摘要區間估計是參數估計的一種重要的方式，本文結合一些例子和實際案例，分別從一個總體參數和兩個總體參數的角度，分析總體均值、總體比例、總體方差及總體方差比的區間估計，闡述區間估計在抽樣調查中的應用。關鍵詞：區間估計；抽樣調查；均值；方差AbstractIntervalestimationisanimportantwayofparameterestimation,thispapercombinessomeexamplesandactualcases,analyzestheintervalestimationofthepopulationmean,thepopulationproportion,thepopulationvarianceandtheoverallvarianceratiofromtheperspectiveofonepopulationparameterandtwopopulationparametersrespectively,andexpoundstheapplicationofintervalestimationinthesamplesurvey.Keywords:IntervalEstimation;SamplingSurvey;Mean;Variance目錄1引言 引言抽樣調查是一種普遍的調查方式，有很多不同的類型,在實際生活中，抽樣調查其實無處不在。區間估計（intervalestimate）是在點估計的基礎上，在一般參數估計范圍的基礎上給出的，其計算方式為樣本統計量與估計誤差的和或差。不論是在醫學上、經濟生活上還是農業上或者水利、畜牧業上，任何抽樣調查都離不開區間估計的幫助。調查者可以根據樣本統計量在區間估計中的抽樣分布，給出樣本統計量與總體參數之間的概率測度，這與點估計不相同。但抽樣調查能否更好的估計總體特征，還是要取決于抽樣框的選則。運用區間估計則能很好地估計出在某區間上有百分之多少的把握可以承認某個事實或者否決某個事實，通過估計出來的數值可以更加準確的推測出總體的特征。在當今社會快速發展階段，抽樣調查應用于各種工作，而區間估計作為一種參數估計，在調查工作中具有更明顯的優勢，是實際工作中不可缺少的一種方法。在動物疫病流行病調查中，采用抽樣調查通常是基于抽樣調查的結果來推斷動物組織在該地區的情況。而對群體的參數估計就采取區間估計的方法，這樣得出的結論更準確[1]。另外，利用樣本來推斷總體，單目標抽樣中涉及一元置信區間，而實際生活中往往會遇到多目標抽樣的問題，就涉及到了多元置信域。有學者從橢球方程向量角度，得出了多目標抽樣的區間估計，并運用于經濟普查上[2]。因此，在應用抽樣調查時，調查者可以采用區間估計，將總體真值的取值估計出一個范圍，以及我們可以得到總體真值落入這個范圍的可靠程度。之前已有學者對總體比例的區間估計和樣本量的確定等方面進行了研究，本文通過例子來給出區間估計在抽樣調查中如何進行應用。2相關概念2.1抽樣調查抽樣調查是一種非綜合性的調查。抽樣調查是指通過統計的方法對從所有要研究的整體中隨機抽取的一部分個體進行研究調查，依據從樣本獲得的信息，推導出總體相應的數量指標的相應信息。根據抽選樣本的方法不同，抽樣調查可以分為概率抽樣和非概率抽樣。概率抽樣所依據的基本原理是概率論和數理統計，是根據隨機抽樣的原則從所有研究對象的整體中抽取一部分作為樣本，并根據樣本的結果，對所有研究對象這個總體的一些特征進行推測，并且認為在推測估計過程中產生的一些誤差可以通過概率的方法進行適當的控制。在我國，通常將概率抽樣稱為抽樣調查。調查者們根據自己的想法、看法或者自己的觀點來選擇樣本的一種方法稱為非概率抽樣。