精算師練習(xí)題有參考答案2024選擇題

1.已知某保險產(chǎn)品的賠付額\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1000,200^2)\)，則賠付額在\(800\)到\(1200\)之間的概率為（）

A.\(0.6826\)

B.\(0.9544\)

C.\(0.9974\)

D.\(0.5\)

答案：A。對于正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，\(\mu=1000\)，\(\sigma=200\)，\(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=P(1000-200<X<1000+200)=P(800<X<1200)\)，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，\(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx0.6826\)。

2.某保險公司有\(zhòng)(10000\)份獨立的人壽保險單，每份保險單在一年內(nèi)的死亡概率為\(0.005\)，則一年內(nèi)死亡人數(shù)不超過\(60\)人的概率近似為（）（利用中心極限定理）

A.\(\varPhi(2)\)

B.\(\varPhi(1)\)

C.\(\varPhi(1.414)\)

D.\(\varPhi(2.236)\)

答案：D。設(shè)一年內(nèi)死亡人數(shù)為\(X\)，\(X\simB(n,p)\)，其中\(zhòng)(n=10000\)，\(p=0.005\)，\(\mu=np=10000\times0.005=50\)，\(\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{10000\times0.005\times(1-0.005)}=\sqrt{49.75}\approx7.05\)。\(P(X\leqslant60)\approx\varPhi\left(\frac{60-50}{7.05}\right)\approx\varPhi(1.414)\)。

3.已知損失分布的概率密度函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，則損失分布的均值為（）

A.\(\frac{1}{3}\)

B.\(\frac{2}{3}\)

C.\(\frac{1}{2}\)

D.\(\frac{3}{4}\)

答案：B。根據(jù)均值公式\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\)，對于本題\(E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=2\int_{0}^{1}x^{2}dx=2\times\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}\)。

4.某保險產(chǎn)品的保費計算公式為\(P=E(X)+k\sqrt{Var(X)}\)，其中\(zhòng)(X\)為賠付額，已知\(E(X)=500\)，\(Var(X)=10000\)，\(k=0.2\)，則保費\(P\)為（）

A.\(520\)

B.\(540\)

C.\(560\)

D.\(580\)

答案：A。將\(E(X)=500\)，\(Var(X)=10000\)，\(k=0.2\)代入公式\(P=E(X)+k\sqrt{Var(X)}\)，可得\(P=500+0.2\times\sqrt{10000}=500+0.2\times100=520\)。

5.已知兩個隨機變量\(X\)和\(Y\)，\(Cov(X,Y)=-10\)，\(Var(X)=25\)，\(Var(Y)=16\)，則\(X\)和\(Y\)的相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}\)為（）

A.\(-0.5\)

B.\(-0.4\)

C.\(0.4\)

D.\(0.5\)

答案：A。根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}\)，將\(Cov(X,Y)=-10\)，\(Var(X)=25\)，\(Var(Y)=16\)代入可得\(\rho_{XY}=\frac{-10}{\sqrt{25\times16}}=\frac{-10}{20}=-0.5\)。

6.設(shè)某險種的損失次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，則\(P(N=2)\)為（）

A.\(\frac{9}{2e^{3}}\)

B.\(\frac{4}{2e^{3}}\)

C.\(\frac{9}{e^{3}}\)

D.\(\frac{4}{e^{3}}\)

答案：A。泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為\(P(N=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\)，當(dāng)\(\lambda=3\)，\(k=2\)時，\(P(N=2)=\frac{3^{2}e^{-3}}{2!}=\frac{9}{2e^{3}}\)。

7.已知某風(fēng)險的損失金額\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\1-e^{-0.01x},&x\geqslant0\end{cases}\)，則\(P(X>100)\)為（）

A.\(e^{-1}\)

B.\(1-e^{-1}\)

C.\(e^{-0.1}\)

D.\(1-e^{-0.1}\)

答案：A。\(P(X>100)=1-P(X\leqslant100)=1-F(100)=1-(1-e^{-0.01\times100})=e^{-1}\)。

8.某保險公司承保了\(n\)份獨立同分布的保險單，每份保險單的賠付額\(X_i\)的均值為\(\mu\)，方差為\(\sigma^{2}\)，則\(n\)份保險單賠付總額\(S=\sum_{i=1}^{n}X_i\)的均值和方差分別為（）

A.\(n\mu\)，\(n\sigma^{2}\)

B.\(\mu\)，\(\sigma^{2}\)

C.\(n\mu\)，\(\sigma^{2}\)

D.\(\mu\)，\(n\sigma^{2}\)

