1.4空間向量的應用

【知識點梳理】

知識點一：直線的方向向量和平面的法向量

1.直線的方向向量：

點A是直線/上的一個點，4是直線/的方向向量，在直線/上取通=1，取定空間中的任意一點。,

則點尸在直線/上的充要條件是存在實數(shù)3使而=西+位或而=E+r荏，這就是空間直線的向量表達

式.

知識點詮釋：

(1)在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方

向向量.

(2)在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應用，可以參與向量運算或向量的

坐標運算.

2.平面的法向量定義：

直線/_La,取直線/的方向向量彳，我們稱向量"為平面a的法向量.給定一個點A和一個向量萬，那

么過點A,且以向量方為法向量的平面完全確定，可以表示為集合仍存4=0}.

知識點詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應用時，可適當取平面的一個法向量.已知一平面內(nèi)

兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量.

3.平面的法向量確定通常有兩種方法：

(1)幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向

量；

(2)幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：

(0設出平面的法向量為萬=(x,y,z)；

(花)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標汗=(%，4，cJ,b=(a2,b2,c2)；

[n-a=0

(沆)根據(jù)法向量的定義建立關于尤、y、z的方程{-；

(zv)解方程組，取其中的一個解，即得法向量.由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可在代入方程組

的解中取一個最簡單的作為平面的法向量.

知識點二：用向量方法判定空間中的平行關系

空間中的平行關系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行.

(1)線線平行

設直線//的方向向量分別是鬲5，則要證明卜4，只需證明1//5,即萬=^(%eR).

(2)線面平行

線面平行的判定方法一般有三種：

①設直線/的方向向量是平面C的向量是注，則要證明〃/堞，只需證明打，沅，即落方=0.

②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線

的方向向量是共線向量.

③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平

面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.

(3)面面平行

①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉化為相應的線面平行、線線平行即可.

②若能求出平面e,4的法向量汗了，則要證明a//￡,只需證明比//舊.

知識點三、用向量方法判定空間的垂直關系

空間中的垂直關系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直.

(1)線線垂直

設直線4的方向向量分別為鬲5，則要證明4,4，只需證明,即灑5=0.

(2)線面垂直

①設直線/的方向向量是&,平面e的向量是注，則要證明/J_cr,只需證明N//力.

②根據(jù)線面垂直的判定定理轉化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.

(3)面面垂直

①根據(jù)面面垂直的判定定理轉化為證相應的線面垂直、線線垂直.

②證明兩個平面的法向量互相垂直.

知識點四、用向量方法求空間角

(1)求異面直線所成的角

已知a,b為兩異面直線，A,C與B,。分別是a,6上的任意兩點，a,b所成的角為6,

\AC-BD\

則cos。=

\AC\\BD\'

知識點詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為(0°,90°].兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向

向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當兩方向向量的夾角是鈍角時，應取其補角作為兩異面直線所成

的角.

(2)求直線和平面所成的角

設直線/的方向向量為平面a的法向量為打，直線與平面所成的角為6,1與日的角為夕，

則有sin。=|cos<p|=陌詞.

(3)求二面角

如圖，若B4_L々于A,P3_L￡于3,平面B鉆交/于E,則為二面角a-/-〃的平面角，

ZAEB+ZAPS=180°.

若%,%分別為面a,〃的法向量，cos(Hi，〃J=分吠

一同,㈣

則二面角的平面角NAEB=(%,%)或；，

即二面角e等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角.

①當法向量I與鼠的方向分別指向二面角的內(nèi)側與外側時，二面角。的大小等于耳苑的夾角(晨屋)

的大小.

②當法向量最屋的方向同時指向二面角的內(nèi)側或外側時，二面角e的大小等于成，成的夾角的補角

萬一(4,%)的大小.

知識點五、用向量方法求空間距離

1.求點面距的一般步驟：

①求出該平面的一個法向量；

②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應的向量；

③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離.

IAB.HI

即：點A到平面a的距離-----L,其中Bea,萬是平面a的法向量.

I利

2.線面距、面面距均可轉化為點面距離，用求點面距的方法進行求解.