盡管依據樣本調查的結果得出的結論沒有辦法說明到底有多少適用于所有研究對象，但是在某些時候可以用來表示所有研究對象的某些特點[3]。概率抽樣有很多不同的分類，例如簡單隨機抽樣法、系統抽樣法、整群抽樣法、分層抽樣法、多階段抽樣法、等距抽樣、雙重抽樣、按規模大小成比例的雙重抽樣、任意抽樣、典型抽樣、重點抽樣、配額抽樣。其中配額抽樣為非隨機抽樣。在進行抽樣調查時，調查人員可以根據一般情況，選擇不同的抽樣框，采用適當的抽樣方法進行抽樣，并對總體特征進行合理的推斷。2.2抽樣分布抽樣分布也可以叫做統計量分布，也就是隨機變量函數分布，是指樣本估計量的分布。樣本估計量定義為樣本的一個函數，在統計學中被稱作統計量，所以抽樣分布也是指統計量的分布。χ2分布：統計量X1，X2，…，Xnχ2=X12+X22+…+Xn2所服從自由度為n的χ2分布，記作χ2~χ2（n）,這里的自由度n是指=1\*GB3①中獨立變量的個數。t分布：設X~N（0，1），Y~χ2（n），且X與Y相互獨立，那么我們稱統計量T=服從自由度為n的t分布，記T~F分布：設X~χ2F=服從自由度為（n1,n2）的2.3區間估計區間估計是參數估計多種形式中的一種。通過對所有研究對象進行抽樣，以適當的精確度和準確度作為標準，計算出一個合適的區間，這個區間可以對所有研究對象的參數分布的真值的存在區間進行估計。一般地，可以這樣表述區間估計問題：要求構造一個僅依賴于樣本X=x1,x2,?,xn的適當的區間[AX,BX]，一旦得到了樣本置信系數則是奈曼從概率的頻率解釋出發，認為被估計的θ是一未知但確定的量，而樣本X是隨機的。區間[AX,BX]是否真的包含需要估計的θ，是由所抽得的樣本X確定的。因此，未知的θ也只是以一定的概率被包含于區間[AX,BX]中。對于不同的θ,πθ之值可以不同，πθ對不同的θ取的最小值1-α(0<α<1)稱為區間[AX,BX]的置信系數。與此相應，區間現如今有大量的研究人員將統計學知識應用在各行各業的研究調查中，特別是運用區間估計的方法來解決一些實際生活中的抽樣調查問題，這為我們的生活和學習研究都提供了便利。我們可以在進行實際調查活動時，根據所具備的條件的不同，比如說總體的分布是否已知、總體的方差是否已知、抽樣調查隨機抽取的是大樣本還是小樣本，抽樣調查的方式是重復抽樣還是不重復抽樣等等，可以選擇用不同的區間估計公式進行估計。3區間估計在抽樣調查中的應用3.1一個總體參數的區間估計雖然進行區間估計時是我們所運用的原理是相同的，但是在已知條件不同的情況下（比如總體的方差是否已知、進行隨機抽樣所抽取的樣本容量為大還是小、抽樣的方式，是重復抽樣還是非重復抽樣等），對總體參數進行估計時所采取的方法還是不同的。3.1.1總體均值的區間估計一般，總體均值的區間估計有以下幾個步驟。第一，先確定置信度，置信度的確定可以根據估計的需要來進行確定，如90%、95%、99%。第二，根據已經確定的置信度確定Zα2第三，在總體中抽取一個樣本，其容量為n。第四，對所抽取樣本的樣本平均數x和樣本的標準差σx進行計算。重復抽樣時樣本平均數的標準差σx=σn，有限總體、不重復抽樣時的標準差σ第五，構造置信區間（x-σn=1\*GB2⑴從總體方差σ2已知的正態分布總體中隨機抽取樣本時總體均值的置信區間如果總體服從正態分布，且在總體方差σ已知的情況下，則可以直接使用區間估計的公式，置信度1-α條件下總體均值的置信區間為:（x-σnZ其中，Zα2例1某企業為電子元件生產企業，現在需要生產一批電子元件，為了解這批產品的平均耐用時間，從這批產品中用簡單隨機抽樣的方法隨機抽取了220個元件，測量并計算出樣本的平均的耐用時間為6400小時。