第二章開放光學諧振腔開放諧振腔模式衍射理論光學諧振腔的損耗開放光學球面諧振腔的穩(wěn)定性一般球面穩(wěn)定腔模式非穩(wěn)腔第二節(jié)開放光學球面諧振腔的穩(wěn)定性平行平面腔中的光線傳播，實際光束寬度不可能無限大，總是存在衍射和發(fā)散角建立激光振蕩需要滿足增益條件和光學正反饋條件如何約束（旁軸）光線在腔內(nèi)往返傳播不橫向逸出腔外？光學諧振腔的幾何偏折損耗問題一、光線變換（傳輸）矩陣（ABCD矩陣）1.表示光線的參數(shù)

r

－光線離光軸的距離

－光線與光軸的夾角傍軸光線

tg

sin

rqr和θ符號規(guī)定：其它約定（呂百達，激光光學，第三版，高教社）：①反射面曲率半徑R，對凸面反射鏡R<0,對凹面反射鏡R>0。②會聚透鏡的焦距f>0，發(fā)散透鏡的焦距f<0.③球面波波面曲率半徑R，對發(fā)散球面波R>0,會聚球面波R<02.自由空間區(qū)的光線矩陣LA處：r0,q0B處：r’,q’

AB自由空間光線矩陣

3.介質(zhì)交界面的光線矩陣入射出射4.球面鏡反射矩陣（薄透鏡變換矩陣）薄透鏡與球面反射鏡等效fR平方折射率介質(zhì)5.變換矩陣的基本性質(zhì)ABCD矩陣的一個重要性質(zhì)是它的行列式之值detT僅由入射光線和出射光線所在空間折射率n1、n2決定，即當入射光線和出射光線位于折射率相同空間時但相位共軛鏡的光線變換矩陣為一例外。證明參見《矩陣光學》，盧亞雄，大連理工大學出版社變換矩陣的基本性質(zhì)與光學中的拉格朗日-赫姆霍茲不變式等價。6.ABCD矩陣的應用－球面鏡腔的往返矩陣球面鏡腔中往返一周的光線矩陣（簡稱往返矩陣）

往返n次的光線矩陣

其中n7.謝爾威斯特（Sylvester）定理

設矩陣T滿足

則

證明：①n=1時顯然成立。②n=k時③n=k+1時得證二、開放光學球面諧振腔的穩(wěn)定性條件光腔的構成與分類0.2mm介質(zhì)波導腔，半導體激光器

2>1，

2>3

其中n共軸球面鏡腔的穩(wěn)定判據(jù)*An,Bn,Cn,Dn

矩陣元有界，說明光線經(jīng)過n次往返不逸出腔外，關鍵因子f

應為實數(shù)，且不等于kp開放光學球面諧振腔的穩(wěn)定性條件對復數(shù)

等于1的情況應做具體分析討論：實數(shù)(≠kπ)，An,Bn,Cn,Dn有界

穩(wěn)定腔(1)復數(shù)，

n

An,Bn,Cn,Dn

非穩(wěn)定腔(2)(3)沒有幾何偏折損耗（又稱橫向逸出損耗或逃逸損耗）對于一定幾何結構的球面腔是一個不變量，與光線的初始坐標、出發(fā)位置及往返一次的順序都無關旁軸光線在腔內(nèi)經(jīng)有限次往返后必然從側面逸出腔外，這類腔具有較高的幾何損耗極限情形

臨界腔（介穩(wěn)腔）其穩(wěn)定性應做具體分析

臨界腔的典型例子

平行平面鏡腔(R=

)，

3.共心腔R1+R2=L

臨界腔非穩(wěn)腔穩(wěn)定腔2.對稱共焦腔

R1=R2=L

往返兩次自行閉合

穩(wěn)定腔

適用任何形式的腔,只需列出往返矩陣就能判斷其穩(wěn)定性如何理解平面波？如何理解球面波？穩(wěn)定判據(jù)另一表達式

適用于簡單的共軸球面鏡腔(直腔)要求掌握：給定R1,R2，根據(jù)穩(wěn)定條件，確定使諧振腔處于穩(wěn)定的腔長允許值范圍穩(wěn)區(qū)圖

多元件諧振腔的穩(wěn)定性判別

1.腔內(nèi)有介質(zhì)棒

光線從第一鏡面出發(fā)，穿過介質(zhì)棒到達第二鏡面的傳播矩陣介質(zhì)棒等效長度l/η（不是光學長度)穩(wěn)定性條件第三節(jié)光學諧振腔的損耗對于實際激光諧振腔，損耗是不可避免的。對于確定的激光頻率和小信號增益系數(shù)，光學損耗決定了激光器能否起振和輸出功率的大小。諧振腔損耗主要有以下機制：輸出損耗：產(chǎn)生激光有效輸出，對于諧振腔而言是一種損耗。衍射損耗：幾何偏折損耗：光線從側面逸出，對穩(wěn)定腔該損耗為零吸收、散射損耗：激光介質(zhì)的氣泡、雜質(zhì)等引起插入損耗：腔內(nèi)插入其他光學元件的損耗2aL光學諧振腔的損耗一般用平均單程損耗指數(shù)因子δ，腔內(nèi)光子平均壽命τR，Q值以及無源腔線寬?νc來描述，這些參數(shù)是從不同角度反映諧振腔的損耗。2.3.1