IAB.HI

直線a與平面a之間的距離：d=--------,其中五是平面a的法向量.

\n\

IAB.HI

兩平行平面見，之間的距離：1=^------其中Aea.Be/?,為是平面a的法向量.

I利

3.點線距

設直線/的單位方向向量為沅，AebPel，設麗=,，則點P到直線1的距離d=J同2_(無不.

【題型歸納目錄】

題型一：求平面的法向量

題型二：利用向量研究平行問題

題型三：利用向量研究垂直問題

題型四：異面直線所成的角

題型五：線面角

題型六：二面角

題型七：距離問題

【典型例題】

題型一：求平面的法向量

例1.(2022.湖北.高二階段練習)已知平面。內(nèi)有兩點N(a,3,3),平面a的一個法向量為

?=(6,-3,6),貝！|。=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

首先求出兩的坐標，依題意可得/麗=0,根據(jù)數(shù)量積的坐標運算得到方程，解得即可；

【詳解】

解：因為〃。,一1,2),N(a,3,3),所以麗=(。一1,4,1),

因為平面a的一個法向量為3=(6,-3,6),所以1.湍，

貝！J〃?睦V=6(。—l)—3x4+6=0,解得。=2,

故選：C.

例2.(2022.全國?高二課時練習)已知正方體ABCD-ABIGR,分別寫出對角面^ACG和平面AC4的

一個法向量.

【答案】平面AACG的一個法向量為浣=(1,1,0),平面AC用的一個法向量為溫=(1,1,-1)；

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，分別求出平面AACG與平面AC8,的法向量；

【詳解】

解:如圖建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1,則40,0,0)、c(0,L0)、q(0,1,1),4(1,1,1)、

A。,。」)，所以衣=(-M,o),福=(o,i,i),隨=(o,o,i),設面AACG的法向量為?；=(X%z),所以

_，令％=1,則y=i,z=o,所以機=(1,1,0),即平面AACG的一個法向量為機，

設平面AC4的法向量為￡=(a,6,c),則，空a+b°,令<7=1,則b=l,c=-l,所以￡=(1,1,-1),

口ABX=b+c=0

所以平面AC4的一個法向量為3=(1,1,-1)；

例3.(2022?湖南?高二課時練習)如圖，在長方體A8C。-ABIGR中，AB=2,AD=6,M=3,

建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求下列平面的一個法向量：

(1)平面ABCD-,

(2)平面ACCM；

⑶平面AC。-

【答案】(l)^D7=(0,0,3)

(2)m=(1,3,0)

(3)I=(1,3,2)

【解析】

【分析】

以。為原點，。4。。,。2所在的直線分別為工D*軸，建立空間直角坐標系，

(1)由于OR，平面ABC。，所以西為平面ABC。的一個法向量，

(2)設平面ACGA的法向量為巾=(x,y,z),貝3：--,從而可求出法向量,

[比?=3z=0

(3)設平面ACR的法向量為日=(a,b,c),貝[".[￡=-?+?=:,從而可求出法向量

[n-AD1=-6a+3c=0

(1)

以。為原點，。，4,。仁。口所在的直線分別為％%2軸，建立空間直角坐標系，

則。(0,0,0),A(6,0,0),C(0,2,0),。,(0,0,3),A1(6,0,3),C,(0,2,3),

所以DD?=(0,0,3),

因為。2,平面ABC。，所以西為平面ABC。的一個法向量,

所以平面ABCD的一個法向量為。D?=(0,0,3),

(2)

設平面ACC|A的法向量為m=(x,y,z),

因為衣=(-6,2,0),加二=(0,0,3),

in-AC=-6x+2y=0

所以令x=l,則而=(1,3,0),

m-AAi=3z=0

所以平面ACGA的一個法向量為肩=(1,3,0),

(3)

設平面AC。的法向量為3=(。也c),

因為恁=(-6,2,0),而二=(-6,0,3),

f—>,[n-AC=-6a+2b=0,之.八]

'^[n-ADl=-6a+3c=0則[=(1,3,2)

所以平面AC，的一個法向量為方=(1,3,2)

例4.(2022?湖南?高二課時練習)如圖,已知平面a內(nèi)有4(2,3,1),8(4,1,2),C(6,3,7)三點,求平面

a的法向量.

