試題PAGE1試題第頁，共頁唐山市十縣一中聯盟2023-2024學年度高一年級第二學期期中考試數學本試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數z=2+i，則A. B. C.3 D.52.設向量，，若，則（）A. B.0 C.6 D.3.如果復數是純虛數，，是虛數單位，則（）A. B. C.或 D.且4.已知一個圓錐的底面半徑與母線長之比為，其高為，則圓錐的表面積為（）A. B. C. D.5.如圖，中國人民銀行發行的直徑為的圓形龍年黃金紀念幣，背面設計中，以一個碩大的龍首居中作為主圖案，龍首形象生動俊俏，目光清澈篤定．整個修長俊秀的形象中少了些森嚴，平添幾分硬朗與銳利．龍角與龍須延展至幣面之外，向外的張力滿含蓄勢待發的力量感；深淺藍色搭配的龍睛，炯炯有神．整體造型展現出炎黃子孫人才輩出，敢為人先的拼搏與進取的精神面貌．該紀念幣用斜二測畫法后，所得直觀圖的面積（單位：）為（）A. B. C. D.6.底面邊長為3的正四棱錐被平行底面的平面所截，截去一個底面邊長為1，高為1的正四棱錐，所得棱臺的體積為（）A B.383 C.13 D.267.所有棱長都相等的四面體的體積為，則其表面積為（）A. B.12 C. D.8.為了發展旅游業，方便游客觀賞湖面盛開的睡蓮和湖里游動的錦鯉，唐山南湖公園擬修建觀景棧橋．規劃如圖所示，為規劃區域，面積為萬平方米，，，，是四條觀景木棧橋，其中，，，為觀景玻璃棧橋，則的最小值（單位：百米）為（）A. B.4 C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知在復平面內對應點位于第二象限，則實數的值可以是（）A. B.0 C.1 D.210.內角，，的對邊分別為，，，且，，，則下列命題成立的是（）A B.C.最大內角是最小內角的2倍 D.為直角三角形11.如圖，直三棱柱中，，，，為線段上的動點，則（）A.當為線段的中點時，三棱錐的體積是B.當為線段的中點時，三棱錐的體積是C.當在線段上移動時，的最小值D.當在線段上移動時，的最小值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.長方體的三條棱長分別為1，1，2，則該長方體外接球的表面積是_____________．13.已知，則_____________．14.已知向量，的夾角為，且，，，當取最小值時，與的夾角為_____________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設，，．（1）求與的夾角；（2）求在方向上的投影向量．（結果用坐標表示）16.已知復數滿足，的虛部為8，在復平面上對應的點在第一象限．（1）求復數；（2）若復數，且是實數，求實數的值．17.如圖所示，有一艘緝毒船正在A處巡邏，發現在北偏東方向、距離為60海里處有毒販正駕駛小船以每小時海里的速度往北偏東的方向逃跑，緝毒船立即駕船以每小時海里的速度前往緝捕．（1）求緝毒船經過多長時間恰好能將毒販抓捕；（2）試確定緝毒船的行駛方向．18.在①；②這兩個條件中任選一個填入下面橫線上并解答．內角，，的對邊分別為，，，若

，．（1）求角；（2）若該三角形外接圓的圓心為，，求．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．19.如圖，在中，頂點，分別在的兩邊上滑動，已知角為，為定長．求面積的最大值，并確定此時的形狀？唐山市十縣一中聯盟2023-2024學年度高一年級第二學期期中考試數學本試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數z=2+i，則A. B. C.3 D.5【答案】D【解析】【分析】題先求得，然后根據復數的乘法運算法則即得.【詳解】∵故選D.【點睛】本題主要考查復數的運算法則，共軛復數的定義等知識，屬于基礎題..2設向量，，若，則（）A. B.0 C.6 D.【答案】D【解析】【分析】直接利用平面向量共線的坐標運算列式求解值．【詳解】向量，，若，則，解得．故選：D．3.