2017年成人高等學校專升本招生全國統一考試高等數學（一）一、選擇題：每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求。1.當x0時，下列變量是無窮小量的為（）1A.B.2xC.sinxD.lnxex22x2.lim1（）xx0A.eB.e1C.e2D.e213.若函數fx2x,x0，在x=0處連續，則常數a=（e）a,x0A.0B.12C.1D.24.設函數fxxlnx，則fe（）A.-1B.0C.1D.25.函數fxx33x的極小值為（）A.-2B.0C.2D.46.方程x22y23z21表示的二次曲面是（）A.圓錐面B.旋轉拋物面C.球面D.橢球面17.若2xkdx1，則常數k（）0A.-2B.-1C.0D.18.設函數fx在a,b上連續且fx>0，則（）bbB.afxdx<0A.afxdx>0bD.abfxdx的符號無法確定C.afxdx0x1y2z39.空間直線的方向向量可取為（2）31A.（3，-1,2）B.（1，-2,3）C.（1,1，-1）D.（1，-1，-1）1n10.一直a為常數，則冪級數n1（2）naA.發散B.條件收斂C.絕對收斂D.斂散性與a的取值有關二、填空題：11～20小題，每小題4分，共40分。將答案填寫在答題卡相應題號后。x211.limx2sinx2_________12.曲線yx12x1的水平漸進方程為_________fxf1_________13.若函數fx滿足f12，則limx1x12114.設函數fxx，則fx_______x15.sinxcosxdx_______2216.012dx__________1x17.一直曲線yxx2的切線l斜率為3，則l的方程為_________218.設二元函數zlnxy，則z_________x219.設fx為連續函數，則ftdt__________x0xn20.冪級數的收斂半徑為_________3nn0三、解答題：21～28題，共70分，接答應寫出推理、演算步驟esinx1x21.求limx0x2x1t23，求dydx22.設y1t23.已知sinx是fx的一個原函數，求xfxdx1424.計算0dx1x25.設二元函數zx2y2xy1，求z及2zxxy26.計算二重積分xyydxdy，其中區域Dx,yx42222D27.求微分方程ydyxdx的通解228.用鐵皮做一個容積為V的圓柱形有蓋桶，證明當圓柱的高等于底面直徑時，所使用的鐵皮面積最小2017年成人高等學校專升本招生全國統一考試高等數學（一）試題答案解析1.【答案】C【解析】limsinxsin00x02.【答案】Cx22x22【解析】lim1lim1e2xxx0x03.【答案】B【解析】因為函數fx在x0處連續，則limfxlim1exaf012x02x04.【答案】D【解析】因為fxlnxxlnxlnx1，所以felne125.【答案】A【解析】因為fx3x3，令fx0，得駐點x11，x21，又fx6x2f16<0，f16>0，所以fx在x21處取得極小值，且極小值f11326.【答案】Dy1z11，所以原方程表示的是橢球面。22【解析】可將原方程化為x2237.【答案】C1【解析】2xkdxxkx011k1，所以k0208.【答案】A【解析】若在區間a,b上fx>0，則定積分abfxdx的值為由曲線byfx，直線xa，xb，y0所圍成圖形的面積，所以afxdx>09.【答案】Ax1y2z3【解析】因為直線方程為-1,2），所以其方向向量為（3，31210.【答案】B111【解析】n時，un1n20。un1n，nana2na2n1n1n111n發散。由萊布尼茨判別法na2121，而發散，所以因為nannn1n11n知，vn12>vn1na1，且limvn0，則1nvn收斂。故nn1n1n1a2na2條件收斂。11.【答案】1x21【解析】limsinx2sinx21x2x2limx212.【答案】y12112【解析】limx1lim2x11x12xxx13.【答案】1fxf12。x1【解析】f1limx1limfxf1limfxf11fxf1limx1x11211limx21x1x1x1x12x1x114.【答案】11x21111【解析】因為fxx，fxxxxx215.【答案】2【解析】2sinxcosxdxsinxdxcosxdx022cosxdx2sinx02202222216.【答案】212dxarctanx0【解析】01x217.【答案】3xy30【解析】曲線上某一點的切線斜率為ky2x1，因為該切線的斜率為3，則k2x13，x1，yx10，即切線過點（1,0），所求切線為y3x1，即3xy302x18.【答案】xy2zxyx2xy2【解析】zlnxy，2xx2219.【答案】fx【解析】ftdtfxx020.【答案】3【解析】liman1limn11，故冪級數的收斂半徑R133nxna3n33n0nnn21.【答案】limexsinx1limecosxlim2xxexsinx1x222x0x0x0dy22.【答案】dydxdt3t23t2dxdt2t23.【答案】因為sinx是fx的一個原函數，所以xfxdxxfxfxdxxfxsinxC24.【答案】設xt，則xt2,dx2tdt,0t212tdt21t2dx001x1dt1t2210ln1t02t22022ln342ln325.【答案】因為zxxy1，所以y22z2xyy12z2xyx122z4xyxy26.【答案】D可表示為02,0r2dr21r2216322rx2y2dxdyrrdrdd20003DD27.【答案】ydyxdx2ydyxdx2兩邊同時積分。1y21