8．2一元線性回歸模型及其應(yīng)用（單元教學(xué)設(shè)計(jì)）一、【單元目標(biāo)】（1）結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義．（2）了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法．（3）掌握殘差分析的方法，理解決定系數(shù)的意義，會(huì)使用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件．（4）針對(duì)實(shí)際問題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測．二、【單元知識(shí)結(jié)構(gòu)框架】三、【學(xué)情分析】學(xué)生已掌握函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)，為學(xué)習(xí)一元線性回歸模型奠定了基礎(chǔ)．學(xué)生具備一定的抽象思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，但面對(duì)新的統(tǒng)計(jì)模型可能存在理解上的困難．學(xué)生需要具備良好的邏輯思維和分析問題的能力，以便將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型．四、【教學(xué)設(shè)計(jì)思路/過程】課時(shí)安排：約3課時(shí)教學(xué)重點(diǎn)：一元線性回歸模型的含義；用最小二乘法估計(jì)回歸模型參數(shù)的方法；殘差分析和決定系數(shù)的意義；一元線性回歸模型的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)隨機(jī)誤差的理解；最小二乘原理與方法；參數(shù)的意義及參數(shù)估計(jì)公式的推導(dǎo)；殘差變量的解釋與分析；模型的應(yīng)用及優(yōu)度的判斷．教學(xué)方法/過程：五、【教學(xué)問題診斷分析】環(huán)節(jié)一、情景引入，溫故知新情景：通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱等，那么當(dāng)兩個(gè)變量線性相關(guān)時(shí)，我們?nèi)绾卫贸蓪?duì)樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測？環(huán)節(jié)二、抽象概念，內(nèi)涵辨析1．一元線性回歸模型生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，兒子的身高與父親的身高具有正相關(guān)的關(guān)系，為了進(jìn)一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表所示：編號(hào)1234567父親身高/cm174170173169182172180兒子身高/cm176176170170185176178編號(hào)891011121314父親身高/cm172168166182173164180兒子身高/cm174170168178172165182我們畫出散點(diǎn)圖（課本105頁圖8．2－1）并通過計(jì)算得到樣本相關(guān)系數(shù)r≈0．886．問題1：由樣本相關(guān)系數(shù)可以得到什么結(jié)論？【破解方法】由散點(diǎn)圖的分布趨勢表明兒子的身高與父親的身高線性相關(guān)，通過樣本相關(guān)系數(shù)可知兒子的身高與父親的身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高．問題2：這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型來刻畫嗎？【破解方法】不能．因?yàn)檫@兩個(gè)變量之間不是函數(shù)關(guān)系，也就不能用函數(shù)模型刻畫．【歸納新知】一元線性回歸模型我們稱為關(guān)于的一元線性回歸模型，其中稱為因變量或響應(yīng)變量，稱為自變量或解釋變量；和為模型的末知參數(shù)，稱為截距參數(shù)，稱為斜率參數(shù)；是與之間的隨機(jī)誤差．2．最小二乘法和經(jīng)驗(yàn)回歸方程問題3：在一元線性回歸模型中，表達(dá)式刻畫了變量Y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系，其中參數(shù)a和b未知，確定參數(shù)a和b的原則是什么？【破解方法】使表示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的各散點(diǎn)在整體上與一條適當(dāng)?shù)闹本€盡可能地接近．問題4：下列確定直線的四種方法中最具有可行性的是哪一個(gè)？方法（1）：先畫出一條直線，測量出各點(diǎn)到直線的距離，然后移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離和最小的位置，測量出此時(shí)的斜率和截距，就得到一條直線．方法（2）：可以在散點(diǎn)圖中選兩點(diǎn)畫一條直線，使得直線兩側(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同，把這條直線作為所求直線．方法（3）：在散點(diǎn)圖中多取幾對(duì)點(diǎn)，確定出幾條直線的方程，再分別求出這些直線的斜率、截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)作為所求直線的斜率和截距．方法（4）：我們可以考慮使各組數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差e的和最小來確定直線的斜率和截距．【破解方法】方法（1），（2），（3）雖然有一定道理，但是比較難操作，方法（4）可以利用點(diǎn)到直線的距離來刻畫散點(diǎn)與該直線的接近程度，然后利用所有距離之和刻畫所有樣本觀測數(shù)據(jù)與該直線的接近程度．問題5：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)利用“殘差”平方和最小這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，估計(jì)一元線性回歸模型的參數(shù)和你能推導(dǎo)出參數(shù)和估計(jì)值的公式嗎?【破解方法】教師首先引導(dǎo)學(xué)生將問題數(shù)學(xué)化：“殘差”平方和為其中是已知的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)由和決定，即它是和的函數(shù)，所以問題的本質(zhì)是求和的值，使最小．接著，師生合作解決這個(gè)問題，得出參數(shù)估計(jì)公式，可讓學(xué)生閱讀教科書中相關(guān)部分，并嘗試自己進(jìn)行公式推導(dǎo)．最后，教師給出最小二乘法的概念．若是參數(shù)的最小二乘估計(jì)，將稱為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形為經(jīng)驗(yàn)回歸直線．這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法．對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，可以要求他們課后思考如何求的最小值問題．【歸納新知】線性回歸方程與最小二乘法回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心，是回歸直線方程最常用的一個(gè)特征我們將稱為關(guān)于的線性回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線．這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估計(jì)，其中3．殘差及殘差分析問題6：我們知道兒子身高Y關(guān)于父親身高x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，那么當(dāng)時(shí)，，如果一位父親的身高為172cm，他兒子長大成人后的身高一定是173cm嗎？為什么？【破解方法】不一定，因?yàn)檫€有其他影響他兒子身高的因素，父親的身高不能完全決定兒子身高．問題7：對(duì)于課本105頁表8．2－1中的第6個(gè)觀測，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)父親身高為172cm時(shí)，兒子的身高實(shí)際為176cm，實(shí)際身高與預(yù)測的身高相差了多少？