如果復數是純虛數，，是虛數單位，則（）A. B. C.或 D.且【答案】B【解析】【分析】根據已知條件，結合純虛數的定義，即可求解．【詳解】解：是純虛數，則，解得．故選：B．4.已知一個圓錐的底面半徑與母線長之比為，其高為，則圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據已知條件求得底面半徑，再代入表面積公式求解即可．【詳解】設底面半徑為，則母線，可得高，解得，，故圓錐的表面積．故選：C．5.如圖，中國人民銀行發行的直徑為的圓形龍年黃金紀念幣，背面設計中，以一個碩大的龍首居中作為主圖案，龍首形象生動俊俏，目光清澈篤定．整個修長俊秀的形象中少了些森嚴，平添幾分硬朗與銳利．龍角與龍須延展至幣面之外，向外的張力滿含蓄勢待發的力量感；深淺藍色搭配的龍睛，炯炯有神．整體造型展現出炎黃子孫人才輩出，敢為人先的拼搏與進取的精神面貌．該紀念幣用斜二測畫法后，所得直觀圖的面積（單位：）為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，求出原圖的面積，由直觀圖與原圖面積的關系，計算可得答案．【詳解】根據題意，原圖為直徑為的圓，其面積，則其直觀圖的面積．故選：A．6.底面邊長為3的正四棱錐被平行底面的平面所截，截去一個底面邊長為1，高為1的正四棱錐，所得棱臺的體積為（）A. B.383 C.13 D.26【答案】A【解析】【分析】畫出直觀圖，由題意可得△SO1A1【詳解】如圖所示，正四棱錐被平行于底面的平面所截，由題意可知AB=3,A因為∥，所以△SO1A1∽所以SO所以SO=3，所以OO所以所得棱臺的體積為13故選：A7.所有棱長都相等四面體的體積為，則其表面積為（）A B.12 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據條件求出正四面體的棱長，再利用正四面體的表面積等于四個等邊三角形的面積之和，求解即可．【詳解】如圖，正四面體中，設各棱長均為，過作底面，交于點，，，正四面體體積，解得，所以．故選：D．8.為了發展旅游業，方便游客觀賞湖面盛開的睡蓮和湖里游動的錦鯉，唐山南湖公園擬修建觀景棧橋．規劃如圖所示，為規劃區域，面積為萬平方米，，，，是四條觀景木棧橋，其中，，，為觀景玻璃棧橋，則的最小值（單位：百米）為（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，設的邊，，利用三角形的面積公式求出，然后以向量、為基底，表示出向量，利用向量模的公式與平面向量數量積的運算性質，推導出，再根據基本不等式求出的最小值，進而得出的最小值．【詳解】中，設，，由，，可得，即，所以．因為，所以，由，得，即，整理得，因為，所以，而，所以，當且僅當時，即，時，等號成立．因此，當，時，的最小值為，即的最小值為百米．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知在復平面內對應的點位于第二象限，則實數的值可以是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】BC【解析】【分析】根據已知條件，結合復數的幾何意義，即可求解．【詳解】在復平面內對應的點位于第二象限，則，解得，結合選項可知，實數的值可以是0或1．故選：BC．10.的內角，，的對邊分別為，，，且，，，則下列命題成立的是（）A. B.C.最大內角是最小內角的2倍 D.為直角三角形【答案】AD【解析】【分析】A中，由正弦定理可得A選項的真假；B，D中，由，，的三邊的關系，可得該三角形為直角三角形，判斷出B，D的真假；C中，由B選項分析，可得，而，判斷出C的真假．【詳解】解：A．由正弦定理可得，所以正確，符合題意；B，D中，因為，所以該三角形為直角三角形，，角的余弦值不能比，所以B不正確，D正確；C中，由B選項的分析，可得最大內角為，最小內角為A，因為與不相等，所以角不為，所以C不正確；故選：AD．11.如圖，直三棱柱中，，，，為線段上的動點，則（）A.當為線段的中點時，三棱錐的體積是B.當為線段的中點時，三棱錐的體積是C.當在線段上移動時，的最小值D.