名校聯(lián)考聯(lián)合體2025年春季高一年級(jí)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（B卷）時(shí)量：120分鐘滿分：150分（考試范圍：必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)第六、七章及第八章1~4節(jié)）一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】聯(lián)立方程組，計(jì)算出，得到交集.【詳解】由方程組，解得，則.故選：C．2.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法結(jié)合共軛復(fù)數(shù)概念可得答案.【詳解】，則.故選：B．3.已知，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】若，則，即，故選：A．4.下列說法正確的是（）A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.水平放置的矩形的直觀圖是平行四邊形C.若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行D.以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐【答案】B【解析】【分析】根據(jù)公理判定A的真假；根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則判斷B的真假；根據(jù)線面平行的性質(zhì)判斷C的真假；根據(jù)圓錐的概念判斷D的真假.【詳解】共線的三點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；由斜二測(cè)畫法規(guī)則知，B正確；若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的直線有可能異面，故C錯(cuò)誤；以直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)圓錐的組合體，故D錯(cuò)誤．故選：B5.若向量，，兩兩的夾角均為，且，，，則（）A.4 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)數(shù)量積的定義求，，，再根據(jù)可求.【詳解】，.則，則.故選：C6.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測(cè)量某建筑的高度，選取了與O在同一水平面且在同一水平線上的A，B，C三處．已知在A，B，C處測(cè)得該建筑頂部P的仰角分別為，，，，則該建筑的高度（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意，利用由余弦定理計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，在中，，則，解得，則.故選：B．7.已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可得方程在區(qū)間上有解，然后由函數(shù)知識(shí)求得函數(shù)在區(qū)間上的值域可得答案.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)方程在區(qū)間上有解，函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，則.故選：D．8.已知函數(shù)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.是周期為2的函數(shù)B.C.函數(shù)為奇函數(shù)D.函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)有，再作進(jìn)一步變形判斷A；利用周期性及已知區(qū)間解析式求函數(shù)值判斷B；由奇偶性定義判斷C；問題化為和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合判斷D.【詳解】A，為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，即，則是以4為周期函數(shù)，錯(cuò)誤；B，是上的奇函數(shù)，則是以4為周期的函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則，則，所以，錯(cuò)誤；C，為偶函數(shù)，所以，即，故是偶函數(shù)，錯(cuò)誤；D，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，而，結(jié)合和的圖象，共有5個(gè)交點(diǎn)，正確．故選：D二、選擇題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知，令，則下列結(jié)論正確的是（）A.的定義域是B.的解集為C.是奇函數(shù)D.在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)真數(shù)大于0得到不等式，求出定義域；B選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和定義域得到不等式，求出不等式解集；C選項(xiàng)，先求出函數(shù)定義域，再得到，C正確；D選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而得到D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，由已知，，故，解得，所以的定義域?yàn)?，A正確；B選項(xiàng)，由，得解得正確；C選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，又，∴為奇函?shù)，C正確；D選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤．故選：ABC10.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.的單調(diào)遞增區(qū)間為B.在區(qū)間上的值域?yàn)镃.若的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，則D.若在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】由正弦型函數(shù)的性質(zhì)，圖象的平移變換及函數(shù)的零點(diǎn)問題逐項(xiàng)判斷求解即可.【詳解】對(duì)于A，由，解得，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，令，由得上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的值域?yàn)?，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，又，即，，即，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，令在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，解得，選項(xiàng)D正確．故選：ACD11.如圖，在長(zhǎng)方體中，，分別為，的中點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.四點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)B.三條直線，，有公共點(diǎn)C.直線與直線不是異面直線D.直線上存在點(diǎn)使，，三點(diǎn)共線【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)平行關(guān)系可證，即可得四點(diǎn)共面；對(duì)于B：根據(jù)平面的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)異面直線的判定定理分析判斷；對(duì)于D：可知與相交，即可判斷.【詳解】作圖，如圖：對(duì)于選項(xiàng)A：連接，因?yàn)椋芍獮槠叫兴倪呅危瑒t，又因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，則，可得，所以四點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：延長(zhǎng)，則相交于點(diǎn)，即，又因?yàn)槠矫?，平面，則平面，平面，且平面平面，所以，即三條直線，，有公共點(diǎn)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槠矫?，平面，，所以直線與直線是異面直線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榫谄矫鎯?nèi)，連接，則與相交，所以直線上存在點(diǎn)使，，三點(diǎn)共線，故D正確；故選：ABD.三、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12.計(jì)算：______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算律計(jì)算求解.【詳解】．故答案為：.13.