山西省呂梁市2023?2024學年高一下學期期中質量檢測數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．復數在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，若，則實數（

）A． B． C．6 D．3．已知某圓柱的表面積是其下底面面積的4倍，則該圓柱的母線與底面直徑的比為（

）A． B． C． D．4．在中，內角，，所對的邊分別為，，，若，，，則（

）A． B． C． D．5．已知向量，若向量在向量上的投影向量為，向量在向量上的投影向量為，則（

）A． B．2 C． D．6．如圖，在中，已知，將以為軸旋轉一周形成的幾何體的體積為，以為軸旋轉一周形成的幾何體的體積為，若V1=2V2，則ACBC=（

）

A． B． C． D．7．已知非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知某圓臺的體積為1423π，其軸截面為梯形，，，則在該圓臺的側面上，從點到的最短路徑的長度為（

）A． B． C．6 D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．一個多面體至少有4個面B．圓柱的母線與它的軸可以不平行C．用任意一個平面截球得到的截面都是一個圓面D．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱10．如圖，某旅游部門計劃在湖中心處建一游覽亭，打造一條三角形游覽路線．已知是湖岸上的兩條甬路，（觀光亭視為一點，游覽路線、甬路的寬度忽略不計），則（

）A．B．當時，C．面積的最大值為D．游覽路線最長為11．已知兩個非零向量，定義新運算，則（

）A．當時，B．對于任意非零向量，都有C．對于不垂直的非零向量，都有D．若，則三、填空題（本大題共3小題）12．用斜二測畫法作一個水平放置的平行四邊形的直觀圖，若直觀圖是一個角為，邊長為2的菱形，則原來的平行四邊形的面積為．13．白銀比例是指事物各部分間存在著一定的數學比例關系，其比值為，具有很好的美感，在設計與建筑領域有廣泛應用．在矩形中，，從矩形中截取一個正方形，剩下的矩形的寬與長之比為白銀比例，則．14．在四面體ABCD中，，，，，，，則四面體ABCD的外接球的表面積為，四面體ABCD的體積為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知復數滿足為純虛數，．(1)求以及；(2)設，若，求實數的值．16．在中，內角所對的邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)若，判斷的形狀并說明理由．17．如圖，在中，，點滿足邊上的中線與交于點．設．

(1)用向量表示；(2)求的大小．18．如圖，一個圓錐挖掉一個內接正三棱柱（棱柱各頂點均在圓錐側面或底面上），若棱柱側面落在圓錐底面上．已知正三棱柱底面邊長為，高為2．

(1)求挖掉的正三棱柱的體積；(2)求該幾何體的表面積．19．如果三角形的一個內角等于另外一個內角的兩倍，我們稱這樣的三角形為倍角三角形，如在中，若，則為倍角三角形，其中角叫做2倍角，角叫做1倍角．(1)利用正、余弦定理證明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所對邊的平方等于1倍角所對邊乘以該邊與第三邊之和；(2)記的內角的對邊分別為．已知且的面積為，求的周長．

參考答案1．【答案】C【解析】利用復數的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數，化簡復數，從而可得結果.【詳解】由復數的運算法則可得，則該復數在復平面內所對應的點為，該點位于第三象限，故選C.2．【答案】D【詳解】由，得，解得，故選：．3．【答案】B【詳解】設圓柱的底面半徑為，母線為，則，所以，所以，故選：B．4．【答案】B【詳解】由正弦定理得，所以，因為，所以，所以，則，故選：B．5．【答案】D【詳解】由，得，，向量在向量的投影向量為，則；向量在向量上的投影向量為，則，所以.故選：D.6．【答案】A【詳解】分別過頂點向對邊作垂線，垂足分別為點，如圖所示，