平均單程損耗指數(shù)因子從諧振腔某一參考面RP出發(fā)的光束光強為I0，經(jīng)過腔內(nèi)往返一周后，因為各種損耗使得光強變?yōu)镮1,諧振腔平均單程損耗因子定義為：假設兩個諧振腔鏡的反射率分別為R(1)和R(2)，腔內(nèi)其它的所有損耗用指數(shù)因子a表示。根據(jù)比較以上兩式，得總的單程損耗指數(shù)因子為各單程損耗指數(shù)因子之和2.3.2

腔內(nèi)光子平均壽命τR假設初始光強為I0的光束在腔內(nèi)往返m次后的光強為Im，所需時間為t：L'為諧振腔光程長定義τR諧振腔損耗越小，腔內(nèi)光子的平均壽命越長。光強可表示為光強與光子數(shù)密度成正比N0個光子的平均壽命2.3.3

諧振腔的品質(zhì)因數(shù)Q諧振腔品質(zhì)因數(shù)的定義：ε為腔內(nèi)儲存的總能量，P為單位時間損耗的能量設V為諧振腔的體積腔內(nèi)光子的平均壽命越長，諧振腔的品質(zhì)因數(shù)越高。單位時間消耗的能量2.3.4

無源腔本征模式帶寬?νc腔內(nèi)光場隨時間的變化：根據(jù)傅立葉變換，求出光場的頻譜E(ω)，以及功率譜|E(ω)|2，得到頻譜半高全寬（HMFW）Δνc無源本征模式帶寬與腔內(nèi)光子平均壽命成反比，與單程損耗因子成正比，與諧振腔Q值成反比。無源腔本征模式帶寬反映了諧振腔對頻率的響應特性。追求高的品質(zhì)因數(shù)與追求寬的頻率響應帶寬，始終存在矛盾。小結單程損耗因子、光子壽命、Q值和無源線寬反映的是一個物理問題—諧振腔的損耗。處理不同的物理問題時使用不同的參數(shù)?？紤]激光器的閾值問題時，使用單程損耗因子；考慮有源諧振腔的頻率牽引時，使用無源線寬；在速率方程中，使用光子壽命；在調(diào)Q激光器中，引用Q概念。考慮：要得到高相干性的激光輸出，應如何選擇諧振腔損耗？2.4.1模式自再現(xiàn)第四節(jié)開放諧振腔模式衍射理論開腔模式形成的定性解釋1.惠更斯--菲涅爾衍射原理及基爾霍夫衍射積分S1曲面上光場分布函數(shù)各子波源發(fā)出的球面波傾斜因子從普遍的電磁場理論推導衍射積分公式參見J.W.Goodman著，詹達三譯，“傅立葉光學導論”，第三章，科學出版社原理：如果把光擾動的波前上的每一點看成是一個“次級”球面擾動的新波源，那么隨后任一時刻的波前可以由作出次級子波的“包絡”得到。u1(x1,y1)u3(x3,y3)un+1(xn+1,yn+1)un(xn,yn)M1M2u2(x2,y2)場分布不變－再現(xiàn)

自再現(xiàn)條件往返次數(shù)足夠多時,除表示振幅衰減和相移的常數(shù)因子外,Un+1能再現(xiàn)UnqrP(x,y)P’2.自再現(xiàn)模概念3.

光腔中的衍射場自洽積分方程衍射積分公式自再現(xiàn)概念光腔中的衍射場自洽積分方程開腔中穩(wěn)態(tài)場分布函數(shù)

自再現(xiàn)模積分方程……..……..自再現(xiàn)模積分方程(自洽積分方程）其中－積分方程的核（2.4-4）

適用任何對稱光腔（平行平面，共焦，一般球面鏡腔）求解積分方程

求出u(x,y)開腔振蕩模的場分布的形式？p2(x’,y’)p1(x,y)p’1p’2D2D1p2(x’,y’)p1(x,y)p’1p’2D2D12.4.2方形鏡共焦腔中自再現(xiàn)模近似解1.解析解：