答案：A。根據(jù)期望和方差的性質(zhì)，\(E(S)=E\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}E(X_i)=n\mu\)，\(Var(S)=Var\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}Var(X_i)=n\sigma^{2}\)（因為\(X_i\)相互獨立）。

9.已知損失分布的矩母函數(shù)\(M_X(t)=\frac{1}{1-2t}\)，\(t<\frac{1}{2}\)，則損失分布的均值為（）

A.\(1\)

B.\(2\)

C.\(3\)

D.\(4\)

答案：B。對矩母函數(shù)\(M_X(t)\)求一階導(dǎo)數(shù)\(M_X^\prime(t)=\frac{2}{(1-2t)^{2}}\)，令\(t=0\)，可得\(E(X)=M_X^\prime(0)=2\)。

10.若隨機變量\(X\)服從參數(shù)為\(\alpha=2\)，\(\beta=3\)的伽馬分布，則\(E(X)\)和\(Var(X)\)分別為（）

A.\(6\)，\(18\)

B.\(6\)，\(6\)

C.\(2\)，\(6\)

D.\(2\)，\(2\)

答案：B。對于伽馬分布\(X\simGamma(\alpha,\beta)\)，\(E(X)=\alpha\beta\)，\(Var(X)=\alpha\beta^{2}\)，當(dāng)\(\alpha=2\)，\(\beta=3\)時，\(E(X)=2\times3=6\)，\(Var(X)=2\times3^{2}=18\)。

11.某保險業(yè)務(wù)在某一年度的保費收入為\(1000\)萬元，賠付支出為\(600\)萬元，費用支出為\(200\)萬元，則該業(yè)務(wù)的賠付率和費用率分別為（）

A.\(60\%\)，\(20\%\)

B.\(20\%\)，\(60\%\)

C.\(40\%\)，\(20\%\)

D.\(20\%\)，\(40\%\)

答案：A。賠付率\(=\frac{賠付支出}{保費收入}\times100\%=\frac{600}{1000}\times100\%=60\%\)，費用率\(=\frac{費用支出}{保費收入}\times100\%=\frac{200}{1000}\times100\%=20\%\)。

12.已知某風(fēng)險的損失分布的分位數(shù)函數(shù)\(F^{-1}(p)\)，當(dāng)\(p=0.9\)時，\(F^{-1}(0.9)=500\)，則意味著（）

A.有\(zhòng)(90\%\)的損失小于等于\(500\)

B.有\(zhòng)(10\%\)的損失小于等于\(500\)

C.有\(zhòng)(90\%\)的損失大于等于\(500\)

D.損失的均值為\(500\)

答案：A。分位數(shù)函數(shù)\(F^{-1}(p)\)的定義為，若\(F^{-1}(p)=x\)，則\(P(X\leqslantx)=p\)，所以當(dāng)\(p=0.9\)，\(F^{-1}(0.9)=500\)時，有\(zhòng)(90\%\)的損失小于等于\(500\)。

13.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個相互獨立的隨機變量，\(X\simN(1,4)\)，\(Y\simN(2,9)\)，則\(Z=2X+Y\)服從的分布為（）

A.\(N(4,25)\)

B.\(N(4,13)\)

C.\(N(3,25)\)

D.\(N(3,13)\)

答案：A。若\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，且\(X\)與\(Y\)相互獨立，則\(aX+bY\simN(a\mu_1+b\mu_2,a^{2}\sigma_1^{2}+b^{2}\sigma_2^{2})\)。這里\(a=2\)，\(b=1\)，\(\mu_1=1\)，\(\sigma_1^{2}=4\)，\(\mu_2=2\)，\(\sigma_2^{2}=9\)，\(E(Z)=2\times1+2=4\)，\(Var(Z)=2^{2}\times4+9=16+9=25\)，所以\(Z\simN(4,25)\)。

14.某保險產(chǎn)品的純保費是根據(jù)損失分布的均值來確定的，已知損失分布的概率密度函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{5},&0<x<5\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，則純保費為（）

A.\(2\)

B.\(2.5\)

C.\(3\)

D.\(3.5\)

答案：B。根據(jù)均值公式\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{5}x\cdot\frac{1}{5}dx=\frac{1}{5}\times\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{5}=\frac{25}{10}=2.5\)，所以純保費為\(2.5\)。

15.已知某風(fēng)險的損失金額\(X\)滿足\(E(X)=100\)，\(Var(X)=25\)，采用標(biāo)準(zhǔn)差原理確定保費\(P\)，安全系數(shù)\(k=0.1\)，則保費\(P\)為（）

A.\(100.5\)

B.\(101\)

C.\(101.5\)

D.\(102\)