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為20，分別以邊AB和CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心畫弧AO和CO，以直線EF為軸旋轉(zhuǎn)，弧AO，CO和線段AE，CF旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的表面積是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)所成的兩個(gè)半球，且可合為一個(gè)半徑為10的球體，即可求表面積.【詳解】由圖象知，以直線為軸旋轉(zhuǎn)，弧和線段旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是兩個(gè)半徑均為10的半球，可合為一個(gè)完整的球，故幾何體的表面積為一個(gè)球的表面積加兩個(gè)圓的面積，即．故答案為：14.如圖，已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AB的中點(diǎn)，E是BC的一個(gè)靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，連接AF交BC于點(diǎn)G．若，則的值是______；若，則的值是______．【答案】①.②.##0.4【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算表示出，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求解，即可得第一空答案；過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，表示出，結(jié)合求出，即得，繼而推得，即可得第二空答案.【詳解】因，所以，所以．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，則，，解得，所以，又，而，所以，解得，所以，所以，即得．故答案為：；四、解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知平面向量，，．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值及此時(shí)x的值．【答案】（1）（2）時(shí)，的最小值為0【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合三角恒等變換可得的解析式，利用正弦函數(shù)周期公式，即可求得答案；（2）根據(jù)，確定，利用正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【小問1詳解】，故函數(shù)的最小正周期為．【小問2詳解】由，可知，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性知在時(shí)取得最小值，此時(shí)，所以取得，．16.已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求的面積．【答案】（1）（2）15【解析】【分析】（1）方法一：根據(jù)求點(diǎn)坐標(biāo).方法二：根據(jù)先求，再根據(jù)可求點(diǎn)坐標(biāo).（2）先求，判斷的形狀，再求其面積.【小問1詳解】法一：設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，又，所以，即，解?所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．法二：由向量加法的平行四邊形法則可知，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，，而，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．【小問2詳解】由（1）可知，，則，故，因此是直角三角形．.17.如圖，在三棱錐A-BCD中，為三棱錐的高，，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，且，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，．（1）線段上是否存在一點(diǎn)N，使得M，N，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)N的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）求三棱錐的外接球的體積．【答案】（1）存在，當(dāng)為的中點(diǎn)，證明見解析（2）【解析】【分析】(1)已知E，F(xiàn)分別為、上的三等分點(diǎn)，可證，據(jù)傳遞性，為的中點(diǎn)時(shí)，，滿足題設(shè)；(2)據(jù)線面垂直的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，可發(fā)現(xiàn)M到各頂點(diǎn)距離相等，為外接球球心，問題可得解.【小問1詳解】存在，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)滿足條件．證明如下：如圖，連接，則是的中位線，所以，又，所以，所以，所以四點(diǎn)共面．【小問2詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，為三棱錐的高，所以，所以，又，所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，則外接球的半徑為，三棱錐的外接球的體積為．18.已知a，b，c分別為的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．（1）判斷的形狀；（2）若D為AC的中點(diǎn)，且，求面積的最大值及此時(shí)的三邊長(zhǎng)．【答案】（1）等腰三角形．（2）最大值為6，【解析】【分析】（1）方法一：根據(jù)正弦定理、余弦定理，從邊的角度判斷三角形的形狀.方法二：利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊化角，再結(jié)合三角形內(nèi)角和公式與兩角和的余弦公式，從角的角度判斷三角形的形狀.（2）方法一：在和中，利用余弦定理表示，列式可得的數(shù)量關(guān)系，再結(jié)合基本不等式可求面積的最大值及對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng).方法二：建立平面直角坐標(biāo)系，用解析法探索的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式可求面積的最大值及對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng).【小問1詳解】法一：，由正弦定理得，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，即，故為等腰三角形．法二：，由正弦定理得，整理得，即，，即，，整理得，即，故為等腰三角形．【小問2詳解】法一：由為的中點(diǎn)，且，可得，由余弦定理得，，整理得，如圖1，過點(diǎn)向作垂線，垂足為點(diǎn)，由（1）易知，在中，由勾股定理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最大值為6，由解得，綜上，面積的最大值為6，此時(shí)．法二：建立平面直角坐標(biāo)系如圖2，由（1）可得，由為的中點(diǎn)可得，因?yàn)椋蓛牲c(diǎn)間距離公式可得，整理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最大值為6，由，可得，則，綜上，面積的最大值為6，此時(shí).19.將函數(shù)的圖象整體沿x軸正方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度（時(shí)沿y軸正方向平移，時(shí)沿y軸負(fù)方向平移），得到新函數(shù)的圖象，若新函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象重合，稱原函數(shù)在方向上具有平移不變性．是函數(shù)在方向上具有平移不變性的充要條件．例如：在方向上具有平移不變性．（1）判斷以下三個(gè)函數(shù)是否具有平移不變性，若具有該性質(zhì)，則直接寫出一個(gè)平移方向．①；②（其中表示不超過x的最大整數(shù)）；③．（2）已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)是，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是，現(xiàn)函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，．（?。┣簏c(diǎn)先關(guān)于直線對(duì)稱再關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）證明在方向上具有平移不變性；（ⅲ）求．【答案】（1）在方向上具有平移不變性；在方向上具有平移不變性；在方向上具有平移不變性．（2）（?。?；（ⅱ）證明見解析；（ⅲ）【解析】【分析】（1）由平移不變性定義結(jié)合函數(shù)周期性可得答案；（2）（ⅰ）由題中所提及信息可得答案；（ⅱ）設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，由題中信息可得在函數(shù)的圖象上，即可完成證明；（ⅲ）由（ⅱ）可得，然后令，結(jié)合，在上可得答案.【小問1詳解】注意到；；．所以函數(shù)在方向上具有平移不變性；函數(shù)在方向上具有平移不變性；函數(shù)在方向上具有平移