【破解方法】．【歸納新知】殘差的概念對(duì)于響應(yīng)變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．4．殘差平方和與決定系數(shù)問題8：例2中給出了兩個(gè)模型，那么如何比較這兩個(gè)模型的擬合效果？【破解方法】殘差平方和、決定系數(shù)．【歸納新知】刻畫回歸效果的方式（1）殘差圖法作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果越好．（2）殘差平方和法殘差平方和，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差．（3）利用刻畫回歸效果決定系數(shù)是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)，在線性模型中，它代表解釋變量客立預(yù)報(bào)變量的能力．，越大，即擬合效果越好，越小，模型擬合效果越差．環(huán)節(jié)三：例題練習(xí)，鞏固理解例1．經(jīng)驗(yàn)表明，一般樹的胸徑（樹的主干在地面以上1．3m處的直徑）越大，樹就越高．由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測樹高．在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時(shí)，某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的線性回歸方程．編號(hào)123456胸徑/18．120．122．224．426．028．3樹高/m18．819．221．021．022．122．1編號(hào)789101112胸徑/29．632．433．735．738．340．2樹高/m22．422．623．024．3；23．924．7【解析】由已知，，，所以線性回歸方程為：．例2．隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展某地居民收入逐年增長，下表是該地某銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款（年底余額）：年份20132014201520162017儲(chǔ)蓄存款（千億元）567810為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，，得到下表：時(shí)間代號(hào)1234501235（1）求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）通過（1）中的方程，求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（3）用所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測到2021年年底，該銀行儲(chǔ)蓄存款可達(dá)多少？附：對(duì)于經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中，．【解析】（1）設(shè)關(guān)于的線性回歸方程為，經(jīng)計(jì)算得：，，，，∴，，∴；（2）將，代入得：，即；（3）時(shí)，（千億元），預(yù)測到年年底，該銀行儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)千億元．例3．某研究所研究耕種深度（單位：）與水稻每公頃產(chǎn)量（單位：）的關(guān)系，所得數(shù)據(jù)資料如下表．耕種深度81012141618每公頃產(chǎn)量67891113（1）求樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)），并判斷它們是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性；（2）求經(jīng)驗(yàn)回歸方程．參考數(shù)據(jù)：；參考公式：，，．【解析】（1）由題意可知，，故，故有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，（2），故，將代入可得，故回歸直線方程為例4．鐵觀音性寒、味甘、酸、歸肺、脾經(jīng)，具有清熱降火、健脾消脂、提神醒腦、生津利尿的功效，是中國十大名茶之一．為促使各生產(chǎn)廠家健康科學(xué)發(fā)展，某調(diào)研機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取家鐵觀音生產(chǎn)廠家，整理得到生產(chǎn)鐵觀音的單位成本（元/盒）與鐵觀音的產(chǎn)量（千盒）之間的關(guān)系數(shù)據(jù)如下：鐵觀音的產(chǎn)量千盒生產(chǎn)鐵觀音的單位成本（元/盒）（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求生產(chǎn)鐵觀音的單位成本關(guān)于鐵觀音產(chǎn)量的一元線性回歸方程，并估計(jì)單位成本為元/盒時(shí)產(chǎn)量為多少（計(jì)算過程保留兩位小數(shù)）；（2）根據(jù)（1）中的回歸模型，計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差的平方和．【解析】（1）由表格數(shù)據(jù)知：，，，，，，生產(chǎn)鐵觀音的單位成本關(guān)于鐵觀音的產(chǎn)量的一元線性回歸方程為，令，則，解得：，當(dāng)單位成本為元/盒時(shí)，預(yù)估產(chǎn)量約為盒．（2）各組殘差分別為：，，，，，，殘差的平方和．例5．某企業(yè)2017年至2021年年銷售量收益y（單位：百萬元）與廣告投入x（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：年份20172018201920202021廣告投入x12345年銷售收益y23367表中的數(shù)據(jù)顯示，可用一元線性回歸模型建議x與y之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．（1）求年銷售收益y關(guān)于廣告投入x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）求決定系數(shù)R2的值．參考公式：經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，【解析】（1）由題意可得：，，所以，所以回歸方程為；（2）因?yàn)椋凰裕忠驗(yàn)?8．8，所以=1=．環(huán)節(jié)四：小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)問題9：請(qǐng)你帶著下列問題回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容：（1）什么是一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)？利用最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)公式是什么？（2）經(jīng)驗(yàn)回歸直線有什么性質(zhì)？（3）如何用殘差分析一元線性回歸模型的有效性？【破解方法】先讓學(xué)生思考并小組交流，再讓小組代表發(fā)言分享，教師協(xié)助完善，師生一起歸納．六、【教學(xué)成果自我檢測】環(huán)節(jié)五：目標(biāo)檢測，檢驗(yàn)效果1．如圖，去掉點(diǎn)D（3，10）后，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．相關(guān)系數(shù)r變大B．殘差平方和變大C．決定系數(shù)R2變大D．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)【答案】B【解析】去掉D（3，10）后，其他數(shù)據(jù)都在一條直線附近，變量x與變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，模型擬合效果變好，故殘差平方和變小．2．某市衛(wèi)健委為了研究本市初中男生的腳長x（單位：cm）和身高y（單位：cm）的關(guān)系，從該市隨機(jī)抽取100名初中男生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，，，若該市某位初中男生的腳長為25cm，據(jù)此估計(jì)其身高為（