【答案】（-3,2,10）（結果不唯一）

【解析】

【分析】

設出法向量的坐標，根據(jù)法向量與福，正向量垂直，列出方程組，求解即可.

【詳解】

不妨設平面a的法向量用=（x,y,z）,又通=（2,—2,1）,*=（4,0,6）,

m-AB=02x-2y+z=0

故可得_,即2x+3］。,不妨取『，故可得=3,z=l。,

m-AC=0

故平面a的一個法向量為（-3,2,10）.

又平面a的法向量不唯一，只要與向量（-3,2,10）平行且非零的向量均可.

故答案為：（-3,2,10）.（結果不唯一）

【方法技巧與總結】

求平面向量的法向量的基本方法是待定系數(shù)法，即先設出一個法向量的坐標（x,y,z）,再在平面上取

兩個向量（可取特殊向量，如在某個坐標平面上的向量，或與某坐標軸平行的向量），則它們與法向量均垂

直，因此它們的數(shù)量積均為0,從而得到尤、外。所滿足的兩個方程，再令x為某個特殊值，便可得出y、z

的值，從而確定一個法向量.要注意一個平面的法向量有無數(shù)個，因此不可能直接求出尤、y、z的值，但在

特殊條件下便可求出.

題型二：利用向量研究平行問題

例5.（2022.全國?高二課時練習）在棱長為1的正方體ABC。-A8G2中，E為CG的中點，P、。是

正方體表面上相異兩點.若尸、。均在平面上，滿足BQlAtE.

（1）判斷PQ與BD的位置關系；

（2）求網(wǎng)的最小值.

【答案】（1）尸。與BD的位置關系是平行

⑵述

4

【解析】

【分析】

（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量判斷PQ與BD的位置關系；（2）用含參數(shù)的表達式求出|耳耳，

進而求出最小值.

⑴

以。為原點，以射線D4,DC,分別為x,y,z軸的正向建立空間直角坐標系，40,0,1）,

5（1,1,0）.

因為P、。均在平面4月GA上，所以設P（a,6,l）,

貝IJ乖麗=.-1力-1,1）,殖=（機-1,〃一1,1）.

因為BQ1AiE,

BP-4E=-(a-l)+(Z?-l)-1=0,

所以

BG-4E=-(m-l)+(M-l)-1=0,

,1

b—a=一,

2

解得:

1

n-m=—

2

所以PQ=(〃—仇〃—Z?,0),BD—15—1?0),

^PQ=[b-n)BD,PQ\\BD,

所以PQ與5。的位置關系是平行.

(2)

由(1)可知：b—a=—,241P=(a—l,Z?,0),

2

所以所=耳—以+尸=/―丁+}+功=^2a-a+|=^2^-1j+|（0<a<l）.

當“=:時，|4耳有最小值，最小值為平.

例6.（2022?全國?高二課時練習）已知正方體A8C。-A4GA中，棱長為2a,M是棱的中點.求證:

〃平面AMG.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

以點。為原點，分別以次、覺與函的方向為x、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系，分別求出

面的一個法向量和直線。耳的方向向量，根據(jù)直線與平面平行的定義即可證明.

【詳解】

以點D為原點，分別以麗、覺與西的方向為x、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系.則0（0,0,0）

、A（2a,0,0）sC（0,2di,0）x5（2a,2a,0）、Dx（0,0,2a）yA（2a,。,2a）、G（0,2a,2〃）、J（2a,2a,2a）是棱的

中點得加（。,。,。），DB、=（2々,2〃,24）.設面4/。1的一個法向量為〃=（%，丁,2）,=（2a,0,a）,

---/、，一,.___>一一，

岫?=（°'2aM叫,萬In.-M西A,==0,,寸[22ax+-a=z=0。,令A日,則〃=（口一2）?又必因為*

平面AMG，所以DB1〃平面AMC一

例7.（2022?全國?高二課時練習）如圖，正方體ABC。-AqGR中，M.N分別為A3、2（的中點.

