山西省百師聯盟2024?2025學年高二下學期3月聯考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．書架上有10本不同的自然科學圖書和9本不同的社會科學圖書，甲同學想從中選出1本閱讀，則不同的選法共有（

）A．9種 B．10種 C．19種 D．90種2．現有3名同學站成一排，再將甲、乙2名同學加入排列，保持原來3名同學順序不變，不同的方法共有（

）A．12種 B．20種 C．6種 D．8種3．用數字0，1，2，3，4，5組成的沒有重復數字的三位數中，偶數的個數為（

）A．60 B．52 C．32 D．204．在的展開式中，的系數為（

）A． B．12 C． D．805．某冷飲店有種瓶裝飲品可供選擇，現有位同學到店，每人購買一瓶，則恰好購買了種飲料的購買方法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種6．在展開式中，含的項的系數是，則（

）A． B． C．3 D．67．若函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．設集合，那么集合中滿足的元素的個數為（

）A．232 B．144 C．184 D．252二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓的半徑為2，則下列說法正確的是（

）A．B．點在圓的外部C．圓與圓外切D．當直線平分圓的周長時，10．下列說法正確的是（

）A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B．直線的方向向量，平面的法向量，則C．已知直線經過點，，則到的距離為D．若，則為鈍角11．“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現．如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數都是1外，其余每個數都是其“肩上”的兩個數之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和．則下列命題中正確的是（

）．第0行第1行第2行第3行第4行第5行第n行11

11

2

11

3

3

11

4

6

4

11

5

10

10

5

1第n行A．在第10行中第5個數最大B．C．第8行中第4個數與第5個數之比為D．在楊輝三角中，第n行的所有數字之和為三、填空題（本大題共3小題）12．在的二項展開式中，第4項的二項式系數是．13．在的二項展開式中，所有二項式系數之和為128，則展開式共有項．14．我國南宋數學家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項展開式的系數規律，現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得數列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，記作數列，則；若數列的前項和為，則.四、解答題（本大題共5小題）15．在平面直角坐標系內，已知曲線方程．(1)若方程表示圓，則圓有多少個？(2)若方程表示橢圓，則橢圓有多少個？16．現有甲、乙、丙、丁、戊五類不同的書，放入四個窗格的書架中．(1)每個窗格從五類書中選一類放入（書的本數不限），共有多少種放法？(2)若甲、乙兩類書必須放在同一窗格，丙、丁、戊分別放到剩余三個窗格內，共有多少種放法？17．已知（其中）的展開式中第9項與第11項的二項式系數之和是第10項的二項式系數的2倍．(1)求n的值；(2)寫出該二項式的展開式中所有的有理項．18．從7名男生和5名女生中選取3人依次進行面試．(1)若參加面試的人全是女生，則有多少種不同的面試方法？(2)若參加面試的人中，恰好有1名女生，則有多少種不同的面試方法？19．現有大小相同的8個球，其中2個標號不同的紅球，3個標號不同的白球，3個標號不同的黑球．（結果用數字作答）(1)將這8個球排成一列且相同顏色的球必須排在一起，有多少種排法？(2)將這8個球排成一列，黑球不相鄰且不排兩端，有多少種排法？(3)若從8個球中任取4個球，且各種顏色的球都被取到，有多少種取法？