答案：A。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差原理\(P=E(X)+k\sqrt{Var(X)}\)，將\(E(X)=100\)，\(Var(X)=25\)，\(k=0.1\)代入可得\(P=100+0.1\times\sqrt{25}=100+0.5=100.5\)。

填空題

16.若隨機變量\(X\)服從參數(shù)為\(n=10\)，\(p=0.3\)的二項分布，則\(E(X)=\)____，\(Var(X)=\)____。

答案：\(3\)，\(2.1\)。對于二項分布\(X\simB(n,p)\)，\(E(X)=np=10\times0.3=3\)，\(Var(X)=np(1-p)=10\times0.3\times(1-0.3)=2.1\)。

17.已知某損失分布的分布函數(shù)\(F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\frac{x}{10},&0\leqslantx<10\\1,&x\geqslant10\end{cases}\)，則\(P(3<X<7)=\)____。

答案：\(0.4\)。\(P(3<X<7)=F(7)-F(3)=\frac{7}{10}-\frac{3}{10}=0.4\)。

18.設(shè)隨機變量\(X\)的矩母函數(shù)\(M_X(t)=(1-3t)^{-2}\)，\(t<\frac{1}{3}\)，則\(E(X)=\)____，\(Var(X)=\)____。

答案：\(6\)，\(18\)。先對\(M_X(t)=(1-3t)^{-2}\)求一階導(dǎo)數(shù)\(M_X^\prime(t)=6(1-3t)^{-3}\)，令\(t=0\)得\(E(X)=M_X^\prime(0)=6\)；再求二階導(dǎo)數(shù)\(M_X^{\prime\prime}(t)=54(1-3t)^{-4}\)，令\(t=0\)得\(E(X^{2})=M_X^{\prime\prime}(0)=54\)，\(Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=54-36=18\)。

19.某保險業(yè)務(wù)的綜合賠付率為\(80\%\)，費用率為\(20\%\)，則該業(yè)務(wù)的綜合成本率為____。

答案：\(100\%\)。綜合成本率\(=\)綜合賠付率\(+\)費用率\(=80\%+20\%=100\%\)。

20.若隨機變量\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合概率密度函數(shù)\(f(x,y)=\begin{cases}2,&0<x<1,0<y<x\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，則\(E(X)=\)____。

答案：\(\frac{2}{3}\)。\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xf(x,y)dydx=\int_{0}^{1}x\left(\int_{0}^{x}2dy\right)dx=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=\frac{2}{3}\)。

21.已知某風(fēng)險的損失次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(N=0)=e^{-2}\)，則\(\lambda=\)____。

答案：\(2\)。因為泊松分布\(P(N=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\)，當(dāng)\(k=0\)時，\(P(N=0)=e^{-\lambda}\)，由\(P(N=0)=e^{-2}\)可得\(\lambda=2\)。

22.設(shè)損失金額\(X\)服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x>0\\0,&x\leqslant0\end{cases}\)，已知\(E(X)=500\)，則\(\theta=\)____。

答案：\(500\)。對于指數(shù)分布\(X\simExp(\theta)\)，\(E(X)=\theta\)，已知\(E(X)=500\)，所以\(\theta=500\)。

23.某保險公司承保的一組風(fēng)險中，每份保險單的期望賠付額為\(200\)元，標(biāo)準(zhǔn)差為\(50\)元，共承保了\(100\)份獨立的保險單，則這\(100\)份保險單賠付總額的期望為____元，標(biāo)準(zhǔn)差為____元。

答案：\(20000\)，\(500\)。設(shè)每份保險單賠付額為\(X_i\)，\(E(X_i)=200\)，\(Var(X_i)=2500\)，\(n=100\)。賠付總額\(S=\sum_{i=1}^{n}X_i\)，\(E(S)=nE(X_i)=100\times200=20000\)，\(Var(S)=nVar(X_i)=100\times2500\)，\(\sqrt{Var(S)}=\sqrt{100\times2500}=500\)。

24.已知隨機變量\(X\)和\(Y\)的相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=0.5\)，\(Var(X)=4\)，\(Var(Y)=9\)，則\(Cov(X,Y)=\)____。

答案：\(3\)。根據(jù)\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}\)，可得\(Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{Var(X)Var(Y)}=0.5\times\sqrt{4\times9}=3\)。

25.某保險產(chǎn)品的費率厘定采用純保費法，已知純保費為\(150\)元，附加費用率為\(20\%\)，則毛保費為____元。

答案：\(180\)。毛保費\(=\frac{純保費}{1-附加費用率}=\frac{150}{1-0.2}=180\)元。

判斷題

26.若隨機變量\(X\)和\(Y\)相互獨立，則\(Cov(X,Y)=0\)。（）

答案：正確。根據(jù)協(xié)方差的性質(zhì)，若\(X\)和\(Y\)相互獨立，則\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0\)。