當在線段上移動時，的最小值【答案】ACD【解析】【分析】選項A，B；由余弦定理求出，即可求出的面積，再由等體積法求解即可；選項C：當時，取得最小值；選項D：根據平面展開圖可確定的最小值即長，由三角形余弦定理求解即可．【詳解】對于選項A，B：由已知可得，由余弦定理有，得到，在中，有，因為平面，所以，又因為為線段的中點，所以，故A正確，B錯誤；對于C：因為，，，所以，即，又因為，是平面內兩條相交直線，所以平面，且四邊形正方形，當為線段的中點時，，由三垂線定理可知，此時，所以的最小值為，故正確；對于D：將繞旋轉到與同一平面（如圖所示），連接交于點此時取得最小值，最小值即長，在中，，，，故，故，即，又易知，故，由余弦定理得，所以，故的最小值為，故正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.長方體的三條棱長分別為1，1，2，則該長方體外接球的表面積是_____________．【答案】【解析】【分析】根據長方體的對角線長公式，算出該長方體的對角線長等于2，從而算出它的外接球半徑為，利用球的表面積公式即可算出答案．【詳解】因為長方體從同一頂點出發的三條棱長分別為1，1，，長方體的對角線長為，設長方體外接球半徑，則，解得，所以該長方體外接球表面積為．故答案為：．13.已知，則_____________．【答案】【解析】【分析】利用復數的運算性質化簡即可求解．【詳解】由已知可得．故答案為：．14.已知向量，的夾角為，且，，，當取最小值時，與的夾角為_____________．【答案】【解析】【分析】由數量積的定義求出，進而根據數量積的運算性質算出，然后利用二次函數的性質，求得當取最小值時的值，進而推導出此時，可得答案．【詳解】根據題意，可得，，根據二次函數的性質，可知當時，有最小值，此時，可得，所以與的夾角為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設，，．（1）求與的夾角；（2）求在方向上的投影向量．（結果用坐標表示）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據已知條件，結合向量的夾角公式，即可求解；（2）結合投影向量的公式，即可求解．【小問1詳解】設與的夾角為，，，，，，．故，解得；【小問2詳解】，，則，，故在方向上的投影向量為．16.已知復數滿足，的虛部為8，在復平面上對應的點在第一象限．（1）求復數；（2）若復數，且是實數，求實數的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，由已知條件列方程求出的值，得復數；（2）由復數的乘法和復數的分類，求實數的值．【小問1詳解】設復數，由，的虛部為8，在復平面上對應的點在第一象限，則有，解得，即.【小問2詳解】,是實數，則有，解得.17.如圖所示，有一艘緝毒船正在A處巡邏，發現在北偏東方向、距離為60海里處有毒販正駕駛小船以每小時海里的速度往北偏東的方向逃跑，緝毒船立即駕船以每小時海里的速度前往緝捕．（1）求緝毒船經過多長時間恰好能將毒販抓捕；（2）試確定緝毒船的行駛方向．【答案】（1）緝毒船經過2小時恰好能將毒販抓捕（2）緝毒船的行駛方向為北偏東【解析】【分析】（1）設緝毒船經過t小時恰好能將毒販抓捕，可知，利用余弦定理運算求解；（2）根據（1）中結果，利用正弦定理可得，進而可得結果.【小問1詳解】設緝毒船經過t小時恰好能將毒販抓捕，由題意可知：，由余弦定理可得，即，整理可得，解得，所以緝毒船經過2小時恰好能將毒販抓捕.【小問2詳解】由（1）可知：，由正弦定理可得，且為銳角，則，可得，所以緝毒船的行駛方向為北偏東.18.在①；②這兩個條件中任選一個填入下面橫線上并解答．的內角，，的對邊分別為，，，若

，．（1）求角；（2）若該三角形外接圓的圓心為，，求．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）選條件①②得：（2）【解析】【分析】（1）選條件①時，直接利用正弦定理和余弦定理的應用求出的值；選條件②時，利用正弦定理和三角函數的關系式的變換求出的