數列求和的常用方法一、幾種數列求和的常用方法1、分組轉化求和法：一個數列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．2、裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．3、錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么求這個數列的前項和即可用錯位相減法求解．4、倒序相加法：如果一個數列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前項和即可用倒序相加法求解．二、公式法求和常用公式公式法主要適用于等差數列與等比數列.1、等差數列的前n項和2、等比數列的前n項和3、一些常見的數列的前n項和：①；②；③；=4\*GB3④三、裂項相消法中常見的裂項技巧1、等差型裂項（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）2、根式型裂項（1）（2）（3）（4）3、指數型裂項（1）（2）（3）（4）（5）（6）4、對數型裂項四、錯位相減法求和步驟形如，其中為等差數列，首項為，公差為；為等比數列，首項為，公比為.對數列進行求和，首先列出，記為①式；再把①式中所有項同乘等比數列的公比，即得，記為②式；然后①②兩式錯開一位作差，從而得到的前項和。注：等差數列的通項常見形式為(其中A、B為常數)，等比數列通項常見的形式為(其中A、m為常數)題型一相加型分組求和【例1】（2023·四川·高二達州市第一中學校校考階段練習）已知遞增等差數列滿足，且、、成等比數列.（1）求數列通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）設等差數列的公差為，則，因為、、成等比數列，則，即，即，整理可得，又因為，故，因此，.（2）由（1）可得，所以，.【變式1-1】（2023·吉林長春·高二校考期末）在數列中，，（1）證明：數列是等比數列.（2）求數列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由得，，所以數列為首項為1，公比為4的等比數列.（2）由（1）得，則，.【變式1-2】（2023·河北邯鄲·高二校考階段練習）已知數列滿足，．（1）記，證明：是等比數列，并求的通頂公式；（2）求數列的前項和．【答案】（1）證明見解析；；（2）【解析】（1）由，得，又，，且，所以是等比數列，（2）由（1）得，得，所以，即【變式1-3】（2023·江蘇·高二淮陰中學校聯考階段練習）已知數列為等差數列，公差為，；數列為各項均為正數的等比數列，，.（1）求數列和的通項公式；（2）若，求數列的前頂和【答案】（1），；（2）【解析】（1）數列為等差數列，公差為，，，又數列為各項均為正數的等比數列，設公比為，，，又，得，；（2）由（1）得，則，整理得題型二奇偶項分組求和【例2】（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學校考階段練習）在數列中，，，，則的前20項和（）A．621B．622C．1133D．1134【答案】C【解析】設，，則，.由已知可得，，即，所以為以2為首項，2為公差的等差數列，，，即，所以為以1為首項，2為公比的等比數列，.所以，的前20項和.故選：C.【變式2-1】（2023·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）已知數列，且，則數列的前2024項之和為（）A．1012B．2022C．2024D．4048【答案】C【解析】當為奇數時，，所以數列的奇數項成首項為，公差為的等差數列.當為偶數時，，所以數列的偶數項成首項為，公差為的等差數列.所以前項和為：.故選：C【變式2-2】（2023·上海·高二校考期中）已知數列的前n項和為，，．（1）求數列的通項公式；（2）若數列，求的前n項和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）數列中，，，當時，，兩式相減得，而，即對任意，，因此數列是首項為1，公比為3的等比數列，，所以數列的通項公式是.（2）由（1）知，，當為偶數時，；當為奇數時，，所以的前n項和.【變式2-3】（2023·江蘇揚州·高二統考階段練習）已知等差數列的前項和為，且滿足，．（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前項和．【答案】（1）；（2）1409【解析】（1）依題意，設數列的公差為，因為，所以，解得：，所以．（2）因為，所以，所以.題型三并項法求和【例3】（2023·山東威海·高二威海市第一中學校考階段練習）已知數列，，，則等于（）A．3027B．3028C．3034D．3035【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C.【變式3-1】（2023·福建漳州·高二華安縣第一中學校考階段練習）若數列的通項公式是，則【答案】3036【解析】因為，所以，，，，所以.【變式3-2】（2023·河北·高三承德市雙灤區實驗中學校考階段練習）已知數列滿足，，記數列的前項和為，則．【答案】506【解析】由遞推公式可得，；；……；而.【變式3-3】（2023·河南·高二校聯考階段練習）已知數列，滿足，，.