線的方程為，由已知可知直線的斜率存在，設為，則直線的方程設為，設過、P、Q的曲線方程為，方程左邊的系數為，因為、P、Q的曲線方程為圓，所以，即，故D正確；對于C，直線的方程為，與聯立，得，設的縱坐標為，則，故C正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題.12.焦點分別為，且經過點的雙曲線的標準方程為_______.【答案】【解析】【分析】根據雙曲線的定義，設雙曲線的標準方程，將點坐標代入即可求解.【詳解】由題意得，可設雙曲線的標準方程為，將代入方程可得，解得或（舍），從而，，所以，故答案為：.13.已知的面積為，，，則______.【答案】2【解析】【分析】應用三角形面積公式可得，再由向量數量積的運算律有，結合已知即可得.【詳解】由題設，則，又，所以，則，綜上，.故答案為：214.已知函數，若有三個零點，，，則實數a的取值范圍為______；若，則的最大值為______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據解析式畫出大致圖象，數形結合可得參數范圍，進而有，且，，即可得，最后應用導數求最大值.【詳解】根據函數解析式，可得函數大致圖象如下，由有三個零點，則，由，而，則，又，則，，則，且，對于且，則，當，，在上單調遞增，當，，在上單調遞減，所以，綜上，最大值.故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數，.（1）若曲線在點處的切線與曲線也相切，求a；（2）若圖象恒在圖象的上方，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應用導數的幾何意義求得切線為，，根據切線重合列方程求參數值；（2）問題化為在上恒成立，導數研究右側的最大值，即可得參數范圍.【小問1詳解】由題設，則，則切線為，由，令，可得且，則，所以切線為，則，曲線在點處的切線與曲線也相切，則；【小問2詳解】由圖象恒在圖象的上方，則恒成立，所以在上恒成立，對應，則，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，所以，故.16.如圖，將一個棱長為2的正方體沿相鄰三個面的對角線截出多面體，E是的中點.過點C，E，的平面與該多面體的面相交，交線圍成一個多邊形.（1）圖中畫出該多邊形（說明作法和理由），并求其面積；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）作圖、理由見解析，多邊形面積為；（2）.【解析】【分析】（1）若為的中點，連接，結合正方體的結構易得共面，即得多邊形，進而求其面積；（2）先證平面平面，再求平面與平面的夾角的余弦值即可.【小問1詳解】若為中點，連接，顯然，所以共面，即交線圍成的多邊形為，由題意，為等腰梯形，且，，所以.【小問2詳解】由正方體的結構特征，易知，由平面，平面，則平面，同理得平面，都在平面內，所以平面平面，故平面與平面的夾角，即為平面與平面的夾角，而是棱長為的正四面體，所以.17.因部分乘客可能誤機，航空公司為減少座位空置損失，會對熱門航班售賣超過實際座位數的機票，簡稱“超售”.已知某次熱門航班的信息如下：①票價1000元，有195個座位，航空公司超售了5張票；②每一位乘客準時乘機的概率為，航空公司對誤機乘客不予以退費；③對于在超售情況下，如出現滿座導致個別旅客不能按原定航班成行，航空公司會讓受到影響的乘客乘坐下一趟非熱門航班，并賠償每人500元.（1）求該次航班不會發生賠償事件的概率；（2）航空公司在該次航班的收入記為Y，求.參考數據：若，則X的分布列部分數據的近似值如下：X0123456…P000.0020.0070.0170.0360.061…【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據利用對立事件概率公式和二項分布的概率公式求解即可；（2）根據實際乘機人數與座位數的關系，確定收入Y的取值，根據二項分布概率公式結合題目給的數值及期望公式求解即可.【小問1詳解】由每一位乘客準時乘機的概率為，得每一位乘客誤機的概率為，航班不會發生賠償事件，即實際乘機人數不超過195人，也就是誤機的乘客至少5人，設誤機人數為，則，所以該次航班不會發生賠償事件的概率為；【小問2詳解】設實際乘機人數為，則，當誤機人數時，該次航班的收入元，其概率為；當誤機人數時，有人乘機，需要賠償人，該次航班的收入元，其概率為；當誤機人數時，有人乘機，需要賠償人，該次航班的收入元，其概率為；當誤機人數時，有人乘機，需要賠償人，該次航班的收入元，其概率為；當誤機人數時，有人乘機，需要賠償人，該次航班的收入元，其概率為；當誤機人數時，有人乘機，需要賠償人，該次航班的收入元，其概率為；所以元18.在等差數列和等比數列中，和是下表第i行中的數（），且，，中的任何兩個數不在同一列，，，中的任何兩個數也不在同一列.

第一列第二列第三列第四列第一行1234第二行5678第三行9101112（1）請問滿足題意的數列和各有多少個？寫出它們的通項公式（無需說明理由）；（2）若的公比為整數，且.數列滿足，求的前n項和.【答案】（1）滿足題意的數列有4個，分別為，，，；滿足題意的數列有2個，分別為，；（2）【解析】【分析】（1）根據等差數列、等比數列的性質及題目中的數據分別求出數列的通項公式，即可解答；（2）結合（1）求出，裂項為，利用裂項相消法求和即可.【小問1詳解】對于等差數列，設公差為d，當時，則，所以，當時，則，所以，當時，則，所以，當時，則，所以，滿足題意的數列有4個，分別為，，，；對于等比數列，設公比為q，當時，則，所以，當時，則，所以，滿足題意的數列有2個，分別為，；【小問2詳解】因為的公比為整數，由（1）知，則，所以，所以，所以，所以，所以的前n項和.19.對于橢圓：上的任意兩點P，Q定義“”運算滿足：過點作直線直線（規定當P和Q相同時，直線就是在點P處的切線），若l與有異于S的交點T，則；否則.已知“”滿足交換律和結合律，記.（1）若，，求，以及；（2）對于上的四點，，，，求證：的充要條件是；（3）是否存在異于S的點P，使得？若存在，請求出P的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）存在，為或或.【解析】【分析】（1）依次寫出過的相關直線，聯立橢圓求交點，根據題設定義求，以及即可；（2）應用向量的坐標表示及三角恒等變換得，同理得，根據向量平行的坐標表示、輔助角公式化簡，即可證；（3）設，，根據平行關系及（2