27.泊松分布的均值和方差相等。（）

答案：正確。對于泊松分布\(X\simPoisson(\lambda)\)，\(E(X)=\lambda\)，\(Var(X)=\lambda\)。

28.風(fēng)險的度量指標(biāo)只有方差和標(biāo)準(zhǔn)差。（）

答案：錯誤。風(fēng)險的度量指標(biāo)除了方差和標(biāo)準(zhǔn)差，還有半方差、在險價值（VaR）、條件在險價值（CVaR）等。

29.若損失分布是對稱的，則均值和中位數(shù)相等。（）

答案：正確。對于對稱分布，其均值、中位數(shù)和眾數(shù)通常是相等的。

30.保險費率厘定中，純保費只考慮了損失的期望。（）

答案：正確。純保費是根據(jù)損失分布的均值（期望）來確定的，不考慮附加費用等其他因素。

31.隨機變量\(X\)的矩母函數(shù)存在，則其概率分布唯一確定。（）

答案：正確。矩母函數(shù)和概率分布是一一對應(yīng)的關(guān)系，若矩母函數(shù)存在，則可以唯一確定隨機變量的概率分布。

32.二項分布的參數(shù)\(n\)越大，其分布越接近正態(tài)分布。（）

答案：正確。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)\(n\)足夠大時，二項分布\(B(n,p)\)近似服從正態(tài)分布\(N(np,np(1-p))\)。

33.賠付率越高，說明保險公司的經(jīng)營效益越好。（）

答案：錯誤。賠付率越高，意味著保險公司的賠付支出占保費收入的比例越大，通常經(jīng)營效益越差。

34.若\(X\)和\(Y\)是兩個隨機變量，\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)一定成立，與\(X\)和\(Y\)是否獨立無關(guān)。（）

答案：正確。期望具有線性性質(zhì)，即對于任意兩個隨機變量\(X\)和\(Y\)，\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)。

35.損失分布的分位數(shù)\(F^{-1}(p)\)是關(guān)于\(p\)的單調(diào)遞減函數(shù)。（）

答案：錯誤。損失分布的分位數(shù)\(F^{-1}(p)\)是關(guān)于\(p\)的單調(diào)遞增函數(shù)。

計算題

36.已知某風(fēng)險的損失金額\(X\)服從參數(shù)為\(\theta=2\)的指數(shù)分布，求：

（1）\(X\)的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)；

（2）\(P(X>3)\)；

（3）\(E(X)\)和\(Var(X)\)。

答案：

（1）指數(shù)分布的概率密度函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x>0\\0,&x\leqslant0\end{cases}\)，當(dāng)\(\theta=2\)時，\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}},&x>0\\0,&x\leqslant0\end{cases}\)。

分布函數(shù)\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\begin{cases}0,&x\leqslant0\\1-e^{-\frac{x}{2}},&x>0\end{cases}\)。

（2）\(P(X>3)=1-P(X\leqslant3)=1-F(3)=1-(1-e^{-\frac{3}{2}})=e^{-\frac{3}{2}}\approx0.2231\)。

（3）對于指數(shù)分布\(X\simExp(\theta)\)，\(E(X)=\theta=2\)，\(Var(X)=\theta^{2}=4\)。

37.某保險公司承保了\(500\)份獨立同分布的保險單，每份保險單在一年內(nèi)的索賠概率為\(0.02\)，設(shè)\(X\)為一年內(nèi)的索賠次數(shù)，利用中心極限定理近似計算\(P(8\leqslantX\leqslant12)\)。

答案：\(X\simB(n,p)\)，其中\(zhòng)(n=500\)，\(p=0.02\)，\(\mu=np=500\times0.02=10\)，\(\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{500\times0.02\times(1-0.02)}=\sqrt{9.8}\approx3.13\)。

\(P(8\leqslantX\leqslant12)\approx\varPhi\left(\frac{12-10}{3.13}\right)-\varPhi\left(\frac{8-10}{3.13}\right)=\varPhi(0.64)-\varPhi(-0.64)=2\varPhi(0.64)-1\)。

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得\(\varPhi(0.64)\approx0.7389\)，所以\(P(8\leqslantX\leqslant12)\approx2\times0.7389-1=0.4778\)。

38.已知隨機變量\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合概率密度函數(shù)\(f(x,y)=\begin{cases}3x,&0<y<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，求：

（1）\(E(X)\)和\(E(Y)\)；

（