（1）用向量法證明平面4出。〃平面⑸C。；

（2）用向量法證明MN_L平面42。.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】

（1）利用向量法可得兩平面的法向量，再根據(jù)法向量互相平行證明面面平行;

（2）利用向量法證明平面48。的法向量與平行，即可得證.

（1）

如圖建立空間直角坐標系，

設正方體的棱長為2,

則A（2,0,2）,5（2,2,0）,耳（2,2,2）,C（0,2,0）,￡>（0,0,0）,D,（0,0,2）,

___________kULIU_______k

故。4=（2,0,2）,08=（2,2,0）,^=（-2,0,-2）,BQ=（-2,-2,0）,

設平面的法向量％=（占,x，zj,

2%+2Z]=0

令冗i=l,貝！J%=（1，—I,—1）,

2xl+2%=0

設平面用的法向量為二（%2，%*2）,

鴕為2=0[—2%,—2z,—0

即-J令9=1,則%=（1廠—1）,

BQ?五2=o[-2元2=0

所以匕=凡，即4//萬2，

故平面42。〃平面BCQ；

⑵

由M,N是線段A8,耳c中點，

則“（2,1,0）,N（1,2,1）,

所以麗=（一1,1,1）,

貝!|MN//H,,

所以A?V_L平面

例8.（2022.全國?高二課時練習）已知長方體ABCD-AACQI中，AB=4,AD=3,44,=3,點S、

P在棱CJ44」，且|CS|=g|SG|,|AP|=2|9I，點RQ分別為AB、RG的中點.求證：直線尸。〃直

線RS.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】

利用坐標法，利用向量共線定理即得.

【詳解】

以點。為原點，分別以次、覺與函的方向為尤、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系.

則。（0,0,0）、4（3,0,0）、C（0,4,0）、3（3,4,0）、.（0,0,3）、4（3,0,3）、G（0,4,3）、B,（3,4,3）,

由題意知尸（3,0,2）、2（0,2,3）,5（0,4,1）,-（3,2,0）,

.?.苑=（-3,2,1）,麗=（-3,2,1）.

：.PQ=RS,又PQ,RS不共線，

PQ//RS.

例9.（2022.全國?高二課時練習）在正方體AB。-ABCQ中，點昂尸分別是正方形A瓦G2和正方

形4GCB的中心.求證：

（DAG，平面A3。；

（2）所〃平面”3；

（3）平面4EP〃平面

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

（3）證明見解析

【解析】

【分析】

（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得_L平面A3。；

（2）利用向量法證得反〃平面A0。；

（3）利用向量法證得平面ByEF//平面AtBD.

（1）

設正方體的邊長為2,建立如圖所示空間直角坐標系，

G（2,2,2）,A（0,0,2）,8（2,0,0）,。（0,2,0）,

福=（2,0,—2）,麗=（0,2,-2）,

B,9二。，離,麗=。，

所以AG，4氏AC]，AD,

由于所以AG，平面AB。.

⑵

設平面A.BD的法向量為％=伍,％,zj,

/甲=2%-2q=°

故可設點=(1,1,1).

、?\D-2y1-2z1=0

￡(l,l,2),F(2,l,l),EF=(l,0,-l),

n^-EF=0,瓦尸仁平面48。，

所以所〃平面48。.

(3)

4(2,0,2),瓦T=(0,1,-1),

設平面B[EF的法向量為n2=(x2,y2,z2),

貝H二釬-，故可設巧=LU.

[n2?B/=y2-z2=0

勺="，

顯然，平面耳EB與平面ABO不重合，所以平面4W〃平面A3。.

【方法技巧與總結】

(1)線線平行

設直線//的方向向量分別是鬲5，則要證明/"4，只需證明4//5,即a=^(%eR).

(2)線面平行

線面平行的判定方法一般有三種：

①設直線/的方向向量是@,平面c的向量是沅，則要證明///a,只需證明萬,力，即落疔=0.

②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線

的方向向量是共線向量.

③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平

面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.