－對稱共焦腔才能得到解析解

精確解

近似方形鏡共焦腔長橢球函數(shù)厄米～高斯函數(shù)對稱共焦腔

模場分布集中在鏡面中心附近

x,y<<a近似解－長橢球函數(shù)的特殊情況近似條件：近似條件下：此積分方程可分離變量：自再現(xiàn)場分布為其自身的傅立葉變換，其解為厄密-高斯函數(shù)。方程的解為：為常系數(shù)，為m階厄密多項式，為常系數(shù)，對稱共焦腔腔鏡上的場為：為第m和n階厄密多項式①厄密-高斯函數(shù)的正交性(合理選取Cmn)：②橫向無限遠處場強為零：不同模式之間沒有能量耦合激光能量主要集中在有限半徑內(nèi)③鏡面上場的表達式為實數(shù)，鏡面上各點場的相位相同，共焦反射鏡本身構成場的一個等相位面。2.鏡面上場的振幅分布

基模:

TEM00

m=0,n=01/eE光斑尺寸定義：振幅中心處的1/e(半徑)

0s

或光強中心處的1/e2xy基模在鏡面上分布為高斯型通常采用

0s表示腔鏡上的光斑半徑

場振幅為高斯分布，在腔軸上光強最強；離腔軸距離r

增大，光強將減弱鏡面上基模光斑尺寸只與腔長有關，與反射鏡大小無關鏡面光斑大小

高階橫模在腔鏡上的場振幅分布（m,n不同時為0）...…...厄米多項式的零點決定場的節(jié)線

高階模的場分布較基模復雜，有節(jié)線，光斑尺寸擴展高階橫模的光斑尺寸根據(jù)國際標準化組織(ISO)光斑半徑的平方定義為光場分布均方差值的四倍Cmn,E0，

0

均為常數(shù)，

0－基模高斯光束腰斑半徑3.

共焦腔的行波場－厄米～高斯光束基爾霍夫衍射積分公式鏡面上的場腔內(nèi)、外任一點的場坐標原點設在腔中心

模場的空間分布共焦腔基模腰斑半徑

基模光斑半徑

基模場振幅分布

實例:He-Ne:

L=30cm，l=632.8nm，

0=0.174mm

CO2:L=100cm，l=10.6mm，

0=1.3mmf：共焦參數(shù)共焦腔基模光束遠場發(fā)散角

q0[弧度]

實例:He-Ne:

L=30cml=632.8nm~2.3

毫弧度

CO2:L=100cml=10.6mm~5.2

毫弧度高階厄密-高斯光束的束寬和遠場發(fā)散角(了解)按照二階矩定義：x方向束寬：y方向束寬：x方向遠場發(fā)散角：y方向遠場發(fā)散角：4.等相位面(波面)其中對于一個等相位面應有相對于M1鏡的相移近軸情況拋物面方程=f+z=f+z0在腔軸附近，高斯光束的等相位面為球面，球面的曲率半徑

在腔軸附近，拋物面球面，與m,n模序數(shù)無關R(z0)

的絕對值相等，共焦腔光束的波面在中心兩側對稱分布無窮遠處，等相位面為平面共焦腔中心，波面為垂直腔軸的平面波面與共焦腔鏡面重合

光束波面的曲率中心（球面波“發(fā)光點”）曲率中心永遠不會在共焦腔中心波面離腔中心越遠，曲率中心離中心越近LL/2R0|z0|（了解）z處等相位面曲率半徑z處光斑半徑共焦腔基模高斯光束遠場發(fā)散角腰斑半徑兩者乘積？2.4.3圓對稱情況下（圓形鏡）自再現(xiàn)模式如果兩個反射鏡在徑向圓對稱，可在極坐標下分離變量，自再現(xiàn)模式解為拉蓋爾-高斯函數(shù)：Lnm(

)締合拉蓋爾多項式相對于M1鏡的相位表示為：基模場仍為高斯函數(shù)，兩者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半徑及光束發(fā)散角都完全相同。TEM00TEM01TEM02TEM10TEM20TEM30TEMmn模沿輻角方向的節(jié)線數(shù)目為m，沿徑向的節(jié)線數(shù)目為n。束寬：發(fā)散角：第五節(jié)一般球面穩(wěn)定腔模式

任何一個共焦腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價2.5.1球面穩(wěn)定腔與共焦腔的等價任何一個共焦腔可以與無窮多個穩(wěn)定球面鏡腔等價，而任何一個穩(wěn)定球面鏡腔只能有一個等價共焦腔取共焦腔的任意兩個等相位面上放置兩個相應曲率半徑的反射鏡C1和C2，光波以等相位面S2入射到一個反射面C2上，反射面與S2重合，則波沿入射路徑返回，且傳播過程中遵循基爾霍夫衍射積分方程，在反射面C1上，等相位面仍與反射面重合，波沿原路徑返回，在兩反射鏡之間往返傳播，滿足自再現(xiàn)條件。其自再現(xiàn)模式與共焦腔相同。等價相同的行波場（自再現(xiàn)模，橫模）是穩(wěn)定球面腔①反射面曲率半徑R，對凸面反射鏡R<0,對凹面反射鏡R>0。②球面波波面曲率半徑R，對發(fā)散球面波R>0,會聚球面波R<0