根據以往資料得知該企業生產的電子元件的耐用時間服從正態分布，電子元件的總體的標準差為140個小時，現在要求以95%的置信度構造該批電子元件平均耐用時間的置信區間。解:本題中，已知總體數據服從正態分布，總體方差已知，置信度為95%時Zα所以，總體平均數的置信區間為:x-σnZα2=6400±1.96即該批電子元件平均耐用時間在6381.5~6518.5個小時之間。=2\*GB2⑵從總體方差σ2已知的非正態分布總體中隨機抽取一個大樣本時的總體均值置信區間在很多情況下，調查者希望估計的總體遵循非正態分布，但根據中心極限定理可以知道，無論總體是服從正態分布還是其他分布，只要抽取的樣本容量很大時，x的抽樣分布就將近似地服從正態分布。因此這時可以用（x-σn來近似地估計出總體均值μ的置信區間。例如，上例中是已知生產的電子元件的耐用時間服從正態分布，但若事先沒有關于總體分布的信息，不知道該批電子元件的耐用時間總體上服從什么分布，但由于抽取了n=220的大樣本，并且根據歷史數據了解到總體數據標準差大概為140個小時，這時區間估計的方法與上面相同，即x±σnZα2=6400±1.96總體平均數在95%的置信度下的區間在6381.5~6518.5小時之間。=3\*GB2⑶從非正態分布總體中抽取一大樣本，并且總體方差σ2未知時的總體均值的置信區間如果隨機抽取一個樣本，不管它的總體是哪種分布，只要該樣本的樣本容量足夠大，，由中心極限定理樣本均值的抽樣分布可知，樣本均值近似地服從正態分布:x~N（μ這樣Z=x-μσn~N（0，1），（x-σn若總體方差σ2未知，這時可以用樣本的方差S2作為總體方差的估計量來替代總體方差。這時，t=x-μs∕n則服從自由度為n-1的t分布。隨著自由度的不斷增大，t分布也（x-sn通過一個例子，來進一步強化在總體方差不知道且抽取的為大樣本的情況下，總體均值的區間估計的計算。例2研究教師行為的一項很重要的標準是教學信念，我國有很多教育方面的專家，他們對教學信念的看法并不相同。作為一名普通院校數學專業的學生，對師范生的教學信念的影響因素也十分感興趣。因此，引用河南科技學院對不同年級、不同性別的學生進行抽樣調查所得出來的數據，對數據運用區間估計的方法進行進一步分析，從而得出影響師范專業的學生教學信念的因素到底有哪些。隨機選取了該學院數學與應用數學和計算數學兩個專業(分別記為Ｙ、Ｊ)的200名師范專業學生進行問卷調查，這200名師范專業學生來自4個不同專業（記A、B、C、D）各50名，一共發出了問卷200份，收回了184份。在進行問卷調查之后，將每個問題的不同答案——“絕對不認同”“不認同”“不確定”“認同”“絕對認同”分別設置為１、２、３、４、５分，之后計算４個年級的調查結果的總均值與總標差，進行年級間的量化比較。得出的數據如下表[4]：表3-1統計量數據教學信念統計量數據年級均值標準差均值的標準誤差數學本質觀A25.753.1850.480B24.822.8070.418C24.433.9370.562D23.523.8920.574數學教學觀A29.394.2930.647B28.203.2380.483C28.163.6590.523D29.614.1390.610數學學習觀A31.593.9790.600B30.563.4350.512C30.633.2960.471D29.614.0410.596在置信度為95%的條件下，我們可以得出n=50為大樣本，令“數學本質觀”得分的不同年級的均值分別記為x1A、x1B、x1C、x1D，不同年級得分標準差分別記為s1A、s1B、s1C、s1D；令“數學教學觀”得分的不同年級的均值分別記為x2A、x2B、x2C、x2D，不同年級得分的標準差分別記為s2A、s2