(3)面面平行

①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉化為相應的線面平行、線線平行即可.

②若能求出平面c，6的法向量防，爐，則要證明a//￡,只需證明沅///.

題型三：利用向量研究垂直問題

例10.(2022?全國?高二課時練習)如圖所示，在棱長為1的正方體OABC-OMqG，中，E、尸分別

是棱A3、BC上的動點，S.AE=BF=x,其中OWxWl,以。為原點建立空間直角坐標系。-孫z.

(1)求證：A尸_LG^；

—?1___.―>

(2)若A、E、F、G四點共面，求證：AlF=^AlCl+AlE.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)由卡?甲=0證明；

(2)根據(jù)4、E、F、G四點共面，設卡=2通l+〃4g求解；

(1)

解:由已知得A(1,0,1)，F(xiàn)(l-x,l,o),q(0,1,1),E(l,x,o),

則即=(T,L-1)，*=(1,尤—LT),

?C^E=—x+(x—l)+l=0,

4F±QE,

即\F1QE.

(2)

4F=(-x,L-l),而=(—1,1,0),4E=(O,x,-l).

設=2AG+，

—x=一尢

由<l=X+〃x,解得;i=(，〃=1.

-1=一〃，

―-1——.―.

所以4尸=]AC1+4E.

例11.(2022?全國?高二課時練習)如圖，已知長方體ABCO-AB1G2中，AD=AB=2DDt,判斷滿

足下列條件的點M，N是否存在：MeADt,NeBD,MN±ADt,MN±BD.

【答案】存在點M,N滿足MeA?,Ne瓦),MN，AR,MN，2。

【解析】

【分析】

建立直角坐標系利用空間向量垂直的求解方法進行求證.

【詳解】

解:假設存在M，N滿足條件.在長方體中以。為原點，分別以",DCOR所在的直線為x軸，y軸，z

軸，建立空間直角坐標系.

不妨設OR=1,AM=x,￡W=y則AD=A3=2E>2=2

在AADDI中，

...川2一*,0當，N(正，也,0)

I55J22

又D,(0,0,1),A(2,0,0),0(0,0,0),BQ,2,0)

即存在點M,N滿足MeAD「NcBD,MN1ADX,MN1BD

例12.(2022.全國?高二課時練習)如圖，在正方體ABCO-A4GA中，。是AC與3。的交點，M是CG

的中點.求證：4。，平面加8。.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標系，利用向量法來證得4。，平面MBD.

【詳解】

建立如圖所示空間直角坐標系，

設正方體的邊長為2,則0(1,1,0),4(2,0,2),磯2,2,0),M(0,2,1),

西二(1,-1,2),西?麗=0,無?加=0,

由于DBcnM=M,所以A。，平面MBD.

例13.(2022?浙江?高三專題練習)如圖所示，在長方體ABCD-A耳G2中，AD=1,AB=AAl=2,

N、M分別A3、G。的中點.

(1)求證：MW7/平面AADO］；

(2)求證：M0_L平面A4M.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

C1)以點。為坐標原點，DA.DC、。已所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用空

間向量法可證得結論成立；

(2)求出平面4月M的一個法向量，利用空間向量法可證得結論成立.

【詳解】

(1)以點。為坐標原點，DA,DC、所在直線分別為x、V、z軸建立如下圖所示的空間直角坐

標系,

則A(1,O,O)、M(0,1,1),N(l」,0)、4。,2,2)、A(1,0,2),

W=(-1,0,1),易知平面AADR的一個法向量為2=(0,1,0)，

?：NM-m=-1x0+0x14-1x0=0>則NM_L〃z，

?.?MW平面AADR,故MW〃平面AADR；

(2)設平面481M的法向量為〃=(尤,y,z),A4=(0,2,0),,

由[得[2>=。取尤=一1,可得“=(-!,0,1),

[n-=0[-x+y—z=0

所以，NM=n，故MWJ■平面

例14.(2022?全國?高三專題練習)已知正方體ABCO-A/B/GQ中，E為棱CG上的動點.

(1)求證:AiELBD；

(2)若平面A/BD，平面EB。，試確定E點的位置.