）A．166cm B．168cm C．170cm D．172cm【答案】C【解析】由，，得樣本的中心點(diǎn)為，則，解得，因此經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)時(shí)，（cm）．故選：C3．有一散點(diǎn)圖如圖所示，在六組數(shù)據(jù)中去掉點(diǎn)后重新進(jìn)行回歸分析，則下列說法正確的是（

）A．樣本數(shù)據(jù)的兩變量正相關(guān)B．相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值更接近于0C．去掉點(diǎn)后，回歸直線的效果變?nèi)鮀．變量與變量相關(guān)性變強(qiáng)【答案】D【解析】對(duì)A：由圖可知，樣本數(shù)據(jù)的兩變量負(fù)相關(guān)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由圖可知，點(diǎn)相對(duì)于其它點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉點(diǎn)后，回歸直線的擬合效果會(huì)更好，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值更接近于1，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：去掉點(diǎn)后，回歸直線的效果變強(qiáng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：正確．故選：D4．已知變量與的取值如下表：123455811且對(duì)呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，則與的經(jīng)驗(yàn)回歸方程必經(jīng)過的定點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，則線性回歸方程必過定點(diǎn)．故選：C．5．根據(jù)變量和的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型①，得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，對(duì)應(yīng)的殘差如圖（1）所示．根據(jù)變量和的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型②，得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，對(duì)應(yīng)的殘差如圖（2）所示，則（