設，，則CD=12b,AD=則形成的幾何體都可以看做一個大圓錐挖去一個小圓錐，所以可得V1V2所以V1V2故選：A．7．【答案】C【詳解】由，得，由，得，整理得，所以，則，設向量的夾角為，則．故選：．8．【答案】B【詳解】由圓臺軸截面為等腰梯形，故對邊不是母線，分別是下、上底面圓的直徑.故由，得圓臺的下底面的半徑為，上底面的半徑為，設圓臺的高為，由圓臺的體積為V=142得V=13r在梯形中，則BC=2-12+(2如圖，由圓臺性質，延長AD,BC,OO1交于點由與相似，得PCPC+BC=rR,設該圓臺的側面展開圖的圓心角為，則3α=2πr=2π，所以，連結，則從點到的最短路徑為線段，又在中，PC=3,PA=6，∠CPA=12由余弦定理得A所以AC=6驗證知，由PC=3,PA=6，得，PA2此時，恰與扇形弧所在圓相切，滿足題意.故選：B.9．【答案】AC【詳解】對于A，多面體至少有4個面，故A正確；對于B，圓柱的母線與它的軸平行，故B錯誤；對于C，用任意的平面截一個球得到的截面都是一個圓面，故C正確；對于D，滿足條件的幾何體可能是組合體，如圖所示，故D錯誤．故選：AC．10．【答案】ACD【詳解】在中，由余弦定理得，所以正確；在中，由正弦定理，得錯誤；在中，由余弦定理，，當且僅當時等號成立，所以，則的面積為，C正確；由上可得，所以，當且僅當時等號成立，所以，D正確.故選：ACD.11．【答案】BD【詳解】設為向量與的夾角，由新運算可知，，對于A，由上可知，則，又，所以，則，當為鈍角時，，即，故A錯誤；對于B，因為，，所以，故B正確；對于C，設為非零常數，則，當時，，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，又，所以，所以中至少一個為0，則，故D正確，故選：BD．12．【答案】8【詳解】根據斜二測畫法可知，原來的平行四邊形為一個矩形，且該矩形的寬為2，長為4，故原來的平行四邊形的面積為，故答案為：8．13．【答案】/【詳解】如圖，由已知得，，由白銀比例可知，所以，則，則，又，且，，所以.故答案為：.14．【答案】；1.【分析】勾股定理判斷出為直角三角形，取BD的中點O，O為四面體ABCD的外接球的球心，可求得四面體ABCD的外接球的表面積；將四面體ABCD補成直三棱柱，根據求出體積.【詳解】在四面體ABCD中，，，，，，因為，所以為直角三角形，因為，所以為直角三角形，取BD的中點O，則，所以O為四面體ABCD的外接球的球心，則BD為四面體ABCD的外接球的直徑，所以四面體ABCD的外接球的表面積為；將四面體ABCD補成直三棱柱，如圖，，，，，所以，，所以，即，故四面體ABCD的體積為.故答案為：；1.【方法總結】解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.15．【答案】(1)；(2)1或5【詳解】（1）設，則，由為純虛數，得①，且，由，得②，由①②解得，驗證知，滿足題意.所以.（2）由（1）可知，，由，得，整理，得，解得或.故實數的值為1或5.16．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）在中，因為，所以由正弦定理得，由余弦定理得，由，所以.（2）因為，故，即，又，則，所以為等腰三角形.17．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由可知，，則，所以；又為邊上的中線，所以．（2）由得，又，所以向量與的夾角為，則，由圖形可知，的大小等于向量與的夾角，又，，，所以，又，所以．18．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）因為正三棱柱的底面邊長為，高為2，則，所以正三棱柱的體積．（2）在正三棱柱中，由（1）知，，，設圓錐的底面圓圓心為O，則O是矩形的中心，設圓O半徑為，有，即，令的中點為，連接，則，且，，，于是，解得，則圓錐的母線長，圓錐的底面圓面積，側面積，三棱柱的表面積為，所以該幾何體的表面積為：.

19．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設的內角的對邊分別為，已