【答案】(1)證明見解析；(2)E為CG的中點.

【解析】

【分析】

以。為原點，DA.DC、DDi為x,y,z軸，建立空間直角坐標系.

(1)計算乖.五)=0即可證明；

(2)求出面48。與面班。的法向量，根據(jù)法向量垂直計算即可.

【詳解】

以。為坐標原點，以D4,DC,。功所在直線分別為無軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖,

設正方體的棱長為。，則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ai{a,0,a),Ci(0,a,a).

設E(0,a,e)(0<e<a).

(1)A]E=(—a，a，e—a),BZ)=(—a,—a，°)，

...^E-BD=a2-a2+(e~ayO=Q,

A[￡1BZ)>即A/E_LB。；

(2)設平面A/D,平面￡8。的法向量分別為為=(x/,"，z/),電=(X2,”，Z2).

_>—>_>

?；DB=9,a,0),￡)4=(0,0,d),。￡=(。，〃，e)

7->->->->->->

9

,,?DB=0?n{,DA^=0n2,DB=0?ni-DE=0-

[aXy+ayx=0,[ax2+ay2=0,

,[axl+azx=0,'[ay2+ez2=0.

—.—>―>d

取X/=X2=1,得"，=(1，—1，—1),”,=(1，—1，—).

12e

由平面42。，平面得［，￡.

.'.2——=0,即e=2.

e2

.?.當E為CG的中點時，平面A/D，平面EBD.

【方法技巧與總結】

(1)線線垂直

設直線/”4的方向向量分別為1,5,則要證明只需證明4即灑6=0.

(2)線面垂直

①設直線/的方向向量是色,平面々的向量是沅，則要證明/_Ltz,只需證明萬〃力.

②根據(jù)線面垂直的判定定理轉化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.

(3)面面垂直

①根據(jù)面面垂直的判定定理轉化為證相應的線面垂直、線線垂直.

②證明兩個平面的法向量互相垂直.

題型四：異面直線所成的角

例15.(2022?上海市光明中學模擬預測)如圖所示，設有底面半徑為3的圓錐.已知圓錐的側面積為15萬，

1T

。為P4中點，ZAOC=~.

(1)求圓錐的體積；

(2)求異面直線CD與AB所成角.

【答案】(1)12萬

嗚

【解析】

【分析】

(1)由圓錐側面積公式可求得母線長，進而得到圓錐的高，利用圓錐體積公式可求得結果；

(2)解法一：取。4邊上中點E,由線面垂直的判定可證得AfiJ_平面CDE,由線面垂直性質(zhì)得AB_LCD,

由此可得結果；

解法二：取圓弧A3中點E,連結OE,以。為坐標原點可建立空間直角坐標系，由向量運算可得

ABCD^O,知AB_LCD,由此可得結果.

(1)

設圓錐母線長為/,

...5例=%”=3萬/=15萬，.-./=5,即B4=P8=5,

二圓錐的高/z=O尸=,242—0^=4,

1191

:.V=--S,h=—兀?0A-?。尸=-萬x9x4=12%.

3底s33

⑵

解法一：取。4邊上中點E,連結DE,CE,AC,

DE是AAOP的中位線，DE//OP；

:O尸垂直于底面，.〔DE垂直于底面，AB；

-.CA=CO,E為OA中點，:.CE±OA,即至入。￡；

?:CEcDE=E,CE,OEu平面CDE,r.AB_L平面CDE,

77

又CDu平面CDE,.?.ABLCZ）,即異面直線AB與CD所成角為一.

2

解法二：取圓弧A3中點E,連結0E,則OELAB；

以。為坐標原點，礪，礪,赤的正方向為x，Mz軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，

則A（0,—3,0）,8（0,3,0）,C￥，-［，0，。1°，一

.-.AB=（0,6,0）,麗=］一￥，0,2,

7T

ABCD=0.即AB_LCD,；?異面直線A3與CD所成角為彳.

例16.（2022?江蘇?漣水縣第一中學高二階段練習）如圖所示，在四棱維P-ABCD中，上4,面

ABCD,AB±BC,AB±AD,>PA^AB=BC=-AD=2.