任意一個穩(wěn)定球面腔只有一個等價的共焦腔

關鍵問題：已知R1,R2,L

如何求出等價共焦腔位置及f

值反證法，假設與g1為實數(shù)矛盾，因此對于任一穩(wěn)定腔，z1、z2和f在實數(shù)范圍內(nèi)存在且唯一。物理含義為對任一穩(wěn)定腔，能唯一找到一個共焦腔與之等價。當R1<0(凸面反射鏡)，R2>0（凹面反射鏡）時，z1>0，z2>0，光腰在左面腔外。穩(wěn)定球面腔腔鏡位置與光腰的位置關系當R1>0(凹面反射鏡)，R2<0（凸面反射鏡）時，z1<0，z2<0，光腰在右面腔外。當R1>0(凹面反射鏡)，R2>0（凹面反射鏡）時，z1<0，z2>0，光腰在腔內(nèi)當R1=

(平面鏡)，R2>0（凹面反射鏡）時，z1=0，z2>0，光腰在平面鏡上，共焦參數(shù)鏡面上的光斑尺寸等相位面基模遠場發(fā)散角

一般穩(wěn)定球面鏡腔的基模模式特征f非對稱2.5.2

模諧振頻率

軸對稱

圓對稱穩(wěn)定腔與共焦腔的等價是指它們具有相同的橫模結構。若腔長不同，諧振頻率是不同的，因此縱模不同。相位重寫如下：諧振條件為在腔內(nèi)往返一周后最強相干相長，即往返一周后相位滯后為2

的整數(shù)倍諧振頻率：q稱為縱模指數(shù)，m,n稱為橫模指數(shù)根據(jù)須證明？z1<0,R1>0;z1>0,R1<0證明過程：1.對于平行平面腔，g=1，

諧振頻率

諧振頻率公式還等價為腔光學長度為半波長的整數(shù)倍

頻率間距

這些頻率都是允許的諧振頻率，但實際激光器的振蕩頻率還要受到增益線寬的限制，在其限制下，一般只有少數(shù)幾個縱模能夠振蕩。L平面波在兩個反射鏡之間往返傳播形成穩(wěn)定的駐波，波腹或波節(jié)的數(shù)目等于縱模指數(shù)q。2.對于對稱共焦腔，g=0，

諧振頻率

同一橫模的相鄰縱模的頻率間隔

同一縱模的相鄰橫模的頻率間隔可以產(chǎn)生什么現(xiàn)象？矩形共焦腔的振蕩頻譜

(m+1)nq

＝

m(n+1)q

(m+1)nq+1

＝

m(n+1)q+1…...

模簡并－有相同頻率的不同模式，

頻率簡并的模，其單程損耗并不相同第六節(jié)非穩(wěn)腔（g<0,或g>1,高損耗腔）一、非穩(wěn)腔的構成

常用的三種非穩(wěn)定腔特點：橫模鑒別力高，模體積大能實現(xiàn)高功率、高光束質(zhì)量的基橫模運轉理論分析方法

幾何光學單程發(fā)散損耗>>衍射損耗；腔中只存在一對共軛像點及相應的自再現(xiàn)波形（共振模）雙凸平凸凹凸（包括虛共焦腔）二、非穩(wěn)腔的共軛像點及幾何自再現(xiàn)波形解得非穩(wěn)腔的自再現(xiàn)波形為腔軸線一對共軛像點發(fā)出的球面波。從任意共軛像點上發(fā)出的球面波，在腔內(nèi)往返傳播一周后球面波的波陣面將重合。l1、l2分別對應像點p1和p2。取正號，l1，l2>0，p1在M1左方，p2在M2右方，即在鏡的后方。從共軛像點發(fā)出的球面波，在腔內(nèi)往返一周后球面波波振面重合（自再現(xiàn)），波束不斷擴展，充分覆蓋腔內(nèi)空間。p1

和p2重合，p2

和p1重合。起始波形為會聚球面波，在腔內(nèi)往返過程中，波束會不斷受到壓縮，這種自再現(xiàn)波形對于激光的振蕩和耦合輸出都是不利的，高功率下會引起光學元件的損傷。取負號，l1'，l2'<0，p1'在M1右方，p2'在M2左方，即鏡的前方。證明