）A．模型①的誤差滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)，不滿足的假設(shè)B．模型①的誤差不滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)，滿足的假設(shè)C．模型②的誤差滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)，不滿足的假設(shè)D．模型②的誤差不滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)，滿足的假設(shè)【答案】A【解析】對(duì)于殘差圖（1）對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)，隨機(jī)誤差滿足的假設(shè)，但是方差隨著的變化而變化，不滿足的假設(shè)；對(duì)圖（2）對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)，均勻分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，隨機(jī)誤差滿足的假設(shè)，方差不隨的變化而變化，滿足的假設(shè)．故選：A．6．如圖是由一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，以下四個(gè)回歸方程類型中適合作為與的回歸方程類型的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】由散點(diǎn)圖中各點(diǎn)的變化趨勢：非線性、且上單調(diào)遞增，所以適合指數(shù)型模型．故選：C．7．（多選題）小王經(jīng)過調(diào)查獲得如下數(shù)據(jù)：247173012345參考公式：相關(guān)系數(shù)，，．下列說法正確的有（

）A．該數(shù)據(jù)組的線性回歸方程（系數(shù)精確到0．01）為B．該數(shù)據(jù)組的相關(guān)系數(shù)，很接近1說明該數(shù)據(jù)組擬合效果很好C．所有數(shù)據(jù)點(diǎn)中殘差最小的是D．去掉數(shù)據(jù)點(diǎn)后，回歸直線會(huì)向下移動(dòng)【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，，，，所以，，所以該數(shù)據(jù)組的線性回歸方程為，故A正確；對(duì)于B，由，則，很接近1說明兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，與擬合效果無關(guān)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由殘差絕對(duì)值，結(jié)合A項(xiàng)的回歸方程可得，，，，，，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)中殘差最小的是，故C正確；對(duì)于D，，故點(diǎn)在回歸直線上方，故去掉該點(diǎn)后，回歸直線下移，故D正確．故選：ACD．8．某公司收集了某商品銷售收入（單位：萬元）與相應(yīng)的廣告支出（單位：萬元）共10組數(shù)據(jù)，繪制出散點(diǎn)圖，如圖，并利用線性回歸模型進(jìn)行擬合．若將圖中10個(gè)點(diǎn)中去掉點(diǎn)后再重新進(jìn)行線性回歸分析，則下列說法錯(cuò)誤的是．

①?zèng)Q定系數(shù)變小

②殘差平方和變小③相關(guān)系數(shù)的值變小

④自變量與因變量相關(guān)性變?nèi)酢敬鸢浮竣佗邰堋窘馕觥繌膱D中可以看出點(diǎn)較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉點(diǎn)后，回歸效果更好，故決定系數(shù)會(huì)變大，更接近于1；殘差平方和變小；相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值，即會(huì)更接近于1，由圖可得與正相關(guān)，故會(huì)更接近于1，即相關(guān)系數(shù)的值變大，自變量與因變量相關(guān)性變強(qiáng)，故①，③，④錯(cuò)誤，②正確．故答案為：①③④．9．如表提供的和是兩組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，已知其回歸方程為則．3