2

⑴求尸8與CD所成的角；

（2）求直線尸￡>與面PAC所成的角的余弦值.

【答案】（1）60。

⑵g

【解析】

【分析】

（1）利用向量的夾角的余弦值，求異面直線的夾角.

（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)法向量與直線的方向向量的夾角來確定線面角的正弦值，再根據(jù)同角

關系求余弦值.

（1）

因為尸A_L面ABCRABLAD,所以PA,AB,A。兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系4（0,0,

0),尸(0,0,2),8(2,0,0),￡)(0,4,0),C(2,2,0)

則麗=（2,0,-2）,CD=（-2,2,0）

???|cosPB,CD\=[竺？=：,所以尸3與CO所成的角為60。

1”網(wǎng)回,

（2）

__,____kk_rz=o

AP=（0,0,2）,AC=（2,2,0）,設平面PAC的法向量為m=（x,y,z）■：m1AP^n±AC,:A；0,令y=T,

[y+x

則加=（1,一1,0）,

設直線尸。與面PAC所成的角的為e,又麗=（04-2）,

,冷=眄麗麗H瑞|=乎

直線PD與面PAC所成的角的余弦值為姮.

5

例17.（2022?全國?高二課時練習）已知正方體ABCD-ABC2的棱長為1，。為4G中點.

（1）證明：與。〃平面or>G；

（2）求異面直線BtC與OD所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析

⑵三

O

【解析】

【分析】

（1）建立空間直角坐標系，求得相關點的坐標，繼而求得平面。OG的一個法向量，計算萬?鴕=0,

即可證明結論；

（2）求得直線用C與。￡）的一個方向向量為%=（-1,0,-1）,麗=&[，1],根據(jù)向量的夾角公式，

結合異面直線所成交的范圍，求得答案.

（1）

如圖，以。為原點，射線ZM、DC、分別為x、y、z軸的正向，

建立空間直角坐標系，則有G（0,1,1）,4（1,1,1）00,1,0）,

故前DC；=（0,1,1）.

設平面ODQ的一個法向量為5=（x,y,z）,

11八

為.前二0,—x+—y+z=0

由得《22

n-DC、=0

y+z=0

令y=i,貝Uz=—1,x=i,所以歷=(1,1,-1).

又4c=(-i,o,-i),從而力?4。=0,即為

???B?不在平面OZ)G內(nèi)，所以8。〃平面ODC一

⑵

直線8(與。。的一個方向向量為鴕=(一1,0,-1),前

-lx—1A

得cos(配，而)=---備,

又設異面直線耳。與。。所成角為凡則。e(o,爭，故cosO=且,

22

所以異面直線BtC與0D所成角的大小為1.

例18.(2022?江蘇常州?高二期中)如圖，已知正方形A3CD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=y/2,

A尸=1,M是線段EF的中點.

(1)求證：4江//平面3。￡；

(2)試在線段AC上確定一點P，使P/與3c所成角是60°.

【答案】(1)證明見解析

(2)P點應在線段AC的中點處

【解析】

【分析】

(1)^ACC\BD=O,連接OA/,通過證明AM//OE即可得出；

(2)以C為原點建立空間直角坐標系孫z,利用向量關系可求出.

(1)

設ACn8O=O,連接OM,因為ABCD是正方形，所以。是AC中點，

又因為AC砂是矩形，加是線段斯的中點，所以=

所以四邊形4函1為平行四邊形，所以AM//OE,

因為AMU平面5DE,OEu平面3DE,所以AM//平面3DE；

(2)

如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-孫z,

依題意設尸(。,。,0乂0V。,

則而=(應_〃,應CB=(0,^,0),

因為冏=0,|而卜，2(夜-a『+lPF-CB=V2（V2-<7）,

而與國所成角是60。,

PFCB

所以cos60。=

化簡得2/一4缶+3=0,解得。=也或"逑(不合題意舍去),

22

從而尸［羋,岑,。］,因此尸點應在線段AC的中點處.