（1）證明：為等差數列.（2）設數列的前項和為，求.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由題意得，，則，所以是首項，公差為1的等差數列.（2）由（1）得，則，當為偶數時，.當為奇數時，為偶數，則.綜上，.題型四逆序相加法求和【例4】（2023·全國·高二專題練習）已知正數數列是公比不等于1的等比數列，且，試用推導等差數列前項和的方法探求：若，則（）A．2022B．4044C．2023D．4046【答案】D【解析】因為正數數列是公比不等于1的等比數列，且，所以，又∵函數，∴，令，則，∴，∴.故選：D.【變式4-1】（2023·江蘇蘇州·高二張家港市沙洲中學校考開學考試）已知函數，數列為等比數列，，且，利用課本中推導等差數列前項和的公式的方法，則（）A．B．2017C．4034D．8068【答案】C【解析】用倒序相加法：令①則也有②由，，即有，可得：，于是由①②兩式相加得，所以．故選：C【變式4-2】（2023·廣東佛山·高二南海中學校考階段練習）已知函數，則．【答案】/【解析】，，設①，則②，①+②得，.【變式4-3】（2023·遼寧·高二鳳城市第一中學校聯考階段練習）德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學界的王子，19歲的高斯得到了一個數學史上非常重要的結論，就是《正十七邊形尺規作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現有函數，設數列滿足（），則．【答案】【解析】，，因為①，所以②，兩式相加得，所以.【變式4-4】（2023·江西萍鄉·高二統考期末）已知函數關于點對稱，其中為實數.（1）求實數的值；（2）若數列的通項滿足，其前項和為，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題知，即，整理得，解得；（2）由題知，，且，則，又，故，即.題型五裂項相消法求和【例5】（2023·江蘇蘇州·高二統考期中）數列中，，，則（）A．77B．78C．79D．80【答案】D【解析】依題意，，所以，由，解得.故選：D【變式5-1】（2023·江蘇徐州·高二統考階段練習）已知是公比不為的等比數列，，且．（1）求的通項公式；（2）設，，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）因為是等比數列，設公比為q（），由題意得，解得，所以．（2）由（1）得因為，所以，所以，因為，所以，從而．【變式5-2】（2023·河北邢臺·高二校聯考階段練習）已知為等差數列，其前n項和為，，，且也為等差數列．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設的公差為d．因為，，為等差數列，所以，，成等差數列，則，解得，故．（2）因為，，所以．設的前n項和為，則【變式5-3】（2023·福建·高二廈門一中校考階段練習）設是等比數列且公比大于0，其前項和為是等差數列，已知，．（1）求的通項公式；（2）設，數列的前項和為，求滿足的最大整數的值．【答案】（1），；（2）9.【解析】（1）設的公比為，因為，所以，即，解得或（舍），所以，設的公差為，因為，所以，所以，解得，所以．故，.（2），即.所以.，化簡得，又，解得.所以滿足的最大整數.【變式5-4】（2023·浙江金華·高二校聯考階段練習）已知等差數列前項和為，滿足.數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）設數列滿足，求數列的前項和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）設數列的公差為，解得.，且，所以是等比數列，（也可用累乘法求的通項公式）（2），故，.【變式5-5】（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）已知數列滿足.（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）令，得，當，則：，得：，解得：，當時，也滿足上式.綜上，.（2）證明：由所以:故：.題型六錯位相減法求和【例6】（2023·江蘇蘇州·高二校考階段練習）已知數列的首項為0，且，數列的首項，且對任意正整數m，n恒有．（1）求和的通項公式；（2）對任意的正整數n，設，求數列的前n項和；【答案】（1），；（2）【解析】（1）由數列的首項為0，且，可得是首項為0，公差為1的等差數列，即有；數列的首項，且對任意正整數，恒有，可令，則，則是首項和公比均為的等比數列，；（2）由，則兩式相減，得：，.【變式6-1】（2023·河南·高二校聯考階段練習）已知數列的前項和為，，.（1）求的通項公式；（2）若數列的前項和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由題意得，得，則是首項為，公比為的等比數列，所以的通項公式為.（2）由題意得，，兩式相減，得

，所以，因為，所以.【變式6-2】（2023·福建龍巖·高二校聯考期中）已知數列的前項和是，且.（1）證明：是等比數列.（2）求數列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：當時，，得：；當時，得：，將兩式相減得：，得：，所以得：當