B、s2C、s2D；令不同年級“數學學習觀”得分情況的均值分別記為x3A、x3B、x3C、因此通過計算可以得出：x1A±s1Anzα∕2x1B±sx1C±sx1D±sx2A±x2B±x2C±x2D±x3A±sx3B±sx3C±sx3D±s因此可以得到有95%的把握認為大一年級所有學生在數學本質觀得分的均值在24.867~26.633之間；有95%的把握認為大二年級所有學生在數學本質觀得分的均值在區間24.052~25.608內；有95%的把握認為大三年級所有學生在數學本質觀得分的均值在區間23.339~25.521之間；有95%的把握認為大四年級所有學生在數學本質觀得分的均值在2.451~24.609之內；有95%的把握認為大一年級所有學生在數學教學觀得分的均值在區間28.2~30.58內；有95%的把握認為大二年級所有學生在數學教學觀得分的均值在27.302~29.098之間；有95%的把握認為大三年級所有學生在數學教學觀得分的均值在區間27.146~29.147內；有95%的把握認為大四年級所有學生在數學教學觀得分的均值在區間28.463~30.757內；有95%的把握認為大一年級所有學生在數學學習觀得分的均值在區間30.487~32.693內；有95%的把握認為大二年級所有學生在數學學習觀得分的均值在區間29.608~31.512之間；有95%的把握認為大三年級所有學生在數學學習觀得分的均值在區間29.716~31.544內；有95%的把握認為大四年級所有學生在數學學習觀得分的均值在區間28.49~30.73內。=4\*GB2⑷從正態分布總體中隨機抽取一樣本，且總體方差σ2未知時的總體均值的置信區間假設X服從正態分布，即X~N（μ，σ2），從中抽取容量為n的樣本，則樣本均值服從正態分布，即x~Z=x-μσn但當總體方差未知時，總體標準差σ可以用樣本標準差s作為其估計值，則x-μs∕n服從自由度為n-1的t分布。但是，如上面所說的，隨著自由度的不斷增大，t分布也逐漸趨向于標準正態分布。因此在總體方差未知但是所抽取的樣本為大樣本時，即n較大時，x-μ=1\*GB3①大樣本下，置信度1-α下的區間為:（x-sn=2\*GB3②小樣本下，置信度1-α下的區間為:（x-sn例3某電子元件廠要對新型產品的平均使用壽命進行估計，在該生產線上隨機抽取了上9個元件并進行了測試，取得了以下數據(小時):500052005240541051005390512049805160假設該生產線上生產的產品的使用壽命服從正態分布，要計算這種產品的平均使用壽命的置信區間，置信度為95%。解:根據已知信息得知，總體方差σ2未知，n=9為小樣本，經計算可得：樣本均值x=5178，樣本標準差s=151.6。在95%置信度下，tx±sntα這種新產品的平均使用壽命的置信區間為5061.47~5294.53個小時之間。3.1.2總體比例的區間估計總體比例是指在所有的研究對象中，具有某個特點的研究對象所占總體的比例，也是實際工作中常見的要估計物參數之一。例如，要估計產品的不合格率、對公共服務表示滿意的人數占全部人員的比例、一片林木中遭受病害的比例、全部企業中虧損企業所占的比例等。總體比例實際上是總體均值的一種特例。反映每個樣本單元特征的變量是一個定性變量(記為X)，當其具有某種特征(如產品為合格)時用1表示，不具有這種特征(如產品為不合格)時用0表示，若總體中包含有N個單元，則具有某種特征所占的比例(如合格率)P=1Ni=1Nxi，若從中隨機抽取n個單元作為樣本，則樣本比例p=1n對總體比例進行估計時，需要用一個隨機的大樣本。