參考答案1．【答案】C【詳解】由分類加法計數原理知，不同的選法種數為.故選C.2．【答案】B【詳解】原來名同學站成一排，有個空位可以插入甲同學，所以甲同學有種不同的排法.當甲同學插入后，此時包括原來名同學和甲同學一共有個人，這個人形成了個空位，所以乙同學有種不同的排法.故完成將甲、乙名同學加入排列這件事，分兩步：第一步甲同學有種排法，第二步乙同學有種排法，那么根據分步乘法計數原理，不同的方法共有（種）.故選B.3．【答案】B【詳解】末位是0的有，末位不是0的有：，共有20＋32＝52個．故選B.4．【答案】C【詳解】的二項展開式的通項為：，令，解得，故的系數為，故選C．5．【答案】A【詳解】先指定購買的種飲料，共種，要求這位同學只能購買這種飲料，利用間接法，每位同學共有種選擇，共種購買方法，除去位同學所買的飲料都是同一種，共種情況，由分步乘法計數原理可知，恰好購買了種飲料的購買方法種數為種.故選A.6．【答案】D【詳解】由題可得含的項為，所以，解得．故選D．7．【答案】A【詳解】函數，.則，因為在區間上單調遞減，則在區間上恒成立，即，所以在區間上恒成立，所以，解得，故選A.8．【答案】A【詳解】由題意可得或或，下面分三種情況討論：（1），此時中有一項為，其余均為，且的情況為一個，或一個，故此時集合中元素的個數為；（2），此時中有兩項為，其余均為，且的情況為兩個，或者兩個，或者一個和一個，故此時集合中元素的個數為；（3），此時中有三項為，其余均為，且的情況為三個，或者兩個和一個，或者一個和兩個，或者三個，故此時集合中元素的個數為；綜上可得集合中的元素的個數為.故選A.9．【答案】ABC【詳解】根據題意得，解得，A正確．由選項A可知，圓，圓心為，半徑為2．因為，所以點在圓的外部，B正確．圓的圓心為，半徑為8，因為，所以圓與圓外切，C正確．若直線平分圓的周長，則直線過圓心，則，解得，D錯誤．故選ABC．10．【答案】AC【詳解】A：對于空間向量，若，空間中任意兩個向量均是共面的，即、均共面，所以一定共面，故A對；B：因為，,所以與不平行，故不成立，故B錯；C：由題設，，則直線上的單位方向向量為，故，所以到直線的距離，故C對；D：當反向共線時，也有，但此時不是鈍角，故D錯.故選AC.11．【答案】BC【詳解】對于A：第10行是二項式的展開式的系數，所以第10行中第個數最大，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：第8行是二項式的展開式的系數，又展開式的通項為，所以第4個數為，第5個數為，所以第4個數與第5個數之比為，故C正確；對于D：第n行是二項式的展開式的系數，故第n行的所有數字之和為，故D錯誤．故選BC．12．【答案】20【詳解】在的二項展開式中，第4項的二項式系數為．13．【答案】8【詳解】在的二項展開式中，所有二項式系數之和為，解得，則二項展開式共有8項．14．【答案】【詳解】由題意可知是第5行第4個數，所以；使得每行的序數與該行的項數相等，則第行最后項在數列中的項數為：設位于第行，則：，解得：且第行最后一項在數列中的項數為：，位于楊輝三角數陣的第行第個而第一行各項和為，第二行各項和為，第三行各項的和為依此類推，第行各項的和為.15．【答案】(1)5(2)20【詳解】（1）因為方程表示圓，所以．因為，所以共有5種情況，即圓有5個．（2）因為方程表示橢圓，所以．因為，所以當焦點在軸上時，，當時，沒有對應的值，有0個橢圓；當時，，有1個橢圓；當時，，有2個橢圓；當時，，有3個橢圓；當時，，有4個橢圓．由分類加法計數原理知，焦點在軸上的橢圓有個．焦點在軸上的橢圓與焦點在軸上的橢圓個數相同，有10個．綜上所述，滿足題意的橢圓共有個16．【答案】(1)625(2)24【詳解】（1）第1個窗格，從五類書中任選一類，有5種選法，同理，第2，3，4個窗格也分別有5種選法，由分步乘法計數原理可得，共有種放法．（2）先放甲、乙，有4種放法；再放丙，有3種放法；然后放丁，有2種放法；最后放戊，剩1種放法．由分步乘法計數原理可得，共計種放法．17．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）（其中）的展開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數分別是，，．依題意得，，即，化簡得，即，解得或．因為，所以．（2）由（1）知，，故二項式的展開式的通項，當且僅當是6的倍數時，展開式中的項是有理項，又，，所以展開式中的有理項共3項，分別是當時，；當時，；當時，．18．【答案】(1)60(2)630【詳解】（1）由題意從5名女生中選取3人依次進行面試，結合排列數的意義可知相當于從5名女生中選取3人依次進行排列，此時對應有種不同的面試方法.（2）安排滿足題意的面試順序一共需要分以下兩大步：一方面：由題意先抽取符合題意的組合，這里可以分為兩小步：第一步從5名女生中選取1名女生；第二步從7名男生中選取名男生；由分步乘法計數原理可得符合題意的組合有種.另一方面：注意到3名面試者是依次進行面試的，即再對剛剛組合好的3名面試者進行一次排列，有種排列方法.結合以上兩方面且由分步乘法計數原理可知滿足題意的不同的面試方法有種.19．【答案】(1)432(2)2880(3)45【詳解】（1）把相同顏色的球看成一個整體，