I22)

【方法技巧與總結】

已知a,b為兩異面直線，A,C與8,。分別是a,b上的任意兩點，a,b所成的角為6,

\AC-BD\

則cosd=

\AC\-\BD\

題型五：線面角

例19.(2022?天津和平?一模)平行四邊形ABCD所在的平面與直角梯形ABEF所在的平面垂直，BE//AF,

AB^BE=-AF^1,且=工,BC=0,P為。尸的中點.

24

(1)求證：AC±EF；

(2)求點P到平面BCE的距離；

(3)若直線E尸上存在點H,使得直線所成角的余弦值為孚，求直線3"與平面AZ*成角的大

小.

【答案】(1)證明見解析;

⑵冬

⑶5-

O

【解析】

【分析】

(1)證明ACLA2,從而得AC,平面A2EF即可；

(2)以A為原點，AB,AKAC所在直線為XXZ軸建立空間直角坐標系，求出平面3CE的一個法向量萬,

~PC-n

則點尸到平面3CE的距離為定在百方向投影的絕對值一丁；

BHCF=2^可求出”坐標,

（3）根據(jù)E、H、/三點共線，表示出H點坐標，根據(jù)卜。s（麗?國|=

BH||CF

求出平面ADP法向量，利用向量即可求出直線8〃與平面成角的大小.

⑴

?.?△ABC中，AB=1,NCBA=±,BC坨,

4

???由余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZCBA=1,

AC2+AB2=BC2,：.AB±AC,

?平面ABCD_L平面ABEF,平面48。￡＞口平面超印=42,，47_1_平面超印,

?.?EFu平面ABEF,：.AC±EF.

（2）

以A為原點，A&A尺AC所在直線為XXZ軸建立空間直角坐標系A-孫z.

則3（l,0,0）,C（0,0,l）,D（-l,0,l）,E（l,l,0）,*0,2,0）,P，g,l,￡|,

則南=(一1,0,1),麗=(0,1,0),PC=[|,-1)1

設平面BCE的法向量為。=(x,y,z),

fi-BC=0\—x+z=0/、

即jy=0，取為=(1，°，1)，

n-BE=Q

11

PCn—+—受

二點P到平面BCE的距離d=22

2

(3)

EF=(-1,1,0),CF=(0,2,-l),AD=(-1,0,1),AF=(0,2,0),

設點a坐標(％,M，z),E"=(占-1,M-1,zj,

；E、H、下三點共線，：.EH=AEF,

1+2,0),BH=(-2,l+2,0),

,X麗而J.5-沙+“)-回

,?I\卜西可

解得

,麗=&,；可，

設平面ADR的法向量為玩=（%，為，Z2），

rn-AD=O日口卜2=0

令％=1,則成=（1,0,1）,

rh-AF=0[—%2+z2=0

設直線與平面ADb成的角為e,

BHm\1

sin。=

二直線與平面AD/成的角為]

6

例20.（2022?浙江紹興?模擬預測）如圖，三棱臺ABC-AB|G中，/ABC=90。，A,A=\B=\C=,

AB=BC=2.

（1）證明：AG1.

（2）求直線AG與平面ACB所成的角.

【答案】（D證明見解析

【解析】

【分析】

U）由題，取AC中點D,連接AD、BD,AC〃AG，先由線線垂直證4CL面，即可由線面垂

直證ACLAf,即可證AG，42；

（2）分別以DC、D4,為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系，即可由向量法求所求線面角.

（1）

由題，取AC中點。，連接A。、BD,由A]A=AC,AB=BC,則AC_LAD、AC±BD,又A。、BDu

面48。，Ad?\BD,

因為ABu面48。，故AC，AB,又AC〃4G，則AG，43,得證;

（2）

由題，ZABC=90°,則AD=3D=CD,又4A=4B,AD=A。，

故AAAQMABAZ）,?AA.DB=Z^DA=90°.

分別以08、DC、為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系,

易得B（0,O,O）,C（O,0,O）,A,（0,0,1）,A（0,-0,0）,而=（0,"-1）,還=（0,0,-1）,

AC=（0,272,0）,設平面ACB法向量￡=（x,y,z）,