而當樣本的樣本容量很大的時候，樣本比例p的分布可以近似地看作服從正態分布，它的數期望值為E(p)=P，方差為D(p)=PQ/n，其中(Q=1-P)，由于實際工作中總體比例P是未知的，而調查者所要估計的也正是這個總體比例P，所以用區間估計時就需要用樣本比例p來估計D(p)。如果np和n(1-p)這兩項都大于5，并且樣本量n相對于總體來說比較小，則在置信度1-α下的總體的比例的區間估計公式為：p±如果研究總體是有限的，尤其是抽樣比例較大時，就要用到有限總體的修正系數，從而得到另一個公式，即總體比例的區間估計公式為:p±例4某企業為檢查生產的產品的合格率，該企業的質檢部門在其所生產的產品中隨機抽取了100個產品進行檢驗，檢驗的結果為100個產品中有95個合格品，計算得到樣本合格率為95%。現要求在95%的置信度下對該企業產品合格率的置信區間進行估計。解:已知n=100，p=95100=95%，由置信區間公式的公式可以p±p1-pnzα2=0.95即置信區間為（92.82%，97.18%)，因此估計出的這個企業產品合格率的置信區間為92.82%~97.18%。3.1.3總體方差的區間估計在現實中，調查者有時需要對反映數據之間差異程度或數據偏離總體平均水平程度的方差進行估計。比如雖然企業生產的電子元件平均壽命合乎要求，但若電子元件使用壽命的方差很大，那么這些產品的質量還是有問題的，因而在了解其平均壽命的同時，還往往需要了解其總體方差或標準差的大小。總體方差σ2通常是未知的，需要通過樣本數據對其進估計。在總體正態分布的條件下，統計量n-1S2σ2近似地服從n-1的χχ對上式通過不等式的變換，可得到σ2n-1例5某工廠為電子元件生產廠，其生產的某電子元件的使用壽命服從正態分布，為了檢驗產品生產的穩定性，企業質檢部門從該工廠生產的電子元件中隨機抽取了30個產品并進行了測試，根據樣本數據計算出的樣本產品的使用壽命的方差為298小時。現在希望用樣本數據為基礎對該種電子元件使用壽命的方差σ2解:根據已有的信息得知，總體分布近似地服從正態分布，利用樣本數據得到的樣本方差S2=298，n-1=30-1=29，置信度為95%，查自由度為29的χ2分布表得到χα22=χ0.0252（29）=45.128，χ代入公式得:3191.5<σ即該種電子元件使用壽命的方差σ2的95%的置信區間為191.5~538.43.2兩個總體參數的區間估計在現實生活中，調查者也經常要對來自兩個不同總體的參數進行比較，比如對兩個地區職工的平均工資、兩個單位的產品不合格率或著是兩個不同品牌的產品的使用壽命等等。但是在進行比較的時候，我們很多時候沒有辦法直接得到總體的數據，因此只能通過抽樣得到的樣本數據對總體進行估計。3.2.1兩個總體均值差的區間估計設x1,x2,?,xn為來自均值為μX、方差為σX2的總體的隨機樣本，y1,y2,?,ym為來自的均值為μY、方差為σ=1\*GB2⑴兩個總體服從正態分布(或非正態分布，大樣本)且方差已知=1\*GB3①若兩個總體均服從正態分布，則從其中隨機抽取的樣本容量分別為n和m兩個獨立的樣本的樣本均值x,y依然服從正態分布，因而x-y當X~x這樣，x-y-μx-μx=2\*GB3②兩個總體也許不服從正態分布，但只要從兩個總體中隨機抽取樣本容量足夠大的樣本，那么根據中心極限定理，樣本均值的抽樣分布就可以認為近似的服從正態分布，即:x當抽取的這兩個樣本是獨立的時候，樣本平均數之差的抽樣分布為:x進一步可以得到在一定置信度下兩個總體檢值之差的區間估計：x例6從兩地各隨機抽取了24戶周民家庭調查其子女一個月的課外教育費用支出，利用樣本數據計算得到:A地平均消費支出456元，B地平費支出320元。已知居民子女除去上學期間其余時間參加補習班或興趣班的費用支出均服從正態分布，且A地區的所有研究對象的方差為746，B地所有研究對象的方差為840，要求在95%置信度下構造兩地區居民家庭每個月在子女除去上學期間其余時間參加補習班或興趣班的平均支出差異的置信區間。解:由于兩個總體都是服從正態分布的，因此xA-xA-xB±σ即兩地區居民家庭每月在子女課外教育費用上的平均支出之差的95%的置信區間是120.81~151.91元之間。（2）兩個總體服從正態分布，小樣本且總體方差未知但相等如果兩個總體都服從正態分布，并且從這兩個總體中各自隨機抽取一個獨立的隨機小樣本時，像之前說過的那樣，兩個樣本均值之差服從正態分布：x如果總體方差是未知的，那么就需要用樣本的數據來對總體方差進行估計。又因為此時已經知道了兩個總體的方差是相等的，因此可以利用樣本數據估計出一個共同的樣本方差s這時，x-y的方差為可以證明：t=x-y-μx-μYx例7某企業有兩臺生產機器設備對同一種產品進行生產，為分析兩臺機器設備所生產的產品在重量上的差異，對這兩臺機器所生產的產品各自進行隨機抽樣，抽取10個和20個產品，測量了產品的重量，根據測量結果可以計算得到：x=600克，y=590克，sx2=15，sy2=18。已知在兩臺機器解：根據總體方差位置但是相等的假設，可以首先計算出來方差的估計值sμx因此根據計算結果可以得到，兩臺機器設備生產的產品重量之差的95%的置信區間為5.02~14.98克之間。（3）兩個總體服從正態分布，總體方差未知且不等當兩個總體服從正態分布但是總體方差不知道而且不一致的時候，統計量t'=x-y-?f這時統計量t'=x-y-μx-x上面的例子中，如果兩個總體的方差不相等，那么構造μX?f通過查t分布的表，當自由度為22，置信度為95%的時候，t=2.074。代入到區間估計的公式中可以得到：x-y±即兩臺機器設備生產的產品質量差的95%的置信區間（5.02，14.98）。（4）兩個總體不服從正態分布且總體方差未知當有兩個總體不服從正態分布的時候，調查者通常情況下可以根據中心極限定理隨機的抽取大樣本，如果這兩個總體的總體方差未知，我們可以用樣本方差sx2和sy2來代替總體方差σXx3.2.2兩個總體比例差的區間估計為了估計兩個總體比例之差P1-P2，調查者可以從這兩個總體的每一個中隨機的各自抽取一些作為樣本，然后計算這兩個樣本的比例之差當兩個樣本的樣本容量n1、n2都很大的時候，且總體的比例都不太接近0或者1的時候，就可以認為這兩個獨立樣本的抽樣分布近似地服從正態分布，其期望值為σ即：p1-p2~S于是，兩個總體比例之差的置信區間估計公式為：（例8為了分析新工人和老工人在生產產品質量方面的差異，分別在新職工和老職工生產的產品中隨機抽取了205件產品和210件產品，經過檢測得出新職工生產產品的優等品率為85%，而老職工生產的產品的優等品率為97%，要求在95%的置信度下估計新老職工產品質量差異的置信區間。解：根據已知條件n1=210，n2=205，p1=97%,p2=85%,（即新老職工產品優等品之差的95%的置信區間是（6.6%，17.4%），說明老職工所生產產品的質量明顯好于新職工。3.2.3兩個總體方差比的區間估計在具體的統計事件中，調查者在通常的情況下會用方差來反映內部差異的大小，之前已經討論過了一個總體方差的置信區間。但是在進行實際應用的時候，除了要估計一個總體的方差之外，還會經常遇到比較兩個方差的問題。比如說希望比較兩個地區內部居民收入差距的大小，就可以用兩個地區的收入的方差比。要想對兩個總體方差之比的置信區間進行構造，同樣需要計算兩個從總體中隨機抽取的兩個樣本的方差比，并且根據方差比的抽樣分布進行估計由于兩個樣本方差之比s12∕σ12s22∕σ22由于s12∕因此可以得出兩個總體方差之比的置信區間的估計公式如下：s例9設從總體X~N（μ1，σ12）和總體Y~N（μ2解：由上述公式我們可以得到，σ2（s1查表可以得到F0.025（14，9）=3.80，F0.975（14，9）=1F0.0259,14（52.456.5?13.80,4結論本文先引入了區間估計和抽樣調查的基本概念，之后通過具體的抽樣調查案例，運用前人得出的計算區間估計的方法，在不同的情況下進行計算，得出具體的結論。同時也發現了區間估計在實際生活中的應用十分廣泛。除此之外，在估計公式中，也可以看到除了要知道均值、方差、置信度之外，樣本容量也是要必須知道的。從理論上說，影響樣本容量大小的因素主要有以下幾個：一是對估計精度的要求。即想要構造出多寬的置信區間。因此，優良的區間估計，不能僅僅偏重于某一方面的要求，而是要把精度和置信度相結合。二是對置信度的要求。置信度越高，樣本容量就越大。三是總體方差的大小。總體方差也與樣本容量成正比。對區間估計的研究我們還可以看到，置信區間越大，估計結果即估計誤差就會越大，如果置信區間過大，區間估計也就失去了意義[5]。致謝大學生活一晃而過，回首走過的歲月，心中倍感充實，當我寫完這篇畢業論文的時候，有一種如釋重負的感覺，感慨良多。首先誠摯的感謝我的論文指導老師許麗莉老師，她在忙碌的教學工作中擠出時間來審查、修改我的論文。還有教過我的所有老師們，他們嚴謹細致、一絲不茍的作風一直是我工作、學習中的榜樣，他們循循善誘的教導和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪。感謝四年中陪伴在我身邊的同學、朋友，感謝他們為我提出的有益的建議和意見，有了他們的支持、鼓勵和幫助，我才能充實的度過了四年的學習生活。參考文獻[1]侯廣宇、李金平.如何從樣本來評估群體[J].中國家禽,2012(08):46-47.[2]李金昌、虞明娟.多目標抽樣的區間估計方法[J].浙江統計,2007(03):23-25.[3]李海波、劉學華.新編統計學[M].上海：立信會計出版社,2005:174.[4]劉娟、王燕.普通院校師范生教學信念的調查分析——以KJ學院數學專業為例[J].河南科技學院學報:社會科學版,2018,38(10):40-43.[5]馬立平、張玉春.統計學原理[M].北京：電子工業出版社,2018:101-111.[6]賈俊平.統計學[M].北京;中國人民大學出版社,2009.[7]吳喜之.統計學:從數據到結論[M].北京:中國人民大學出版社,2006.[8]茆詩松、呂曉玲.數理統計學（第2版）[M].北京:中國人民大學出版社,2016.

論文的綜合研究法介紹1.什么是綜合研究法所謂綜合研究法就是綜合運用相關學科知識進行研究的方法。姜亮夫說："最近，我寫《楚辭通故自序》說到了一-些治學方法，我綜合了一切社會科學來寫'屈原賦，頗有游刃自如之樂。綜合研究，不正是現代科學成就的主要方法嗎？社會科學也得綜合研究。"其實我們寫學術論文，哪怕是分析一首詩，往往都需要采用綜合研究的方法。譬如唐人張繼的《楓橋夜泊》，此詩的詩題與詩句均有異文，這就涉及文獻學知識。此詩中的"烏"與"江楓"作何解釋，這就涉及語言學乃至生物學知識。此詩中的"楓橋""寒山寺"等地名，顯然涉及地理學知識。此詩之所以成為寫愁的代表作，顯然與作者生平和時代背景密切相關，這就涉及史學知識。這首詩好在什么地方，要說出個道理來，顯然需要掌握文藝理論知識。[6991所以我們在寫學術論文時，應當自覺地運用綜合研究方法。2.為什么要進行綜合研究傅衣凌說："我一向以為史學研究是各種知識的總和，章學誠的"六